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广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题2 第10课时 三角函数的图象


专题二 三角函数

1

考点1 三角函数的图象与含参问题

例1 已知a是实数,则函数f ? x ? ? 1 ? asinax的图象 不可能是(    )

2

切入点:此题属含有参数的三角函数问题. 实数a的变化既引起振幅的变化也引起周期 的变化,因此要抓住三角函数图象的

振幅及 周期进行解题.

3

解析 当振幅 a ? 1时,三角函数的周期为T ? 2? ,则T ? 2?,从而知D不符合要求,它的振 |a| 幅大于1,但周期反而大于2? . 答案为D.

4

在解决三角函数的含参问题时主要注意以下 几点: 1.先看函数表达式是否为y ? Asin(? x ? ? )及 y ? Acos(? x ? ? ),x ? R的形式,不是则先转化为 此类形式. 2.分析参数的变化引起了图象中哪些量的变 化(振幅、周期、相位),从而做出判断.

5

3.解决三角函数的含参问题时通常还有可能 要借助“五点法作图”进行分析.而“五点法作图”应 抓住四条:

?1? 化为y ? Asin(? x ? ? )及y ? Acos(? x ? ? ),x
? R的形式;

? 2 ? 求出周期T ?

2?

?



? 3? 求出振幅A; ? 4 ? 列出一个周期内的五个点.
6

2k ? 1 ? 变式1 已知函数y ? 5cos( ? x ? )(k ? N* ). 3 6 5 对任意实数a,其图象在区间[a,a ? 3]上的值 4 出现的次数不少于4次且不多于8次,求k的值.

7

5 切入点:函数值 在一个周期内要出现两次, 4 故出现4次需要2个周期,出现8次需要经历4 个周期.

8

2? 6 解析 因为T ? ? ,a ? 3? ? a ? 3, ? 2k ? 1 ? 2k ? 1 3 5 而每一个周期出现值 有2次,出现4次应有2 4 个周期,出现8次应有4个周期, 3 3 故由4T ? 3且2T ? 3,得 ? T ? , 4 2 3 6 3 3 7 所以 ? ? ,即 ? k ? . 4 2k ? 1 2 2 2 * 而k ? N , k ? 2,3. ?
9

考点2 三角函数的图象及其变换

例2(2011? 广州海珠区一模)已知函数f ? x ? ? sin? x (? ? 0, x ? R )的最小正周期为?,为了得到函数g ? x ? ? sin(? x ?

?
4

)的图象,只需将y ? f ? x ?的图象(    )

A.向左平移 个单位长度 4

?

C.向左平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 8 8
10

?

B.向右平移 个单位长度 4

?

?

切入点:三角函数的图象变换可以先平移变换 后伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换, 但注意二者的不同之处:先伸缩变换时,平移 的单位把x前面的系数提取出来.

11

解析 因为函数f ? x ? ? sin? x的最小正周期为?, 所以? ? 2.将f ? x ? ? sin2x的图象向左平移 个单 8 位长度,得到f ? x ? ? sin(2x ? 答案:C

?

?
4

)的图象.

12

关于三角函数的图象,要掌握函数的平移变 换、伸缩变换.重点要掌握由函数y ? sinx,x ? R 的图象经过变换得到函数y ? Asin(? x ? ? ),x ? R 的图象的过程: 1.y ? Asinx,x ? R ( A ? 0且A ? 1)的图象可以 看做把正弦曲线上的所有点的纵坐标变为原来的A 倍得到的;

13

2.函数y ? sin? x,x ? R (? ? 0且? ? 1)的图象, 可看做把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来的倍 (纵坐标不变)得到的; 3.函数y ? sin( x ? ? ),x ? R (其中? ? 0)的图象, 可以看做把正弦曲线上所有的点向左(当? ? 0时)或 向右(当? ? 0时)平行移动 | ? | 个单位长度而得到(用 平移法注意讲清方向: “加左”“减右”).

14

变式2 已知函数f ? x ? ? sin 2 x ? 3sinxcosx ? 2cos 2 x,x ? R.

?1? 求函数f ? x ?的最小正周期和单调增区间; ? 2 ?函数f ? x ?的图象可以由函数y ? sin2x,x ? R的图象经
过怎样的变换得到?

15

1 ? cos2 x 3 解析 ?1? f ? x ? ? ? sin2x ? ?1 ? cos2x ? 2 2 3 1 3 ? 3 ? sin2x ? cos2x ? ? sin(2x ? ) ? . 2 2 2 6 2 2? ? f ? x ?的最小正周期T ? ? ?. 2 由题意得2k? ? 即k ? ?

