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河南省顶级名校2015届高三数学入学定位考试试题 文(含解析)


河南省顶级名校 2015 届高三年级入学定位考试 理科数学试卷
(时间:120 分钟 满分:150 分) 【试卷综析】 本试卷是高三理科试卷, 考查了高中全部内容.以基础知识和基本技能为载体, 以能力测试为主导,在注重考查学科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视 学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识,兼顾覆盖面.试题重点 考查:集合、

不等式性质、基本不等式、导数的综合应用、函数的性质及图象、圆锥曲线、 解三角形、概率、随机变量的分布列与期望、程序框图、空间向量的应用、二项式定理、绝 对值不等式、参数方程极坐标、几何证明选讲、数列、命题及命题之间的关系、复数等;考 查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 【题型】选择题 【题号】1 【分值】5 分 【题文】已知集合 (A) (B) (C) (D) ,则

【答案】A 【考点】集合的表示及集合的交集 【分析】 在进行集合的运算时, 能结合集合的元素特征进行转化的应先对集合进行转化再进 行运算. 【解析】因为 所以

M ? x x ? x 2 ? ? x 0 ? x ? 1? , N ? y y ? 2 x ? ? y y ? 0?
,则选 A.

?

?

?

?



M ? N ? ? 0,1?

【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 2. 【题型】选择题 【题号】2 【分值】5 分

【题文】已知复数

,则 的虚部是

(A) 【答案】B

(B)

(C)

(D)

1

【考点】复数的运算及复数的概念 【分析】复数的代数运算是常考的知识点,应熟练掌握,注意复数的虚部是 i 的系数,而不



.

【解析】因为

1 ,所以 的虚部是 5 ,则选 B. ?

【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 3. 【题型】选择题 【题号】3 【分值】5 分 【题文】某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图所示,则此学生该门功课 考试分数的极差与中位数之和为 (A)117 (B)118 (C) 118.5 (D)119.5

【答案】B 【考点】茎叶图、极差、中位数 【分析】正确认识茎叶图,理解极差与中位数的概念是解题的关键. 【解析】由所给的茎叶图可知:最小的数为 56,最大的数为 98,所以极差为 98﹣56=42, 又中位数为 76,所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 42+76=118,则选 B. 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 4. 【题型】选择题 【题号】4 【分值】5 分

【题文】已知双曲线 近线方程为

与椭圆

有相同的焦点,则该双曲线的渐

(A)

(B)

(C)

(D)
2

【答案】A 【考点】双曲线与椭圆的几何性质 【分析】在由椭圆和双曲线方程求其焦点和渐近线方程时,若方程不是标准形式,应把方程 先化成标准形式,再进行解答.

【解析】 因为椭圆的焦点坐标为(0, ±2), 由双曲线方程

y2 ? x2 ? 1 1 得m ,

1 1 ?1 ? 4 y ? ? 3x 则选 A. 则m 得 m= 3 ,所以其渐近线方程为
【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 5. 【题型】选择题 【题号】5 【分值】5 分 【题文】有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组 的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A 【考点】古典概型 【分析】求古典概型的概率,可分别求出随机试验一次的所有可能种数,及所求的事件所包 含的种数,代入概率计算公式即可. 【解析】因为两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种情况,3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各

3 1 ? 自参加其中一个小组,一共有 3×3=9 种情况,所以所求的概率为 9 3 ,则选 A.
【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 6. 【题型】选择题 【题号】6 【分值】5 分 【题文】 在各项均为正数的等比数列 项积为 ,若 ,则 的值为 中, 若 , 数列 的前

3

(A)4

(B)5

(C) 6

(D) 7

【答案】B 【考点】等比数列的性质 【分析】在客观题中遇到等比数列问题时,一般先观察其项数是否有性质特征,有性质特征 的用性质解题,无性质特征的用公式转化求解. 【解析】 由 得
2 am ? 2am

, 得

T ? am2m?1 ? 22m?1 ? 512 ? 29 am ? 2 , 所以 2m?1 ,

得 2m﹣1=9,所以 m=5,则选 B. 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 7. 【题型】选择题 【题号】7 【分值】5 分 【题文】设偶函数 ( 的部分图象如图所示,

为等腰直角三角形,



,则

的值为

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】D 【考点】三角函数的图像 【分析】 本题可先由图像求出函数的解析式再求值, 在求解析式时应抓住图像特征和解析式 中对应的系数的关系求解. 【解析】

