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2015年辽宁高考数学文试题及答案word版


一、选择题:本大 题共 12 道小题,每小题 5 分 1.已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A A. ? ?1,3? B. ? ?1,0? C. ? 0, 2 ? D. ? 2,3? )

B?(



2. 若为 a 实数,且 A. ? 4

>
2 ? ai ? 3 ? i ,则 a ? ( 1? i
C. 3 D. 4

B. ? 3

3. 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 4. 已知 a ? ? 0, ?1? , b ? ? ?1, 2 ? ,则 (2a ? b) a ? ( A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2 )
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

5. 设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? a3 ? a5 ? 3 ,则 S5 ? A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
[(

6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

1

A.

1 8

B.

1 7

C.

1 6

D.

1 5


7. 已知三点 A(1,0), B(0, 3), C(2, 3) ,则 ?ABC 外接圆的 圆心到原点的距离为(

A.

5 3

B.

21 3

C.

2 5 3

D.

4 3

8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著 《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入 的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a 为( )

A.0

B.2

C.4

D. 1 4

9.已知等比数列 {an } 满足 a1 ?

A.2

B.1

C.

1 2

1 , a3a5 ? 4 ? a4 ?1? ,则 a2 ? ( 4 1 D. 8



10. 已知 A, B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? , C 为该球面上的动点.若三棱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为 A、 36? B、 64? C、 144 ? D、 256?

11. 如图,长方形的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x ,将动 点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f ? x ? ,则的图像大致为( )

2

A. 12. 设函数 f ( x) ? ln(1? | x |) ? A. ? ,1?

B.

C.

D. )

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立的 x 的取值范围是( 1 ? x2

?1 ? ?3 ?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

?1, ?? ?

C. ? ? , ?

? 1 1? ? 3 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

1? ?1 ? ? , ?? ? 3? ? 3 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13.已知函数 f ? x ? ? ax ? 2x 的图像 过点(-1,4 ),则 a=
3



? x? y ?5? 0 ? 14. .若 x,y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值为 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
1 5. 已知双曲线过点 4, 3 ,且渐近线方程为 y ? ?



?

?

1 x ,则该双曲线的标准方程为 2
2

. .

16. 已知曲线 y ? x ? ln x 在点 ?1,1? 处的切线与曲线 y ? ax ? ? a ? 2? x ? 1 相切,则 a= 三、解答题 17(本小题满分 12 分)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? PAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B .

18. (本小题满分 12 分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用 户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表.

3

满意度评分分组 频数

B 地区用户满意度评分的频数分布表 [50, 60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 2 8 14 10 6

(I)在答题卡上作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散 程度,(不要求计算出具体值,给出结论即可)

(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:

满意度评分 满意度等级

低于 70 分 不满意

70 分到 89 分 满意

不低于 90 分 非常满意

估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.

19. (本小题满分 12 分)如图 , 长方体 ABCD? A 1B 1C 1D 1 中 AB=16,BC=10, AA 1 ? 8 , 点 E,F 分别在 A 1B 1, D 1C1 上, A 1E ? D 1F ? 4. 过点 E,F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.

(I)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由) ; (II)求平面 ? 把该长方体分成的两部分体积的比值.
4

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 2, 2 在 C 上. 2 a b 2

?

?

(I)求 C 的方程; (II)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 中点为 M,证明:直线 OM 的斜率与直 线 l 的斜率乘积为定值.

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值为 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别 相切于 E,F 两点.

(I)证明 EF

BC ;

(II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EDCF 的面积.

5

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ?

? x ? t cos ? , (t 为参数,且 t ? 0 ),其中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极 ? y ? t sin ? ,

轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , C3 : ? ? 2 3 cos? . (I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A, C1 与 C3 相交于点 B,求 AB 最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式证明选讲 设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d .证明: (I)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (II) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件.

6

一.选择题 (1 )A (7 )B 二.选择题 (13 )-2 三.解答题 (17)解: (Ⅰ)由正弦定理得 (14 )8 (2 )D (8 )B (3 )D (9 )C (4 )C (10 )C (5 ) A (11 )B (6 )D (12 )A

x2 ? y2 ? 1 (15 ) 4

(16 )8

AD BD AD DC ? , ? . sin ?B sin ?BAD sin ?C sin ?CAD
因为 AD 平分 ?BAC , DB ? 2DC , 所以
0

sin ?B DC 1 ? ? . sin ?C BD 2
0

(Ⅱ)因为 ?C ? 180 ? ? ?BAC ? ?B? , ?BAC ? 60 , 所以

sin ?C ? sin ? ?BAC ? ?B ? ?