?

2

? 2x ?

?

6

? 2k ? ?

?

2

(k ? Z),

?
3

? x ? k? ?

?
6

(k ? Z).

所以f ? x ?的单调增区间为[k? ? ,k? ? ](k ? Z). 3 6
16

?

?

? 2 ? 先把y ? sin2x的图象上的所有点向左平移
?

?
12

个单位长度,得y ? sin(2x ? )的图象,再把所 6 3 得图象上所有的点向上平移 个单位长度,就 2 ? 3 得到y ? sin (2x ? ) ? 的图象. 6 2

17

考点3 求函数解析式

例3(2011?执信月考)函数f ? x ? ? Asin(? x ? ? )( A ? 0,

? ? 0,? |? )的部分图象如图所示. |
2

?

?1? 求f ? x ?的最小正周期及解析式; ? 2 ? 设g ? x ? ? f ? x ? ? cos2x,求函数g ? x ? 在区间[0, ]
2 上的最大值和最小值.
18

?

切入点: ? 观察图象,由周期确定?,由最值确 ?1 定A,再由特殊点的坐标确定?; ? 先化为“三个 ?2 一”的形式,再根据所给范围求最大值和最小值.

19

T 2? ? ? 解析 ?1?由图可知A ? 1, ? ? ? , 2 3 6 2 2? 所以T ? ?,所以? ? ? 2. T 当x ?

?

6

时,f ? x ? ? 1,即sin(2 ?

?

6

? ? ) ? 1.

因为 | ? |?

?
2

,所以? ?

?
6

.

所以f ? x ?的解析式f ? x ? ? sin (2x ?

?
6

).

20

? 2 ? g ? x ? ? f ? x ? ? cos2x ? sin(2x ?

?
6

) ? cos2x

3 1 ? ? sin2x ? cos2x ? sin(2x ? ). 2 2 6 5? 因为0 ? x ? ,所以 ? ? 2x ? ? . 2 6 6 6 当2x ?

?

?

?

?

6 2 最大值为1;

?

?

,即x ?

?
3

时,g ? x ? 有最大值,

当2x ?

? ? ,即x ? 0时,g ? x ? 有最小值, 6 6 1 最小值为 ? . 2
21

?

?

函数y ? Asin(? x ? ? ),x ? R的解析式的确 定,就是要确定系数A,?,? . A是振幅,是图 象拱的高度,周期T 等于两个拱的跨度之和, 而T ? 2? ,故常先确定A及?,然后利用图象经

?

过的特殊点得出关于?的方程,解之即可.

22

变式3 设函数f ? x ? ? sin(2x ? ? )(?? ? ? ? 0), y ? f ? x ?的图象的一条对称轴是直线x ?

?
8

.

?1? 求?的值; ? 2 ? 求函数y ? f ? x ?的单调增区间; ? 3? 画出函数y ? f ? x ? 在区间[0,? ]上的图象.

23

解析

?1?因为直线x ?

?
8

是函数y ? f ? x ?的

图象的一条对称轴,所以sin(2 ? 所以

?
8

? ? ) ? ?1,

?

3? 因为 ? ? ? ? ? 0,所以? ? ? . 4

? ? ? k? ? ,k ? Z. 4 2

?

24

3? 3? ? 2 ?由?1? 知? ? ? ,因此,y ? sin(2x ? ). 4 4 ? 3? ? 由题意得2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z), 2 4 2 ? 5? 即k? ? ? x ? k? ? (k ? Z). 8 8 3? 所以函数y ? sin(2x ? )的单调增区间为 4 ? 5? [k? ? ,k? ? ](k ? Z) 8 8
25

3? ? 3?由y ? sin(2x ? )知,可列表如下: 4

故函数y ? f ? x ? 在区间[0,? ]上的图象如下图所示.

26

1.函数y ? Asin(? x ? ? )的表达式的确定:A 由最值确定;?由周期确定;?由图象上的特殊点 确定. 2.函数y ? Asin (? x ? ? )的图象的画法: 3? ?1? “五点法”(设X ? ? x ? ?,令X ? 0, ,?, , 2 2 2?,求出相应的x值,计算得出五点的坐标,描点 后得出图象;

?

27

? 2 ?图象变换法:这是作函数简图常用的方法.
3.关于三角函数的图象,要掌握平移变换、 伸缩变换,重点要掌握由函数y ? sinx,x ? R的图 象经过变换得到函数y ? Asin (? x ? ? ),x ? R的图 象的关系.注意先平移后伸缩与先伸缩后平移是 不同的.要会根据三角函数的图象写出三角函数 的解析式.

28


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