??
由函数为偶函数,且 0<φ <π ,得

?
2 ,又由
得最小正期为 2,所以 ? ? ? ,





















A=

1 2







1 ? ?? 1 f ? x ? ? sin ? ? x ? ? ? cos ? x, f 2 ? 2? 2
【点评】 【专题】 【难度】

? 3 ?1? 1 ? ? ? cos ? 6 4 ,则选 D. ?6? 2

4

【结束】 8. 【题型】选择题 【题号】8 【分值】5 分 【题文】执行如图中的程序框图,若输出的结果为 21,则判断框中应填 ( A ) (D) (B) (C)

【答案】C 【考点】 【分析】本题主要考查的是程序框图及其应用,程序框图是高考常考的知识点,对于循环结 构的程序框图,可一一列举出每次循环的结果直到跳出循环,即可得到解答. 【解析】依次执行程序框图中的循环结构,第一次执行循环体得 S=﹣1,i=2;第二次执行 循环体得 S=3,i=3;第三次执行循环体得 S=﹣6,i=4;第四次执行循环体得 S=10,i=5; 第五次执行循环体得 S=﹣15, i=6; 第六次执行循环体得 S=21, i=7; 因为输出的结果为 21, 所以 i=7 不满足判断框条件,则选 C. 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 9. 【题型】选择题 【题号】9 【分值】5 分 【题文】如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是 (A)54 (B)27 (C)18 (D) 9

5

【答案】 【考点】 几何体的三视图、棱锥的体积 【分析】 本题主要考查的是几何体的三视图, 由几何体的三视图求体积关键是分析出原几何 体的特征. 【解析】由三视图可知该几何体一个倒放的四棱锥,其底面面积为 3×6=18,高为 3,所以

1 ? 18 ? 3 ? 18 其体积为 3 ,则选 C.
【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 10. 【题型】选择题 【题号】10 【分值】5 分 【题文】抛物线 的焦点为 ,点 在抛物线上,且 ,弦 中点

在其准线上的射影为

,则

的最大值为

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】A 【考点】 抛物线的定义、余弦定理、基本不等式 【分析】在圆锥曲线中,一般遇到圆锥曲线上的点与其焦点的关系时,注意利用其定义寻求 等量关系进行解答. 【解析】 设
2

MN ? m, AB ? n, AF ? x, BF ? y
2 2 2

,则 x+y=2m,由余弦定理得
2 2

2 ? x? y? 3 2 n ? x ? y ? 2 xy cos120? ? ? x ? y ? ? xy ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? x ? y ? ? 3m 2 4 ? ? ,则

MN AB

?

m 3 ? n 3

,所以选 C.

【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 11. 【题型】选择题

6

【题号】11 【分值】5 分 【题文】四面体 为 3 的等边三角形.若 的四个顶点都在球 ,则球 的表面上, 平面 ,△ 是边长

的表面积为

(A)

(B)

(C )

(D)

【答案】C 【考点】球的截面性质,球的表面积公式 【分析】 【解析】 如图,取 CD 的中点 E,连结 AE,BE,∵在四面体 ABCD 中,AB⊥平面 BCD,△BCD 是边长为 3 的等边三角形.∴Rt△ABC≌Rt△ABD,△ACD 是等腰三角形,△BCD 的中心为 G,作 OG∥

BE ?
AB 交 AB 的中垂线 HO 于 O,O 为外接球的中心,因为 半径 OB ? 1 ? 3 ? 2 ,则球

2 3 3 BG ? BE ? 3 3 2 , ,所以球

的表面积为 16π ,所以选 C.

【点评】 一般遇到几何体的外接球问题, 一是结合几何体特征寻求球心位置, 进而求其半径, 二是用补形法把几何体补成规则几何体求球半径. 【专题】 【难度】 【结束】 12. 【题型】选择题 【题号】12 【分值】5 分

【题文】函数 是



上的最大值为 2,则

的取值范围

(A)

(B)

(C)

(D)

7

【答案】D 【考点】导数的综合应用,指数函数的性质 【分析】求分段函数在所给区间上的最值,可分别确定在各段上的最值,再进行比较,即可 得到最值. 【解析】 当 x∈[﹣2,0]时,因为

f ' ? x ? ? 6x2 ? 6x ? 6x ? x ?1?