3 1 cos ?B ? sin ?B. 2 2 3 , 即 ?B ? 300 。 3

由(Ⅰ)知 2sin ?B ? sin ?C, 所以 tan ?B ? (18)解: (Ⅰ)

通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B 地区用户满意度评分的平均值高于 A 地区用户满意 度评分的平均值;B 地区用户满意度评分比较集中,而 A 地区用户满意度评分比较分散。 (Ⅱ)A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。 记 CA 表示事件: “A 地区用户满意度等级为不满意” ;CB 表示事件: “B 地区用户满意度等级为不满意” 。
7

由直方图得 P(CA)的估计值为(0.01+0.02+0.03)×10=0.6, P(CB) 的估计值为(0.005+0.02)×10=0.25. 所以 A 地区用户满意度等级为不满意的概率大。 (19)解: (Ⅰ)交线围成的正方形 EHGF 如图:

(Ⅱ) 作 EM⊥AB,垂足为 M, 则 AM=A1E=4, EB1=12, EM=AA1=8.因为 EHGF 为正方形, 所以 EH=EF=BC=10. 于是 MH= EH 2 ? EM 2 ? 6, AH ? 10, HB ? 6 .因为长方体被平面 ? 分为两个高为 10 的直棱柱,所以其体积的比 值为

9 7 ( 也正确) 7 9

(20)解: (Ⅰ)由题意有

a 2 ? b2 2 4 2 ? , ? ?1, a 2 a 2 b2

解得

x2 y 2 ? 1. a ? 8, b ? 4 。所以 C 的方程为 ? 8 4
2 2

(Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), M ( xM , yM ). 将 y ? kx ? b 代入

x2 y 2 ? ? 1得 8 4

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kbx ? 2b2 ? 8 ? 0
故 xm ?

x1 ? x2 ?2kb b ? 2 , ym ? k xm ? b ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
ym 1 1 ? ? , 即kom .k ? ? xm 2k 2

于是直线 OM 的斜率 kom ?

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值。 (21)解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 (0, ??), f ( x) ?
'

1 ?a x

' 若 a ? 0, 则 f ( x) ? 0, 所以 f ( x)在(0, ??) 单调递增。

8

若a ? 0, 则当 x ? (0, ) 时,f ' ( x) ? 0, 当 x ? ( , ??) 时,f ' ( x) ? 0, 所以 f ( x ) 在 (0, ) 单调递增, 在 ( , ??) 单调递减。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a ? 0 时, f ( x)在(0, ??) 无最大值;当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ?

1 a

1 a

1 a

1 a

1 取得最大值,最大值 a

为 f ( ) ? 1n( ) ? a(1 ? ) ? ?1na ? a ? 1 。

1 a

1 a

1 a

因此 f ( ) ? 2a ? 2 等价于 1na ? a ? 1 ? 0 令 g (a) ? 1na ? a ? 1 ,则 g (a ) 在 (0, ??) 单调递增, g (1) ? 0 于是,当 0 ? a ? 1 时 g (a) ? 0 ;当 a ? 1 时, g (a) ? 0 因此, a 的取值范围是 (0,1) (22)解: (Ⅰ)由于 ABC 是等腰三角形, AD ? BC ,所以 AD 是 ?CAB 的平行线。 又因为 O 分别于 AB , AC 相 切于点 E , F ,所以 AE ? AF ,故 AD ? EF 从而 EF

1 a

BC 。

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 AE ? AF , AD ? EF ,故 AD 是 EF 的垂直平分线,又 EF 为 O 的弦,所以 O 在 AD 上。 连接 OE , OM ,则 OE ? AE 由 AG 等于 O 的半径得 AO ? 2OE ,所以 ?OAE ? 30 . 因
0



ABC 和 ? AEF 都是等边三角形。
因为 AE ? 2 3 ,所以 AO ? 4 , OE ? 2 。 因为 OM ? OE ? 2 , DM ?

1 MN ? 3 ,所以 OD ? 1 于是 2

AD ? 5, AB ?

10 3 3 1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

所以四边形 EBCF 的面积为 (23)解:

(Ⅰ)曲线 C2 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0, 曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 0.
2 2

9

? 3 2 2 x? , ? ? x ? y ? 2 y ? 0, x ? 0, ? ? ? 2 联立 ? 解得 ? 或? 2 2 ? y ? 0, ? ? y ? 3, ? x ? y ? 2 3x ? 0. ? 2 ?
所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0,0)和 ?

? 3 3? ? 2 ,2? ?. ? ?

(Ⅱ)曲线 C1 的极坐标方程为 因此 A 的极坐标为

? ? a ? ? ? R, ? ? 0? , 其中 0 ? a ? ?.
3 cos a, a . 所以

? 2sin a, a? , B 的极坐标为 ? 2

?

5? ?? AB ? 时, 取得最大值,最大值为 4. AB ? 2sin a ? 2 3 cos a ? 4 sin ? a ? ? . 当 a ? 6 3? ?
(24)解: (Ⅰ)因为

?

a? b

?

2

? a ? b ? 2 ab ,

由题设 a ? b ? c ? d , ab ? cd 得 因此 a ? b ? c ? d 。

?

a?

? c ? d ? ?c?d ?2 b? ? ? c ? d ? 。
2 2 2
2 2 2

cd ,

2 (Ⅱ) (i)若 a ? b ? c ? d , 则 ? a ? b ? ? ? c ? d ? ,即 ? a ? b ? ? 4ab ? (c ? d ) ? 4cd .

因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd 由(Ⅰ)得 a ? b ? c ? d (ii)若 a ? b ? c ? d ,则

?

a? b

? ??
2
2

c? d

? ,即 a ? b ? 2
2
2

ab ? c ? d ? 2 cd

2 因为 a ? b ? c ? d ,所以 ab ? cd .于是 ? a ? b ? ? (a ? b ) ? 4ab ? ?c ? d ? ? 4cd ? ?c ? d

?

2

因此 a ? b ? c ? d . 综上, a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件

10


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