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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第8章 第50讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理


1.直线a ? x ? 1? ? b ? y ? 1? ? 0(a b)与圆x 2 ? y 2 ? 2的 位置关系是 . 相交  
解析:因为圆心 ? 0,0 ? 到直线的距离d ? 2ab 所以d ? ( ) ?1? 2 . 2 a ?b a 2 ? b2 a2 ? b2 2 又因为a ? b,故d ? 1 ? ? 2. a2 ? b2
2 2

|a?b| a ?b
2 2



|a?b|

所以直线与圆相交.

2. e O1:x ? y ? 2x ? 0和 e O2:x ? y ? 4y ? 0的
2 2 2 2

位置关系为

相交
2

  .
2 2 2

解析: O1:x ? 1? ? y ? 1, O2:x ? ? y ? 2 ? ? 4, e e ? O1O2 ? 5. 因为2 ? 1 ? 5 ? 2 ? 1,故 e O1和 e O2 相交.

3.过原点且倾斜角为60?的直线被圆x 2 ? y 2 ? 4y ? 0 所截得的弦长为 2  3
解析:直线方程为y ? 3x, 圆的标准方程x ? ? y ? 2 ? ? 4,
2 2

圆心 ? 0, 2 ? 到直线的距离d ?

| 3?0? 2| ? 3 ?2 ? ??1?2

? 1,

由垂径定理知所求弦长为d ? 2 22 ? 12 ? 2 3.

4.直线l与圆x 2 ? y 2 ? 2x ? 4y ? a ? 0 ? a ? 3? 相交于 为  x ? y ? 1 ? 0    . A,B两点,弦AB的中点为? 0,1?,则直线l的方程

解析:由已知条件得圆心坐标为? ?1, 2 ?,圆心与 2 ?1 弦AB中点连线的斜率k1 ? ? ?1, ?1 ? 0

5.已知直线y ? 3 ? x与圆x 2 ? y 2 ? 2相交于A、B两
? 点,P是优弧AB上任意一点,则?APB ? 6

  .

6 解析:弦心距长为 ,半径为 2,所以弦AB所 2 对的圆心角为 ,又因为同弦所对的圆周角是圆 3 心角的一半,所以?APB ?

?

?
6

.

直线与圆相切
【例1】 已知圆C:(x-1)2 +(y-2)2 =2,P点的坐标为(2, -1),过点P作圆C的切线,切点为A、B.求: (1)直线PA、PB的方程; (2)过P点的圆的切线长; (3)直线AB的方程.

【解析】1? 如图,设过P点的圆 ? 的切线方程为y+1=k ( x-2), 即kx-y-2k-1=0. 因为圆心 ?1, 2 ? 到切线的距离为 2, 即 | ?k ? 3 | 1? k 2 所以k 2-6k-7=0,解得k=7或k=-1. 所以所求的切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0. = 2,

? 2 ? 连结PC,CA.
在RtVPCA中, = PC - CA =8, PA 所以过P点的圆C的切线长为2 2. ?7 x ? y ? 15 ? 0 12 9 , 解得A( , ). ? 3?由 ? 2 2 5 5 ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ?x ? y ?1 ? 0 又由 ? , 解得B ? 0,1?. 2 2 ?( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 所以直线AB的方程为x-3y+3=0.
2 2 2

(1)过圆上一点作圆的切线只有一条; (2)过圆外一点作圆的切线必有两条.在求

圆的切线方程时,会遇到切线的斜率不存
在的情况.如过圆x2 +y2 =4外一点(2,3)作 圆的切线,切线方程为5x-12y+26=0或x -2=0,此时要注意斜率不存在的切线不 能漏掉;

(3)本题中求直线AB的方程是通过求切点,根据 两切点A、B的坐标写出来的.事实上,过圆(x -a)2 +(y-b)2 =r2 外一点P(x0 ,y0)作圆的切线, 经过两切点的直线方程为(x0 -a)(x-a)+(y0 - b)(y-b)=r2.其证明思路为:设切点A(x1,y1)、 B(x2 ,y2),P点坐标满足切线PA、PB的方程, 从而得出过A、B两点的直线方程.