所以在

[﹣2, ﹣1)导数大于 0, 在(﹣1,0]上导数小于 0, 则当 x∈[﹣2,0]函数值最大为 f(﹣1)=2, 当 a≤0 时,若 x>0,显然 e
ax

? 1 ,此时函数在

上的最大值为 2,当 a>0 时,若函



上的最大值为 2, 则e

2a

? 2, 得

a?

1 ln 2 2 , 综上可知 a 的取值范围是

所以选 D. 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 【题型】填空题 【题号】13 【分值】5 分

【题文】 若点

满足线性约束条件

, 则

的取值范围是

___ .

【答案】[﹣2,0) 【考点】简单的线性规划 【分析】 【解析】不等式组表示的平面区域为如图中的三角形 ABO 表示的区域,因为 A、B 的坐标分

?2 4? 2 ? , ? 3 3 ? 将 A、B、O 三点坐标分别代入目标函数得 z 的值为﹣2,﹣ 3 ,0, 别为(﹣2,0)、 ?
所以 的取值范围是[﹣2,0).

8

【点评】一般由线性约束条件求目标函数的最值,其最值点必存在于区域的顶点,可把区域 顶点坐标代入目标函数即可得到其最大值与最小值,进而得其值域。 【专题】 【难度】 【结束】 14. 【题型】填空题 【题号】14 【分值】5 分

【题文】若

二项展开式中的第 5 项是常数项,则中间项的系数为 .

【答案】﹣160 【考点】二项式定理 【分析】一般遇到二项展开式中的项或其系数问题,通常利用展开式的通项公式进行解答.

T5 ? C
【解析】因为

4 n

?x ?

2 n?4

? 2? 4 4 2 n ?12 ? ? ? ? Cn ? 2 x ? x? ,则有 2n﹣12=0,n=6,所以展开式的
3

4

3 2? 3 3 T4 ? C6 ? x2 ? ? ? ? ? ? ?160 x ? x? 中间项为 ,则中间项的系数为﹣160.

【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 15. 【题型】填空题 【题号】15 【分值】5 分 【题文】设 是 ,则 的三边中垂线的交点 , 的范围是___________. 分别为角 对应的边 , 已知

? 1 ? ? ,2? ? 4 ? ? 【答案】
【考点】平面向量及其应用 【分析】 【解析】设 O 是△ABC 的三边中垂线的交点,故 O 是三角形外接圆的圆心,如图所示,延长 AO 交外接圆于 D. ∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ACD=∠ABD=90°.

AC AB ∴cos∠CAD= AD ,cos∠BAD= AD .

9

??? ? ???? ???? ??? ? 1 ???? 1 ???? ???? 1 ???? ??? ? 1 ???? ???? ? 1 ???? ??? BC ? AO? AC ? AB ? AD? AD? AC ? AD? AB ? AD AC cos ?DAC ? AD AB cos ?DAB 2 2 2 2 2 所以

?

?

1 1 1 1 1 1 1? 1 ? AC 2 ? AB2 ? b2 ? c2 ? b2 ? ? 2b ? b2 ? ? ? b ? ? ? 2 2 2 2 2 2? 4 , ? =2
∵c2=2b-b2>0,解得 0<b<2.

2

b?
所以当

1 1 ? 2 时取得最小值为 4 , 又f (0) =0, f (2) =2. 所以

? 1 ? ? ,2? ? 4 ?. ? 的范围是

【点评】本题考查了三角形的外接圆的性质、向量的运算法则、数量积运算、二次函数的单 调性等基础知识与基本方法. 【专题】 【难度】 【结束】 16. 【题型】填空题 【题号】16 【分值】5 分 【题文】 已知有 限集 ,就称 . 如果 中 元素 满足

为“复活集”,给出下列结论:

①集合 ;③ 有且只有一个,且 .

是“复活集”;② 不可能是“复活集”;④若

是“复活集”,则 ,则“复活集”

其中正确的结论是___________________. (填上你认为所有正确的结论序号) 【答案】①③④ 【考点】集合的应用 【分析】 本题考查的知识点是元素与集合的关系, 正确理解已知中的新定义“复活集”的含 义是解答的关键. 【解析】

