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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 3.1双曲线的标准方程 苏教版选修2-1


§2.3 2.3.1

双曲线

双曲线的标准方程

课时目标 1.了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准 方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.

1 .焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 __________________ ,焦点 F1________ , F2________. 2 .焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 ________________ ,焦点 F1__________ , F2__________. 3.双曲线中 a、b、c 的关系是____________. 2 2 4.已知两点求双曲线的标准方程,当焦点位置不确定时可设为 Ax +By =1(A≠0,B≠0, AB______0) 2 2 5. 双曲线的标准方程中, 若 x 项的系数为正, 则焦点在______轴上, 若 y 项的系数为正, 则焦点在______轴上.

一、填空题 1.已知平面上定点 F1、F2 及动点 M,命题甲:|MF1-MF2|=2a(a 为常数),命题乙:M 点 轨迹是以 F1、F2 为焦点的双曲线,则甲是乙的____________条件. 2 2 x y 2.已知双曲线 - =1 上的一点 P 到双曲线的一个焦点的距离为 3,则点 P 到另一个焦 9 16 点的距离为________. 2 2 3.双曲线 8kx -ky =8 的一个焦点坐标是(0,3),则 k 的值为________. 2 2 x y 4.设 a>1,则双曲线 2- 2=1 的离心率 e 的取值范围为______________. a (a+1) 5.已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1(- 5,0),点 P 位于该双曲线上,线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则该双曲线的方程是______________. 6.设 F1、 F2 是双曲线 =________. x y 7.已知方程 - =1 表示双曲线,则 k 的取值范围是________. 1+k 1-k 2 2 x y 8.F1、F2 是双曲线 - =1 的两个焦点,P 在双曲线上且满足 PF1?PF2=32,则∠F1PF2 9 16 =________. 二、解答题 3 ? ? ?4 ? 9.已知双曲线过 P1?-2, 5?和 P2? 7,4?两点,求双曲线的标准方程. 2 ? ? ?3 ?
2 2

x2 → → ? y 2 ? 1的两个焦点, 点 P 在双曲线上, 且PF1?PF2=0, 则 PF1?PF2 4

-1-

-2-

10.如

图所示,在△ABC 中,已知 AB=4 2,且三内角 A、B、C 满足 2sinA+sinC=2sinB,建 立适当的坐标系,求顶点 C 的轨迹方程,并指明表示什么曲线.

能力提升 11.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0)的中心和做焦点,点 P 为双曲线 a2

→ → 右支上的任意一点,则OP?FP的取值范围为______________. 2 2 x y 12.设双曲线与椭圆 + =1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 4, 27 36 求此双曲线的标准方程.

-3-

x y 1.方程 + =1 既可以表示椭圆又可以表示双曲线. m n 当方程表示椭圆时,m、n 应满足 m>n>0 或 n>m>0,当 m>n>0 时,方程表示焦点在 x 轴上 的椭圆;当 n>m>0 时,方程表示焦点在 y 轴上的椭圆. 当方程表示双曲线时,m、n 应满足 mn<0,当 m>0,n<0 时,方程表示焦点在 x 轴上的双 曲线;当 m<0,n>0 时,方程表示焦点在 y 轴上的双曲线. 2.知道双曲线的中心在原点,焦点在坐标轴上,但不知道焦点在哪一个坐标轴上,这时 2 2 x y 2 2 双曲线的方程可设为 + =1 (mn<0)(或 mx +ny =1,mn<0). m n §2.3 双曲线 2.3.1 双曲线的标准方程 知识梳理 2 2 x y 1. 2- 2=1(a>0,b>0) (-c,0) (c,0) a b 2 2 y x 2. 2- 2=1(a>0,b>0) (0,-c) (0,c) a b 2 2 2 3.c =a +b 4.< 5.x y 作业设计 1.必要不充分 解析 根据双曲线的定义,乙? 甲,但甲 D? /乙, 只有当 2a<F1F2 且 a≠0 时,其轨迹才是双曲线. 2.9 3.-1 2 2 x y 解析 原方程可化为 - =1,由一个焦点坐标是(0,3)可知 c=3,且焦点在 y 轴上,由 1 8 k k 1 8 9 2 于 c =(- )+(- )=- =9,所以 k=-1. k k k 4.( 2, 5) x y 解析 ∵双曲线方程为 2- 2=1, a (a+1) ∴c= 2a +2a+1. c 1 2 ∴e= = 2+ 2+ = a a a
2 2 2

2

2

?1+1?2+1. ?a ? ? ?