【变式练习1】 已知圆M :x 2+( y-2) 2=1,Q是x轴上的动点, QA、QB分别切圆M 于A,B两点.

?1? 求四边形QAMB的面积的最小值;
4 2 ? 2 ? 若AB= ,求直线MQ的方程. 3

【解析】1?因为MA ? AQ, ? 所以S四边形MAQB=MA· =QA QA = MQ 2 ? MA2 = MQ ? 1 ? MQ ? 1= 3
2 2

? 2 ? 设AB与MQ交于点P,则MP ? AB,
MB ? BQ, 2 2 2 1 MP= 1 ? ? ?= 3 3

在RtVMBQ中,MB 2=MP gMQ, 1 即1= MQ,所以MQ=3. 3 设Q ? x, 0 ?,则x 2+22=9,x= ? 5, 所以Q (? 5,, 0) 所以直线MQ的方程为2x+ 5 y-2 5=0 或2x- 5 y+2 5=0.

直线与圆相交
【例2】

已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证:对任意m∈R,直线l与圆C总有两个不同的 交点A、B; (2)求弦AB的中点M的轨迹方程,并说明其轨迹是什 么曲线.

【解析】1? 证明:直线l的方程化为( x-1)m+(1-y )=0 ? ?x ?1 ? 0 ?x ? 1 令? ,得 ? ,即直线l 恒过定点P ?1,1?. ?1 ? y ? 0 ?y ?1 而12+(1-1) 2=1 ? 5,所以点P ?1,1? 在圆内. 所以对任意m ? R, 直线l与圆C总有两个不同的交点A、B.

? 2 ?圆C的圆心C ? 0,1?,半径r=
当m=0时,直线l:y=1,

5

设弦AB的中点M 的坐标为M ( x,y ). 则弦AB的中点M 的坐标为 ? 0,1?;

当m ? 0时,因为点M 在直线l上, 1 x ?1 所以mx-y+1-m=0,所以 = m y ?1 y ?1 1 x ?1 由平面几何知识得MC ? AB,所以 ?? ? x m 1? y 1 2 1 2 化简得( x- ) +( y-1) = ( x ? 0). 2 4 而点? 0,1? 也适合上式, 1 2 1 2 所以弦AB的中点M 的轨迹方程为( x- ) +( y-1) = 2 4

本题考查直线与圆的位置关系和求轨迹问 题.第(1)问还可以将直线方程代入圆的方程后 用判别式的方法来解,不过现在的方法要简单

得多,并且此法还告诉我们这样两件事:一是
由m的任意性,可以求出直线mx-y+1-m=0 恒过定点;二是由圆内的点作出的直线肯定与 该圆有两个交点.第(2)问也可以用韦达定理来 求,但现在用“圆心与弦的中点的连线垂直且

平分弦”这一结论解题要巧妙得多.

【变式练习2】
已知圆(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x +(m+1)y-7m-4=0(x∈R). (1)证明:不论m为何值,直线l必与圆C相交; (2)求直线l被圆C截得的弦长取最小值时直线l的

方程.

【解析】1? 证明:直线l的方程可化为 ? (2x+y-7) m+( x+y-4)=0. ?2 x ? y ? 7 ? 0 ?x ? 3 令? ,得 ? , ?x ? y ? 4 ? 0 ?y ?1 即直线l 恒过定点M ? 3,1?. 而(3-1) 2+(1-2) 2=5 ? 25,所以点M ? 3,1? 在圆内. 所以不论m为何值,直线l与圆C必相交.

? 2 ?当圆心C ?1, 2 ? 与点M ? 3,1?的连线与直线l垂直时,
直线l被圆C 截得的弦长最短. 2 ?1 1 因为直线MC的斜率为 ?? , 1? 3 2 所以直线l的斜率等于2. 由点斜式得直线l的方程为y-1=2( x-3), 即2x-y-5=0.

圆与圆的位置关系
【例2】 求与圆x +y =5外切于点P (-1, 2),且半径
2 2

为2 5的圆的方程.