10

?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ?1, ? ? ?1 2 2 2 2 因为 ,所以①正确;②不妨设 a1+a2=a1a2=t,则
由韦达定理知 a1, a2 是一元二次方程 x2-tx+t=0 的两个根, 由△>0, 可得 t<0, 或 t>4, 故②错; ③不妨设 A 中 a1<a2<a3<?<an, 由 a1a2?an=a1+a2+?+an<nan, 得 a1a2?an-1 <n,当 n=2 时,即有 a1<2,∴a1=1,于是 1+a2=a2,a2 无解,即不存在满足条件的“复 活集”A, 故③正确. 当 n=3 时, a1a2<3, 故只能 a1=1, a2=2, 求得 a3=3, 于是“复活集”A 只有一个, 为{1, 2, 3}. 当 n≥4 时, 由 a1a2?an-1≥1×2×3×?× (n-1) , 即有 n> (n-1) !, 也就是说“复活集”A 存在的必要条件是 n>(n-1)!,事实上, (n-1)!≥(n-1) (n-2) =n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2,矛盾,∴当 n≥4 时不存在复活集 A,故④正确.故答案为: ①③④. 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 17. 【题型】解答题 【题号】17 【分值】12 分 【题文】 在 中,角 对的边分别为 ,已知 .

(1)若 (2)若

,求 ,求

的取值范围; 面积的最大值.

【答案】 (1) (2,4) (2) 2 【考点】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式 【分析】求 范围时可利用正弦定理把边化成角,再利用角的范围求三角函数的取值范

围,因为已知夹角,可用夹角的面积公式解决三角形面积问题. 【解析】

(1)

???( 2 分)

11

. ???( 6 分)

(2)

??? (8 分) ??

?( 10 分)

当且仅当 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 18. 【题型】解答题 【题号】18 【分值】12 分

时,

的面积取到最大值为

. ???(12 分).

【题文】如图,四棱锥 中点. (1)若 (2)若平面 ,求证:

中,底面

为菱形,







; ,且 点 在线段 上,试确定点

的位置,使二面角

的大小为

,并求出

的值.

【答案】 (1)证明过程见解析(2)

12

【考点】两面垂直的判定、二面角的应用 【分析】证明两面垂直通常结合两面垂直的判定定理进行解答,涉及到二面角问题,可通过 建立适当坐标系,利用空间向量解答. 【解析】 (1) 又 又 平面 (2) 平面 面 以 则 设 所以 , ( ), ,平面 的一个法向量是 . 为坐标原点,分别以 为 轴建立空间直角坐标系如图. , 平面 平面 底面 , 为 的中点, , 平面 ,又 , , 平面 ,

为菱形,

;----------------6 分 ,平面 平面 , 平

P

z

D

C
B y

Q
A

x
设平面 的一个法向量为 ,所以

取 由二面角

,-----------------------------------------9 分 大小为 ,可得:

,解得 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 19. 【题型】解答题

,此时

---------------------------12 分.

13

【题号】19 【分值】12 分 【题文】 生产 , 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于 82 为正品,小于 82 为

次品,现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下: 测试指标 8 7 12 18 40 40 32 29 8 6

元件 元件

(Ⅰ)试分别估计元件 (Ⅱ)生产一件元件

、元件

为正品的概率; ,

,若是正品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元;生产一件元件

若是正品可盈利 100 元,若是次品则亏损 20 元,在(Ⅰ)的前提下 (i)求生产 5 件元件 (ii)记 望. 所获得的利润不少于 300 元的概率; 和 1 件元件 所得的总利润,求随机变量 的分布列和期

为生产 1 件元件

【答案】 (Ⅰ)

(Ⅱ) (i)

(ii)108

【考点】频率与概率的关系,n 次重复独立试验发生 k 次的概率、分布列和期望 【分析】若每次试验发生的概率都相等,求 n 次试验中发生次数的概率问题,可利用 n 次重 复独立试验发生 k 次的概率计算公式直接计算, 求离散随机变量的期望问题, 一般先确定随 机变量的取值,再计算每一个取值对应的概率,得分布列求期望即可. 【解析】

(I)由题可知元件

为正品的概率为

,元件

为正品的概率为

???(2 分) 件 , 由 题 意 知 ,,

( II ) (i)设生产的 5 件元件 ,解得 为事件 ,

中正品数为 ,则有次品 ,设“生产的 5 件元件

所获得的利润不少于 300 元”



???(6 分)

(ii)随机变量

的所有取值为 150,90,30,-30
14



所以随机变量 150

的分布列为: 90 30 -30

所以,随机变量 ??(12 分) 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 20. 【题型】解答题 【题号】20 【分值】12 分

的期望为:

【题文】椭圆 ,过 (1)求椭圆 的直线交椭圆于 的方程;

过点 两点.

