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湖南省长沙市明德中学2016届高三上学期第三次月考数学(理)试题


明德中学 2016 届高三年级第三次月考

数学(理科)试题
命题:彭新华 审定:蔡兆球 时量:120 分钟

2015 年 10 月 满分:150 分

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.若复数 Z1 ? 3 ? i, Z2 ? 2 ? i ,则 A.第一象限 A. x x ? 0?

z1 在复平面内对应的点位于 z2





2.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B =

?

B.第二象限

?

?

C.第三象限

?

D.第四象限 ( D. ? 4
正视图



?

B. x x ? 1?

?

C. x 0 ? x ? 1或x ? 1?

?

3. 已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如 右图所示,则这个几何体的体积是 ( ) 8 ? A. B. 7? C. 2?

1
侧视图

7? D. 4

3
俯视图

第(3)题图

4.设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,则下列四个命题: ①若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ; ②若 a // ? , a ? ? ,则 ? ? ? ;

? ,则 a // ? 或 a ? ? ; ④若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? .
③若 a ? ? , ? ? 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 5.下列命题错误的是
2 2

( C.3 D.4 (

) )

A .命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x , y 中至少有一个不为 0 则

x2 ? y2 ? 0 ” 2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 ? ? ? ? ? ? D.若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角 cos2 5? ? sin 2 5? 6. ( ) ? sin 40? cos 40? 1 A.1 B. C. 2 D. ? 1 2 7. 以模型 y ? cekx 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 z ? ln y ,其变换后得到线性回 归方程 z ? 0.3 x ? 4 ,则 c ? ( ) A.0.3 B. e 0.3 C. 4 D. e 4

8. 若函数 f ( x) 为奇函数,且在 (0,??) 上是增函数,又 f (2) ? 0 ,则 解集为 A. (?2,0) ? (0,2) C. (??,?2) ? (2,??) 边形 ABCD 的面积为 A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2
n

f ( x) ? f (? x) ? 0的 x
( )

B. (??,?2) ? (0,2) D. (?2,0) ? (2,??) ( D. 20 2 )

9.在圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四

10.用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2) ??? (n ? n) ? 2 ?1? 3 ??? (2n ?1) ” ,从“ k 到 k ? 1 ” 左端需增乘的代数式为( ) A. 2k ? 1 B. 2(2k ? 1) C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1


11.直线 x ? 1, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? A. ln 2 B. ln

1 围成图形的面积为 ( x( x ? 1)
D. ln 3 ? ln 2

4 3

C. ln 3

12.如果数列 ?a n ?满足 a1 10 项等于 ( A. )

? 2 , a 2 ? 1 ,且
1 29

a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 ? ( n ≥2),则这个数列的第 a n ?1 a n ?1
C.
1 10

1 2 10

B.

D.

1 5

第 II 卷(非选择题
13. (1 ?

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上.)

x)6 (1 ? x)6 展开式中 x 6 的系数为
3 5 , cos B ? , b ? 3 , 则 c = 5 13

14. 设 △ ABC 的 内角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 且 cos A ? ________. 15. 已 知 F1 、 F2 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1(m ? 2) 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 椭 圆 上 , 若 m2 m2 ? 4


PF1 ? PF2 ? 2 3m ,则该椭圆离心率的取值范围为
16.已知函数 f ( x) ? ?

?| lg x |, x ? 0 ?? x ? 2 x, x ? 0
2

, 若函数 y ? 2[ f ( x)]2 ? 3mf ( x) ? 1 有 6 个不同的零点,

则实数 m 的取值范围是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 a1 ?

1 1 , an ?1 ? an ? 1 ? n ?1 (n ? N ? ) 2 2

1 } 成等差数列; 2n (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项的和 Sn .
(Ⅰ)求证:数列 {an ?

18. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c , 若 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,求 f ( ) 的取值范围.

y

A 2

1
O

? 5?
3 12

x

19.(本小题满分 12 分)如图 1,平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 2, ?BAD ? 45? ,
O 为 CD 中点,将 ?BOC 沿 OB 边翻折,折成直二面角 A ? BO ? C , E 为 AC 中点, (Ⅰ)求证: DE / / 平面 BOC ;

(Ⅱ)求直线 AC 与平面 BCD 所成夹角的正弦值.

