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第22届全国中学生物理竞赛预赛题试卷及参考解答


第 22 届全国中学生物理竞赛预赛题试卷及参考解答
本卷共九题,满分 200 分 一、 (10 分)在横线上填上恰当的内容 1.在2004年6月10日联合国大会第58次会议上,鼓掌通过一项决议.决议摘 录如下: 联合国大会, 承认物理学为了解自然界提供了重要基础, 注意到物理学及其应用是当今众多技术进步的基石。 确信物理教育提供了建设人类发展所必需的科学基础设施的工具, 意识到2005年是爱因斯坦科学发现一百周年, 这些发现为现代物理学奠定了基 础,Ⅰ.……;Ⅱ.……;Ⅲ.宣告2005年为______________________年。 2.爱国斯坦在现代物理学领域作出了很多重要贡献,试举出其中两项: ____________________________;____________________________________。 二、(l7 分)现有一个弹簧测力计(可随便找地方悬挂),一把匀质的长为 l 的有刻度、零点位于端点的直尺,一个木块及质量不计的细线。试用这些器件 设计一实验装置(要求画出示意用),通过一次测量(弹簧测力计只准读一次 数),求出木块的质量和尺的质量。(已知重力加速度为 g) 三、(18分)内表面只反射而不吸收光的圆筒内有 一半径一为 R 的黑球,距球心为 2R 处有一点光源 S,球心 O 和光源 S 皆在圆筒轴线 上,如图所示。若使点光源向右半边发出的光最后 全被黑球吸收,则筒的内半径 r 最大为多少? 四、处在激发状态的氢原子向能量较低的状态跃迁 时会发出一系列不同频率的光,称为氢光谱。氢光谱线的波长 λ 可以用下面 的巴尔末-里德伯公式来表示

1 ? ? 1 = R? 2 ? 2 ? λ n ? ?k 1

用氢原子发出的光照射某种金属进行光电效应实验, 当用赖曼系波长最长 的光照射时,遏止电压的大小为 U1,当用巴耳末系波长最短的光照射时,遏 止电压的大小为 U2。已知电子电荷量的大小为 e,真空中的光速为 c,试求: 普朝克常量和该种金属的选出功。 五、(25 分)一质量为 m 的小滑块 A 沿斜坡由静止 开始下滑,与一质量为 km 的静止在水平地面上的小滑 块 B 发生正碰撞,如图所示.设碰撞是弹性的,且一 切摩擦均不计。为使二者能且只能发生两次碰撞,则 k 的值应满足什么条件? 六、(25 分)如图所示,两根位于同一水平面内的平行 的直长金属导轨,处于恒定磁场中,磁场方向与导轨所在平面垂直,一质量为 m 的均匀导体细杆,放在导轨上,并与导轨垂直,可沿导轨无摩擦地滑动, 细杆与导轨的电阻均可忽略不计。导轨的左端与一根阻值为 R0 的电阻丝相 连,电阻丝置于一绝热容器中,电阻丝的热容量不计。容器与一水平放置的开 口细管相通,细管内有一截面为 S 的小 液柱(质量不计),液柱将 1 mol 气体 (可视为理想气体)封闭在容器中。已知 温度升高 1K 时,该气体的内 能的增加量为 5R/2(R 为普 适气体常量),大气压强为 p0,现令细杆沿导轨方向以初速 v0 向 右运动,试求达到平衡时细管中液柱的位移。 七、(25 分)三个电容器分别有不同的电容值 C1、C2、C3。现把 这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电 路,试论证:是否可以通过适当选择 C1。C2、C3 的数值,使其中某两种混联 电路 A、B 间的等效电容相等。 八. (30 分)如图所示,一根长为 l 的细刚性轻杆的两 端分别连结小球 a 和 b,它们的质量分别为 ma 和

n,k 分别表示氢原子跃迁前后所处状态的量子数。k=l,2,3,…,对于每一 个 k,有n=k+l,k+2,k+3,…,R 称为里德伯常量,是一个已知量。对于 k=1 的一系列谱线其波长处在紫外线区,称为赖曼系;k=2 的一系列谱钱其 波长处在可见光区,称为巴耳末系。