,离心率为

,左、右焦点分别为

(2)当

的面积为

时,求直线的方程.

【答案】(1)

(2)



【考点】 圆锥曲线综合应用 【分析】一般遇到直线与圆锥曲线位置关系问题,通常设方程,联立方程,利用韦达定理建 立等量关系进行解答. 【解析】

解析: (1)因为椭圆

过点

,所以

①,又因

为离心率为

,所以

,所以

②,解①②得

15

所以椭圆的方程为:

??? (4 分)

(2)①当直线的倾斜角为

时,

,不适合题意。??? (6 分)

②当直线的倾斜角不为

时,设直线方程



代入

得:

??? (7 分)



,则

, 所以直线方程为: 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 21. 【题型】解答题 【题号】21 【分值】12 分 【题文】 已知 (Ⅰ)当 (Ⅱ)对任意 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) 时,若 在 上为减函数, 在 上是增函数,求 值; 或 ??? (12 分).

恒成立,求 的取值范围.

16

【考点】导数的综合应用 【分析】函数单调性问题就是导数恒正或恒负问题,利用不等式恒成立进行解答,由不等式 恒成立求参数的范围,可转化为函数的最值问题进行解答. 【解析】

(Ⅰ)当

时,



上为减函数,则





上是增函数,则 ??(6 分)

(Ⅱ)设

则 (1) 当 不恒成立; 时,

,设 , 所以 在

则 上是减函数, 在

(2)当

时,

,所以



上是增函数,

的函数

值由负到正,必有 , 所以, 所以, 因此, ,即 的取值范围是 . 在 上是减函数,



,两边取自然对数得,

上是增函数,

??(12 分).

【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 四、请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

17

22. 【题型】解答题 【题号】22 【分值】10 分 【题文】 已知,在 , (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若 平分 中, . ; ,且 ,求 的长. 是 上一点, 的外接圆交 于

【答案】 (Ⅰ)证明过程见解析(Ⅱ)1 【考点】相似三角形、切割线定理 【分析】 在三角形中寻求边长之间的关系经常利用相似三角形性质进行解答, 对于第二问可 在第一问的基础上利用切割线定理求解. 【解析】 (Ⅰ)连接 ∴ ,∵四边形 ,又 是圆的内接四边形, ,∴ ∽ ,

∴ 又

, ,∴ ?????????(5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ) ∵ 设 ,∴

∽ ,而

,知 是

,又 的平分线∴ ,

,∴



,根据割线定理得

即 解得 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 ,即

, ????(10 分).

18

23. 【题型】解答题 【题号】23 【分值】10 分 【题文】 在直角坐标系中,以原点为极点, 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线 的直线的参数方程为:

,已知过点

,直线与曲线 (Ⅰ)写出曲线 (Ⅱ)若 【答案】 (Ⅰ) 和直线的普通方程;

分别交于



成等比数列,求 的值. (Ⅱ)a=1

【考点】极坐标,参数方程 【分析】曲线的极坐标方程化成直角坐标方程,可在所给的极坐标方程的基础上凑出ρ cos θ ,ρ sinθ ,再分别替换成 x,y 即可,参数方程化成普通方程关键是消去参数,常见的有 代入消参,整体消参等. 【解析】 (Ⅰ) ???????(4 分) 得到

(Ⅱ)直线的参数方程为(t 为参数),代入 , 则有 因为 即 解得 ,所以 ,即 ???????10 分. , ,

【点评】 【专题】 【难度】 【结束】 24. 【题型】解答题 【题号】24

19

【分值】10 分 【题文】 已知函数 (Ⅰ)解不等式: (Ⅱ)当 时, 不等式 . ; 恒成立,求实数 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【考点】绝对值不等式的解法及利用绝对值不等式求最值 【分析】绝对值不等式是常考题型,一般可用零点分段讨论去绝对值解不等式,对于不等式 恒成立问题通常转化为函数的最值问题进行解答. 【解析】

解析:(Ⅰ)原不等式等价于:当

时,

,即





时,

,即

; 当

时,

,即

.

综上所述,原不等式的解集为 (Ⅱ)当 时, = 所以 ?????(10 分). 【点评】 【专题】 【难度】 【结束】

.????(5 分)

20


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河南省顶级名校2015届高三入学定位考试化学试卷(带解析)

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