C O C

D

E D
O

A
图1

B A
图2

B

20.(本小题满分 12 分)已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(0, 6) ,且它的 离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点, 若椭圆上一点 C 满 足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln( ? ) ?

1 x

x?a (a ? R) x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性 (Ⅱ) 若函数 y ? h( x ) 与函数 y ? f ( x ) 的图像关于原点对称且 h(1) ? 0. 就函数 y ? h( x ) 分 别求解下面两问: ①问是否存在过点 (1, ?1) 的直线与函数 y ? h( x ) 的图象相切? 若存在, 有多少条?若 不存在,说明理由 ②求证:对于任意正整数 n ,均有 1 ?

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln ( e 为自然对数的底数) 2 3 n n!

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 ?Q 与 ? ? 相切于点 ? , ?? 是 ? ? 的弦, ???? 的平分线 ? C 交 ? ? 于点 C ,连结 C ? ,并延长与直线 ?Q 相交于点 Q ,若 ?Q ? 6 , ?C ? 5 . (I)求证: QC2 ? Q?2 ? ?C ? QC ; (II)求弦 ?? 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.

? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? ( t 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ? (Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π (Ⅱ)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? , Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2 C3 : ? (cos? ? 2sin ? ) ? 7 距离的最小值.
已知曲线 C1 : ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

2 2 设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b ,其中 a , b 为实数.

2 2 (I)若 a ? b ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 ,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 3 ;

(II)若 a ? b ? 4 ,证明: f ? x ? ? 8

2016 届明德中学高三第三次月考试卷答案 理科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.若复数 z1=3+i,z2=2-i,则 A.第一象限 【答案】A 一象限. A. x x ? 0?

z1 在复平面内对应的点位于 z2
C.第三象限 D.第四象限

z1 3 ? i (3 ? i)(2 ? i) ? ? ? 1 ? i 在复平面内对应的点为 (1,1) ,所以此点位于第 z2 2 ? i (2 ? i)(2 ? i)

B.第二象限

2.已知集合 A ? x log 2 x ? 0 ,集合 B ? x 0 ? x ? 1 ,则 A ? B =(

?

?

?

?

) D. ?

?

B. x x ? 1?

?

C. x 0 ? x ? 1或x ? 1?

?

【答案】A 由题可知, log2 x ? 0 ? x ? 1 ,故 A ? B ? {x | x ? 0}; 3. 已知某几何体的侧视图与其正视图相同, 相关的尺寸如 4 右图所示,则这个几何体的体积是( ) 正视图 A. 8? B. 7? C. 2? 【答案】D
俯视图

1
侧视图

D.

7? 4

3

第(3)题图

4.设 a 、 b 是两条不同直线, ? 、 ? 是两个不同平面,则下列四个命题: ①若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ; ②若 a // ? , a ? ? ,则 ? ? ? ;

? ,则 a // ? 或 a ? ? ; ④若 a ? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ? .
③若 a ? ? , ? ? 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 【答案】D 【解析】①正确。在直线 C.3

D.4

a 上 取 一 点 P, 过 P 作 直 线 l / /b ,则 a ? l; 过 a, l 做 平 面 ? , ? ? ? ? c; ? a ? ? ,? a ? c, c ? ? , l ? ? , ? c / /l ? , b / /又 c ,b ? ? , c ? ? ,?b / /? ; ②正确。 过直线 a 做平面 ? , ? ? ? ? b,? a / /? ,? a / /b, 又 a ? ? ,?b ? ? , b ? ? ,?? ? ? ; ③ 正确。 设 ? ? ? ? l , 在 ? 内作直线 b ? l ,?? ? ? , b ? ? ; 又 a ? ? ,? a / /b, b ? ? ; 若 a与? 有 公共点,则 a ? ? ; 若 a与? 没有公共点,则 a / /? ; ?b ? ? , ? ? ??; ; 当 b ? ? 时, ④正确。 若 a ? b ,a ? ? , 则 b ? ? , 或b// ? 当 b / /? ? , 时,过 b 做平面 ? ? ? ? c, 则b / / c, ? b ? ? ,? c ? ? . 又 c ? ? ,?? ? ? .
故选 D 5.下列命题错误的是( ) 2 2 A .命题“若 x ? y ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的逆否命题为“若 x , y 中至少有一个不为 0 则

x2 ? y2 ? 0 ” 2 B.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 C. ?ABC 中, sin A ? sin B 是 A ? B 的充要条件 ? ? ? ? ? ? D.若 向 量 a, b 满 足 a ? b ? 0 , 则 a 与 b 的 夹 角 为 锐 角

【答案】D 6.

cos2 5? ? sin 2 5? ?( sin 40? cos 40?
B.