【解析】方法1:设所求圆的圆心为C (a,b),则 ?(a ? 1) 2 ? (b ? 2) 2 ? (2 5) 2 ? a ? ?3 ? , 解得 ? ?b 2 ?b ? 6 ? ? ? a ?1 故所求圆的方程为( x+3) 2+( y-6) 2=20. 方法2:设所求圆的圆心为C (a,b). uuu 1 uuu r r ? a ? ?3 1 因为OP ? OC , 所以(-1, 2)= ( a,b),所以 ? 3 3 ?b ? 6 故所求圆的方程为( x+3) 2+( y-6) 2=20.

本题的关键是采用待定系数法求圆心 的坐标,步骤是:根据两圆相外切的位置

关系,寻找圆心满足的条件,列出方程组
求解.方法2利用向量沟通两个圆心的位置 关系,既有共线关系又有长度关系,显得 更简洁明快,值得借鉴.

【变式练习3】 如图,已知圆心坐标为( 3,的圆M 与x轴及直线 1) y= 3 x分别相切于A、B两点,另一圆N 与圆M 外 切、且与x轴及直线y= 3x分别相切于C、D两点. 求圆M 和圆N的方程.

【解析】连结OM.

由于⊙M与∠BOA的两边
均相切,故点M到直线OA 及直线OB的距离均为⊙M 的半径, 则点M在∠BOA的角平分线上.

同理,点N也在∠BOA的角平分线上,
即O,M,N三点共线,且直线OMN为∠BOA的角 平分线.

因为点M 的坐标为( 3,, 1) 所以点M 到x轴的距离为1, 即 ? M 的半径为1, 则 ? M 的方程为( x- 3) +( y-1) =1.
2 2

设 ? N的半径为r,它与x轴的切点为C, 连结MA、NC. 由Rt? OAM ∽Rt? OCN 可知,OM ON=MA NC, ∶ ∶ 2 1 即 ? ,得r=3,则OC=3 3 3? r r 故 ? N的方程为( x-3 3) 2+( y-3) 2=9.

1.已知直线5x-12y+a=0与圆x2-2x+y2=0 -18或8 相切,则a的值为_____________.

【解析】圆的方程可化为( x-1) +y =1,
2 2

所以圆心坐标为?1,0 ?,半径为1, |5?a| 由已知可得 =1 ?| 5+a | =13, 13 所以a的值为-18或8.

2.圆x2 +y2 -2x-2y+1=0上的动点Q到直

线 3x + 4y + 8 = 0 的 距 离 的 最 小 值 是 2 ________.

【解析】知圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的圆心C ?1,1?. |3? 4?8| 因为圆心到直线的距离d= =3, 5 所以点Q到直线的距离的最小值为3-1=2.

3.已知圆C:-a) +( y-2) =4 ? a ? 0 ? 及直线l: (x
2 2

x-y+3=0.当直线l被圆C截得的弦长为2 3时,
2-1 a等于 __________

【解析】由题意知 解得a= ? 2-1.

| a ? 2 ? 3| 2

?

| a ? 1| 2

? 22 ? ? 3 ?2

因为a ? 0,所以a= 2-1.

4.已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0,直线l:

y=kx与圆C交于P、Q两点,点M(0,b)满足
MP⊥MQ. (1)当b=1时,求k的值; (2)若k=2,求b的值.

【解析】圆的方程化为( x-1) +( y-1) =1,
2 2

圆心C ?1,1?,半径r=1,它与x轴、y轴都 相切,且切点分别为 ?1, 0 ? 、0,1?. ?

?1?当b=1时,点M 刚好是圆在y轴上
的切点. 要满足MP ? MQ,PQ必为直径, 直线l必过圆心,所以k=1.