1 l 处的水平定轴 O 在竖 4 直平面内转动。初始时杆处于竖直位置。小球 b 几
mb 。杆可绕距 a 球为

第1页 共7页

乎接触桌面。在杆的右边水平桌面上,紧挨着细杆放着一个质量为 m 的立方 体匀质物块,图中 ABCD 为过立方体中心且与细杆共面的截面。现用一水平 恒力 F 作用于 a 球上,使之绕 O 轴逆时针转动,求当 a 转过 α 角时小球 b 速度的大小。设在此过程中立方体物块没有发生转动,且小球 b 与立方体 物块始终接触没有分离。不计一切摩擦。 九、(30分)如图所示,水平放置的金属细圆环半径为 a,坚直放置的金属细 圆柱(其半径比 a 小得多)的端面与金属圆环的上表面在同一平面内,圆柱 的细轴通过圆环的中心 O。一质量为 m,电阻力 R 的均匀导体细棒被圆环和 细圆柱端面支撑,棒的一端有一小孔套在细轴 O 上,另一端 A 可绕轴线沿 圆环作圆周运动,棒与圆环的摩擦系数为 ? 。圆环处于磁感应强度大小为 B =Kr、方向竖直向上的恒定磁场中,式中 K 为大于零的常量,r 为场点到轴 线的距离,金属细圆柱与圆环用导线 ed 连接。不计棒与轴及与细圆柱端面的 摩擦,也不计细圆柱、圆环及导线的电阻和感应电流产生的磁场,问沿垂直于 棒的方向以多大的水平外力作用于棒的 A 端才能使棒以角速度 ω 匀速转 动。 注: ( x + ?x)3 = x3 + 3x 2 ?x + 3 x(?x )2 + (?x)3 第 22 届全国中学生物理竞赛预赛参考解答 一、国际物理(或世界物理) 相对论;光的量子性 评分标准:本题 10 分。第 1 小问 4 分。第 2 小问 6 分(填写任意两项爱因斯 坦的成果只要正确都给分) 二、找个地方把弹簧测力计悬挂好,取一段细线做成一环,挂在弹簧测力计的 挂钩上,让直尺穿在细环中,环与直尺的接触点就是直尺的悬洗点,它将尺分 为长短不等的两段.用细线栓住木块挂在直尺较短的一段上,细心调节直尺悬 挂点及木块悬挂点的位置,使直尺子平衡在水平位置(为提高测量精度,尽量 使二悬挂点相距远些),如图所示。设木块质量为 m,直尺质量为 M。记下 二悬挂点在直尺上的读数 xl、x2,弹簧测力计读数 G.由平衡条件和图中所设 的直尺零刻度线的位置有 (m + M ) g = G (1)

(1)、(2)式联立可得

m=

G (l ? 2 x2 ) g (l ? 2 x1 ) 2G ( x2 ? x1 ) g (l ? 2 x1 )

(3)

M=

(4)

评分标准:本题 17 分。正确画出装置示意图给 5 分。 (1)式、 (2)式各 4 分, (3)式、 (4)式各 2 分。 三、

自 S 作球的切线 SM,并画出 S 经管壁反射形成的虚像点 S ′ ,及由 S ′ 画 出球面的切线 S ′N ,如图1所示,由图可看出,只要 S ′M 和 S ′N 之间有一夹 角,则筒壁对从 S 向右的光线的反射光线就有一部分进入球的右方,不会完 全落在球上被吸收。 由图可看出,如果 r 的大小恰能使 S ′N 与 S ′M 重合,如图 2,则 r 就 是题所要求的筒的内半径的最大值。这时 SM 与 MN 的交点到球心的距离 MO 就是所要求的筒的半径 r、由图 2 可得

r=
由几何关系可知

R R = cosθ 1 ? sin 2 θ

(1) (2)

l mg ( x2 ? x1 ) = Mg ( ? x2 ) 2

(2)

sin θ = ( R / 2 R )

第2页 共7页

2 3 R (3) 3 评分标准:本题 18 分。给出必要的说明占 8 分,求出 r 占 10 分。
由(1)、(2)式得 r = 四、由巴尔末-里德伯公式

V1,由动量守恒和机械能守恒定律有:

mv0 = mv1 + kmV1

(1)

1 ? ? 1 = R? 2 ? 2 ? λ n ? ?k 1

可知赖曼系波长最长的光是氢原子由 n=2 → k=1 跃迁时发出的, 其波长的 倒数

1

λ12

=

3R 4 1 = 3Rhc 4
(2)

(1)

对应的光子能量为 E12 = hc

λ12

式中 h 为普郎克常量。 巴尔末系波长最短的光是氢原子由 n=∞ → k=2 跃 迁时发出的,其波长的倒数

1

λ2∞

=

R 4

1 2 1 2 1 mv0 = mv1 + kmV12 (2) 2 2 2 ?(k ? 1) 由此解得 v1 = v0 (3) k +1 2 V1 = v0 (4) k +1 为使 A 能回到坡上,要求 v1<0,这导致 k>1;为使 A 从坡上滑下后 再能追上 B,应有 -v1>V1,即(k-1)>2,这导致 k>3,于是,为使第 二次碰撞能发生,要求 k>3 (5) 对于第二次碰撞,令 v2 和 V2 分别表示碰后 A 和 B 的速度,同样由动 量守恒及机械能守恒定律有:

(3)

m(?v1 ) + kmV1 = mv2 + kmV2 1 2 1 1 2 1 mv1 + kmV12 = mv2 + kmV22 2 2 2 2
由此解得

Rhc (4) 4 用 A 表示该金属的逸出功, eU1 和 eU2 分别为光电子的最大初动能。 则 3Rhc = eU1 + A (5) 由爱因斯坦光电效应方程得 4 Rhc = eU 2 + A (6) 4 e 解得 A = (U1 ? 3U 2 ) (7) 2 2e(U1 ? U 2 ) h= (8) Rc 评分标准:本题 20 分。 (1)式 3 分, (2)式 2 分, (3)式 3 分, (4)式 2 分, (5)(6)式各 3 分, 、 、 (7)(8)式各 2 分。 五、设 A 与 B 碰撞前 A 的速度为 v0,碰后 A 与 B 的速度分别为 v1 与
对应的光子能量 E2∞ =

v2 =

4k ? (k ? 1) 2 v0 (k + 1) 2 4(k ? 1) v0 (k + 1) 2

(6)

V2 =

(7)

若 v2>0,则一定不会发生第三次碰撞,若 v2<0, ,且-v2>V2,则会发 生第三次碰撞。故为使第三次碰撞不会发生,要求 A 第三次从坡上滑下后速 度的大小(-v2)不大于 B 速度的大小 V2,即

?v2 ≤ V2

(8)

第3页 共7页

由(6)(7)(8)式得 、 、

k ? 10k + 5 ≤ 0
2

(9) 有

?V = S ?l (4) 由理想气体状态方程 pV=RT, 注意到气体的压强始终等于大气压 p0, 故 p0 ?V = R?T
由热力学第一定律,有 Q = A + ?U 由以上各式可解得 (5)



k ? 10k + 5 = 0
2

可求得

k=
(9)式的解为

10 ± 80 =5± 2 5 2
(10)

(6)

5?2 5 ≤ k ≤5+ 2 5
(10)与(5)的交集即为所求:

?l =

2 mv0 7 p0 S

(7)

3< k ≤5+ 2 5

(11)

评分标准:本题 25 分。求得(3)(4)式各得 3 分,求得(5)式得 4 分,求 、 得(6)(7)(8)(10)和(11)式各得 3 分。 、 、 、 六、导体细杆运动时,切割磁感应线,在回路中产生感应电动势与感应电流, 细杆将受到安培力的作用, 安培力的方向与细杆的运动方向相反, 使细杆减速, 随着速度的减小,感应电流和安培力也减小,最后杆将停止运动,感应电流消 失。在运动过程中,电阻丝上产生的焦耳热,全部被容器中的气体吸收。 根据能量守恒定律可知,杆从 v0 减速至停止运动的过程中,电阻丝上的 焦耳热 Q 应等于杆的初动能.即

评分标准:本题 25 分。 (1)式 6 分, (2)式 4 分, 、 、 (3)(4)(5)式各 2 分, (6)式 5 分, (7)式 4 分。 七、由电容 ′ C 、 C ′′ 组成的串联电路的等效电容 C ′C ′′ C串 = C ′ + C ′′ 由电容 ′ C 、 C ′′ 组成的并联电路的等效电容

C并 = C ′ + C ′′
利用此二公式可求得图示的 4 个混联电路 A、B 间的等效电容

1 2 Q = mv0 (1) 2 容器中的气体吸收热量后,设其温度升高 △T,则内能的增加量为 5 ?U = R?T (2) 2 在温度升高△T 的同时,气体体积膨胀,推动液柱克服大气压力做功。设 液柱的位移为△l,则气体对外做功 A = p0 S ?l
(3)

Ca、Cb、Cc、Cd 分别为
Ca = C C + C1C3 + C2C3 C1C2 + C3 = 1 2 > C3 C1 + C2 C1 + C2 C1C3 C C + C1C3 + C2C3 + C2 = 1 2 > C2 C1 + C3 C1 + C3 (C1 + C2 )C3 C C + C2C3 = 1 3 < C3 (C1 + C2 ) + C3 C1 + C2 + C3
(3) (1)

Cb =

(2)

Cc =
第4页 共7页

式中 S△l 就是气体体积的膨胀量

(C1 + C3 )C2 C C + C2C3 Cd = = 1 2 < C2 (C1 + C3 ) + C2 C1 + C2 + C3
由(1)(3)式可知 、

(4)

Ca ≠ Cc
由(2)(4)式可知 、

(5)

没有一对是相等的。 评分标准:本题 25 分。 、 、 、 (1)(2)(3)(4)式各 4 分,得到(5)(6)(7) 、 、 、 (8)式各 1 分,得到(9)(10)式共 5 分。 、 八、如图所示,用 vb 表示 a 转过 α 角时 b 球速度的大小,v 表示此时立 方体速度的大小,则有

vb cos α = v
(6)