1 C. 2 D. ? 1 2 cos100 ?2 【答案】C 原式= 1 0 sin 80 2 7 以模型 y ? cekx 去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设 z ? ln y ,其变换后得到线性回 归方程 z ? 0.3 x ? 4 ,则 c ? ( ) A.0.3 B. e 0 .3 C. 4 D. e 4 【答案】D z ? ln y ? ln cekx ? ln c ? kx ,因为 z ? 0.3 x ? 4 ,所以 ln c ? 4 , c ? e 4 . f ( x) ? f (? x) ? 0 的解 8 若函数 f ( x) 为奇函数,且在 (0,??) 上是增函数,又 f (2) ? 0 ,则 x
A.1

? ?

集为 A. (?2,0) ? (0,2) B. (??,?2) ? (0,2) C. (??,?2) ? (2,??) D. (?2,0) ? (2,??) 【答案】A 【解析】若函数 f ( x) 为奇函数,且在 (0,??) 上是增函数,又 f (0) ? 0, 则函数 f ( x) 在 R 上 是增函数; f (2) ? 0,? f (?2) ? 0; 所以不等式

f ( x) ? f (? x) ? 0 可化为 2 xf ( x) ? 0; 则 x

x?0 ? x?0 ? 或? ; 解得 0 ? x ? 2或-2<x<0;故选 A ? f ( x ) ? f (2) f ( x ) ? f ( ? 2) ? ? 9.在圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四 边形 ABCD 的面积为( ) A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2
【答案】B 【解析】把圆的方程化为标准方程得 ? x ? 2 ? ? ? y ? 2 ? ? 10 ,则圆心坐标为 M ? 2, 2 ? ,半径
2 2

为 10 ,根据题意过点 E 最长的弦为直径 AC ,最短的弦为过点 E 与直径 AC 垂直的弦 BD, 则 AC ? 2 10, MB ? 10, ME ?

? 2 ? 0? ? ? 2 ?1?
2

2

? 5 , 所 以 BD ? 2BE ? 2 5 , 又

AC? BD ,所以四边形的面积 S ?

1 AC ? BD ? 10 2 .故选 B. 2
n

10.用数学归纳法证明“ (n+1) (n+2) ·?· (n+n)=2 ·1·3·?· (2n-1) ” ,从“k 到 k+1” 左端需增乘的代数式为( ) A.2k+1 【答案】B B.2(2k+1) C.

?k ? 2??k ? 3?......?k ? k ??2k ? 1??2k ? 2? ?2k ? 1??2k ? 2? ? 2?2k ? 1? ?k ? 1?

当 n ? k 时 , 原 式 是 ?k ? 1??k ? 2?......? ?k ? k ? , 当 n ? k ? 1 时 , 变 为 , 所 以 增 乘 的 代 数 式 是

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

11.直线 x ? 1, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ?

1 围成图形的面积为 ( x( x ? 1)



A. ln 2 【答案】B

B. ln

4 3

C. ln 3

D. ln 3 ? ln 2

12.如果数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 , a 2 ? 1 ,且 10 项等于 (
1 A. 10 2 1 D. 5

a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 ? ( n ≥2),则这个数列的第 a n ?1 a n ?1

) B.
1 29

C.

1 10

【答案】D 解:∵

2a n ?1a n ?1 a n ?1 ? a n a n ? a n ?1 ? ,∴an= , a n ?1 a n ?1 a n ?1 ? a n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,∴ ∴ = = ,即{ }为 等差数列, (n≥2) . 2( ? ) an a n a n ?1 a n ?1 a n an a n ?1 a n ?1 1 1 1 1 1 然后可得 d= , = + 9× =5,∴a10= .故选 D. 2 a 10 2 2 5

第 II 卷(非选择题)
13. (1 ?

x) (1 ? x)
6

6

展开式中 x 6 的系数为

【答案】-20 14.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cos A= =________.