? 2 ? 将y=2x代入圆的方程得5x -6x+1=0,
2

1 解得x=1或x= . 5 1 2 所以P、Q两点的坐标分别为 ?1, 2 ? 、 , ). ( 5 5 2 ?b 2?b 5 由MP ? MQ,得 ? ? ?1 1 1 5 6 ? 11 即5b -12b+5=0,解得b= 5
2

5.设O为坐标原点,曲线x +y +2x-6y+1=0
2 2

上有两点P、Q,满足关于直线x+my+4=0对 uuu uuu r r 称,又满足OP ? OQ ? 0

?1? 求m的值; ? 2 ? 求直线PQ的方程

【解析】1?曲线方程为( x+1) +( y-3) =9 ?
2 2

表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. 因为点P、Q在圆上且关于直线x+my +4=0对称, 所以圆心(-1,3)在直线上,代入得 m=-1.

? 2 ?因为直线PQ与直线y=x+4垂直,
所以设P( x1,y1 )、Q( x2,y2 ), PQ方程为y=-x+b. 将直线y=-x+b代入圆方程, 得2x +2(4-b) x+b -6b+1=0.
2 2

?=4(4-b) -4 ? 2 ? (b -6b+1) ? 0,
2 2

得2-3 2 ? b ? 2+3 2 b ? 6b ? 1 由韦达定理得x1+x2=-(4-b),x1 ? x2= 2 b 2 ? 6b ? 1 y1 ? y2=b 2-b( x1+x2 )+x1 ? x2= +4b. 2 ??? ???? ? 因为OP ? OQ=0,所以x1 x2+y1 y2=0,
2

即b 2-6b+1+4b=0. 解得b=1 ? (2-3 2,+3 2). 2 所以所求的直线方程为y=-x+1.

本节内容很好地体现了运算、推理、数形结 合、分类讨论等数学思想和方法,因而在近几年

的高考试题中出现的频率相当高,主要反映在三
个方面: 一是利用直线与圆相交时半径、弦心距、弦 长的一半的勾股关系,以及直线与圆相切时圆心 到直线的距离等于半径等关系,可以求得一些相

关的量,进而求得圆的方程或直线的方程;

二是通过对给出的直线和圆的方程进行分

析和计算,可以判断直线与圆、圆与圆的位置
关系; 三是运用直线与圆的基础知识和基本方法

考查诸如求参数的取值范围、求最值等一些实
际问题.复习备考时要注意理顺关系,全面掌

握,小心求证,细心求解.

1.直线与圆的三种位置关系的判断方法有两种:

?1? 几何法:将圆心到直线的距离d 与圆的半
径r 进比较:①相交 ? d ? r;②相切 ? d=r; ③相离 ? d ? r.

? 2 ? 代数法:将直线方程代入圆的方程后得到
一元二次方程ax 2+bx+c=0或ay 2+by+c=0,然后 用判别式?=b -4ac判断:①? ? 0 ? 相交;②?=
2

0 ? 相切;③? ? 0 ? 相离.

2.两圆的位置关系由两圆心之间的距离d与
两圆半径r1、r2的关系来判断: 位置关系 两圆外离 数学式子 d>r1+r2 位置关系 两圆内切 数学式子 d=|r1-r2|

d=r1+r2 两圆外切 两圆内含 两圆相交 |r1-r2|<d<r1+r2

d<|r1-r2|

3. 用 坐 标 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题 的 “ 三 步 曲”: 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐 标和方程表示问题中的元素,将平面几何问题转

化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:把代数结果“翻译”成几何结论. 4.数形结合是解决本节内容非常有效的方 法.涉及到圆上的点(x,y)的最值用数形结合;直

线与圆的一部分的交点情况的判断也是用数形结
合;相交弦问题还是用数形结合.

5.直线与圆相切的问题是考得比较多的内容, 因而要重视.

?1? 过圆上的点作圆的切线只有一条; ? 2 ? 过圆外一点作圆的切线肯定有两条,如果只
求到一条,要考虑是否把斜率不存在的情况漏掉了.

? 3? 判断或利用直线与圆相切时,用d=r比用
?=0更简便一些. 6.直线与圆相交时,半径r、弦心距d、弦长的 l l 2 2 2 一半 的勾股关系r =d +( ) 非常重要. 2 2



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