(1)

Cb ≠ Cd
由(1)(2)式可知 、

由于 b 与正立方体的接触是光滑的,相互作用力总是沿水平方向,而且 两者在水平方向的位移相同,因此相互作用的作用力和反作用力做功大小相 同,符号相反,做功的总和为 0。因此在整个过程中推力 F 所做的功应等于 球 a、b 和正立方体机械能的增量。现用 va 表示此时 a 球速度的大小,因 为 a、b 角速度相同, Oa =

Ca ≠ Cb
由(3)(4)式可知 、

(7)

Cc ≠ Cd

(8)

1 3 l , Ob = l ,所以得 4 4
(2)

若 Ca = Cd ,由(1)(4)式可得 、

1 va = vb 3 根据功能原理可知

C12 + 2C1C2 + C1C3 + C2C3 = 0
因为 C1、C2 和 C3 均大于 0,上式不可能成立,因此

l 1 ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 2 F ? sin α = ma va ? ma g ? ? cosα ? + mb vb + mb g ? ? cos α ? + mv 2 4 2 ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
(3) 将(1)(2)式代入可得 、

Ca ≠ Cd

(9)

若 Cb = Cc ,由(2)(3)式可得 、

C12 + 2C1C3 + C1C2 + C2C3 = 0
因为 C1、C2 和 C3 均大于 0,上式不可能成立, 因此

l 1 ?1 ? ?l l ? 1 ? 3l 3l ? 1 2 F ? sin α = ma ? vb ? ? ma g ? ? cos α ? + mb vb + mb g ? ? cos α ? + m(vb cosα ) 4 2 ?3 ? ?4 4 ? 2 ?4 4 ? 2
解得 vb =

2

9l [ F sin α + (ma ? 3mb ) g (1 ? cos α )] 2ma + 18mb + 18m cos 2 α

(4)

Cb ≠ Cc

(10)

综合以上分析,可知这四个混联电路的等效电容
第5页 共7页

评分标准:本题 30 分。 (1)式 7 分, (2)式 5 分, (3)式 15 分, (4) 式 3 分。 九、将整个导体棒分割成 n 个小线元,小线元端点到轴线的距离分

别为 r0 (= 0), r1 , r2 , L, ri ?1 , ri ,L, rn ?1 , rn (= a) ,第 i 个线元的长度为



M=

K 2ω a 6 9R

(6)

?ri = ri ? ri ?1 ,当 ?ri 很小时,可以认为该线元上各点的速度都为 vi = ω ri ,
该线元因切割磁感应线而产生的电动势为

因摔 A 端对导体圆环的正压力为 摩擦力矩为

1 1 mg ,所以摩擦力为 ? mg ,对轴的 2 2

?E i = Bvi ?ri = Kriω ri ?r = K ω ri2 ?r (1)
整个棒上的电动势为
n n

E = ∑ ?E i = Kω ∑ ri2 ?ri
i =1 i =1

(2)
2 3

1 M ? = ? mga (7) 2 其方向与安培力矩相同,均为阻力矩。为使棒在水平面内作匀角速转动, 要求棒对于 O 轴所受的合力矩为零,即外力矩与阻力矩相等,设在 A 点施 加垂直于棒的外力为 f,则有 fa = M + M ?
由(6)、(7)、(8)式得 (8)



(r + ?r ) = r + 3r ?r + 3r (?r ) + (?r )
3 3 2

略去高阶小量 (?r ) 2 及 (?r )3 ,可得

1 r 2 ?r = [( r + ?r )3 ? r 3 ] 3 代入(2)式,得 n 1 1 1 E = Kω ∑ (ri3 ?ri3 1 ) = Kω(r13 ? r03)(r23 ? r13) L + rn3 ? rn3?1 )]= Kω a 3 [ + + ( ? 3 3 3 i =1 (3) 由全电路欧姆定律,导体棒通过的电流为
E Kω a3 = (4) R 3R 导体棒受到的安培力方向与棒的运动方向相反。 I=
第 i 个线元面 ?ri 受到的安培力为 作用于该线元的安培力对轴线的力矩

K 2ω a 5 1 + ? mg (9) 9R 2 评分标准:本题 30 分。求得(3)式得 10 分,(4)式 2 分;求得(6)式得 8 分,(7)式 4 分,(8)式 4 分,(9)式 2 分。 f =

?f Ai = BI ?ri = Kri I ?ri

(5)

?M i = ?f Ai ? ri = KIri2 ?ri

作用于棒上各线元的安培力对轴线的总力矩为 n n n 1 1 M = ∑ ?M i = KI ∑ ri2 ?ri = KI ∑ ( ri3 ? ri3 1 ) = KIa 3 ? 3 i =1 3 i =1 i =1
第6页 共7页


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