3 5 ,cos B= ,b=3,则 c 5 13

14 3 4 5 12 在△ABC 中,∵cos A= >0,∴sin A= .∵cos B= >0,∴sin B= . 5 5 5 13 13 4 5 3 12 ∴sin C=sin [π -(A+B)]=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B= × + × = 5 13 5 13 56 b c b sin C 14 ? .由正弦定理,知 ,则 c= = . 65 sin B sin C sin B 5 x2 y2 15. 已 知 F1 、 F2 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1(m ? 2) 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 椭 圆 上 , 若 m m ?4 PF1 ? PF2 ? 2 3m ,则该椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】

3 由 已 知 得 , ] 3 | PF1 | ? | PF2 | 2 c ? 2, | PF1 | ? | PF2 |? ( ) ? 2 3m ? m 2 ? m ? 2 3 , 2 c 3 又 e ? ,故 e ? (0, ]; a 3 ?| lg x |, x ? 0 16.已知函数 f ( x) ? ? 2 , 若函数 y ? 2[ f ( x)]2 ? 3mf ( x) ? 1 有 6 个不同的零点, ? x ? 2 x , x ? 0 ?
【 答 案 】

(0,

则实数 m 的取值范围是 【 答 案 】 m ? ?1

设 t ? f ?x ? , 则 函 数化 为 g ? t ? ? 2t ? 3mt ? 1 , 若 满 足 题意 需 方程
2



2t 2 ? 3m t ? 1 ? 0 的 根 分 别 在 区 间 ?0,1? 和 ?1,??? 内 , 又 g ? 0? ? 1 , 则 需 g ?1? ? 0 , 即 2 ? 3m ? 1 ? 0 解得 m ? ?1 .
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知数列 {an } 满足 a1 ? (Ⅰ)求证:数列 {an ?

1 1 , an ?1 ? an ? 1 ? n ?1 (n ? N ? ) 2 2

1 } 成等差数列; 2n (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项的和 Sn . 1 1 1 【解析】 (Ⅰ)由 an ?1 ? an ? 1 ? n ?1 得 an ?1 ? n ?1 ? an ? 1 ? n 2 2 2 1 6分 所以数列 {an ? n } 成等差数列 2 1 1 1 n( n ? 1) 1 ?1? n (Ⅱ) S n ? 1 ? 2 ? ? ? n ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? 12 分 2 2 2 2 2 ? 18.已知函数 f ( x) ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? ) 的部分图象如图所示. 2 y f ( x ) 的解析式; (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c , 1 A ? 5? 若 ? 2a ? c ? cos B ? b cos C ,求 f ( ) 的取值范围. x O 2 3 12 ? ? 【解】(Ⅰ)由 f (0) ? f ( ) ? 1 ? y ? f ( x) 的一条对称轴为 x ? , 3 6 5? ? 从而 f ( x) 的最小正周期 T ? 4( ? ) ? ? ,故 ? ? 2 ………………2 分 12 3 5? ? 5? ? ? ) ? 0 ,又 ? ? , 将点 ( ,0) 代入 f ( x) 的解析式得 f ( x) ? Asin( 6 2 12
故? ?

?

6

,………………4 分

将点 (0,1) 代入 f ( x) 的解析式得 f ( x) ? Asin 所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

?1? A ? 2

…………………… ………… 6 分 ) 6 (Ⅱ)由 (2a ? c) cos B ? b cosC 得 (2sin A ? sin C )cos B ? sin B cos C 所以 2 sin A cos B ? sin(B ? C ) ? sin A 1 ? 2? ? A?C ? 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? ? B ? 2 3 3 2? ? ? 5? A ? f ( ) ? 2sin( A ? ) ,? 0 ? A ? ,? ? A ? ? 3 6 6 6 2 6 A ? 1 ? f ( ) ? 2sin( A ? ) ? 2 ……………………12 分 2 6

?