-4-

1 1 又∵a>1,∴0< <1.∴1< +1<2. a a 1 ? ?2 ∴1<?1+ ? <4.∴ 2<e< 5. ? a? 2 y 2 5.x - =1 4 2 2 2 2 x y x y 2 2 2 2 2 解析 设双曲线方程为 2- 2=1, 因为 c= 5, c =a +b , 所以 b =5-a , 所以 2- 2 a b a 5-a 5 =1.由于线段 PF1 的中点坐标为(0,2),则 P 点的坐标为( 5,4).代入双曲线方程得 2- a 2 16 y 2 2 2 2=1,解得 a =1 或 a =25(舍去),所以双曲线方程为 x - =1. 5-a 4 6.2 解析 ∵|PF1-PF2|=4, 2 2 2 又 PF1⊥PF2,F1F2=2 5,∴PF1+PF2=20,∴(PF1-PF2) =20-2PF1?PF2=16,∴PF1?PF2=2. 7.(-1,1) 2 2 x y 解析 因为方程 - =1 表示双曲线, 1+k 1-k 所以(1+k)(1-k)>0.所以(k+1)(k-1)<0. 所以-1<k<1. 8.90° 解析 设∠F1PF2=α ,PF1=r1,PF2=r2. 在△F1PF2 中,由余弦定理, 2 2 2 得(2c) =r1+r2-2r1r2cosα , 2 2 (r1-r2) +2r1r2-4c ∴cosα = 2r1r2 36+64-100 = =0.∴α =90°. 64 2 2 9.解 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线方程为 mx +ny =1 (mn<0),因为 45 4m+ n=1 ? ? 4 P 、P 在双曲线上,所以有? 16 ? ? 9 ?7m+16n=1
1 2

1 m=- ? ? 16 ,解得? 1 n= ? ? 9

.

x y y x ∴所求双曲线方程为- + =1,即 - =1. 16 9 9 16 10.解

2

2

2

2

如图,以 AB 边所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 则 A(-2 2,0),B(2 2,0). a 由正弦定理得 sinA= , 2R b c sinB= ,sinC= , 2R 2R ∵2sinA+sinC=2sinB,
-5-

c ∴2a+c=2b,即 b-a= , 2 1 从而有 CA-CB= AB=2 2<AB. 2 由双曲线的定义知,点 C 的轨迹为双曲线的右支. 2 2 2 ∵a= 2,c=2 2,∴b =c -a =6. 2 2 x y 所以顶点 C 的轨迹方程为 - =1 (x> 2). 2 6 故 C 点的轨迹为双曲线的右支且除去点( 2,0). 11.[3+2 3,+∞)

解析 由 c=2 得 a +1=4, 2 ∴a =3, 2 x 2 ∴双曲线方程为 -y =1. 3 设 P(x,y)(x≥ 3), 2 x → → 2 2 2 OP?FP=(x,y)?(x+2,y)=x +2x+y =x +2x+ -1 3 4 2 = x +2x-1(x≥ 3). 3 4 2 令 g(x)= x +2x-1(x≥ 3),则 g(x)在[ 3,+∞)上单调递增,所以 g(x)min=g( 3) 3 =3+2 3. → → ∴OP?FP的取值范围为[3+2 3,+∞). 2 2 y x 2 12.解 方法一 设双曲线的标准方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),由题意知 c =36-27= a b 9,c=3. 又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为± 15,于是有
2 2 ? ?42-(± 215) =1, b ?a 2 2 ? ?a +b =9,

2

?a =4, ? 解得? 2 ?b =5. ?
2 2

2

y x 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 方法二 将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(± 15,4), 又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3). 所以 2a=| (± 15-0) +(4+3) - (± 15-0) +(4-3) |=4, 2 2 2 即 a=2,b =c -a =9-4=5, 2 2 y x 所以双曲线的标准方程为 - =1. 4 5
2 2 2 2

-6-



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