19. (本小题满分 12 分)如图 1,平行四边形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 2, ?BAD ? 45? , O C 为 CD 中点,将 ?BOC 沿 OB 边翻折,折成直二面角 A ? BO ? C , E 为 AC 中点, (Ⅰ)求证: DE / / 平面 BOC ; O D C E

D A
图1

O

B A
图2

B

(Ⅱ)求直线 AC 与平面 BCD 所成夹角的正弦值. 【解法一】 (Ⅰ)连结 BD ,由余弦定理 BD2 ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB ? cos 45? ? 2 所以 AB 2 ? BD 2 ? AB 2 ? ?BAD ? 90? 从而 ?ABD 与 ?BCD 均为等腰直角三角形, 因此 BO ? OC , BO ? OD 又平面 BOC ? 平面 ABOD ,所以 OC ? 平面 ABOD 取 BC 中点 F ,连结 EF , OF , EF 为 ?ABC 的中位线,

C

1 1 所以 EF / / AB ,又 OD/ / AB ? EF / /OD ? 四边形 EFOD 2 2

E D

F
O

为平行四边形. B A DE / / OF 又 DE ? 平面BOC , OF ? 平面BOC ? DE / /平面BOC ……………(5 分) (Ⅱ)经计算可得 BC ? CD ? DB ? 2 ,所以 ?BCD 为等边三角形. 设点 A 到平面 BCD 的距离为 d ,直线 AC 与平面 BCD 所成夹角为 ? , 由(Ⅰ)知 DE / /平面BOC ,又 OF ? 平面ABC ,所以 DE ? 平面ABC 1 1 1? 1 3? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? 2? 2 ?? 由于 VA? BCD ? VD? ABC ? S?BCD ? d ? S?ABC ? DE ? ? ? ??d ? 3? 3 3 3? 2 2 2 ? ? 2 ? ?

2 3 2 2 3 d 2 ,即 AC 与平面 BCD 所成夹角的正弦值为 .…(10 分) ?d ? ,?sin ? ? ? 3 ? 3 3 AC 3 6 z 【解法二】 (Ⅰ)同解法一证得 OC ? 平面 ABOD C 以 O 为坐标原点,分别以 OD, OB, OC 所在直线为 x, y, z 轴 建立空间直角坐标系,如图: E 1 1 则 O(0,0,0), D(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), A(2,1,0), E(1, , ) x O 2 2 D ???? ??? ? ??? ? 1 1 1 1 DE ? (0, , ) ,取 BC 中点 F , OF ? (0, , ) ? DE , B A 2 2 2 2 y 所以 DE / / OF 又 DE ? 平面BOC , OF ? 平面BOC ? DE / /平面BOC ……………(6 分) ??? ? ??? ? (Ⅱ)设平面 BCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , BD ? (1, ?1,0), BC ? (0, ?1,1)
??? ? ? n ? AB ? x ? y ? 0 ? ? 由 ? ??? ,取 y ? 1, 则 x ? 1, z ? 1 ,所以平面 ABC 的一个法向量为 n ? (1,1,1) ? ? n ? BC ? y ? z ? 0 ??? ? CA ? n ??? ? 2 ? ? CA ? (2,1, ?1) ,设直线 AD 与平面 ABC 所成夹角为 ? , 则 sin ? ? ??? 3 CA n

因此 AC 与平面 BCD 所成夹角的正弦值为

2 ...………..…..………………(12 分) 3

20.已知中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(0, 6) ,且它的离心率 e ?

1 . 2

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切的直线 l:y ? kx ? t 交椭圆于 M,N 两点, 若椭圆上一点 C 满足 OM ? ON ? ?OC ,求实数 ? 的取值范围.

x2 y2 【解析】 (Ⅰ)椭圆的标准方程为: ? ?1 8 6 (Ⅱ) 因为直线 l : y ? kx ? t 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 相切

4分

所以,

t?k 1? k2

? 1 ? 2k ?

1? t2 ( t ? 0) t

x2 y2 ? ? 1 并整理得: (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? (4t 2 ? 24) ? 0 8 6 8kt 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则有 x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 6t y1 ? y 2 ? kx 1 ? t ? kx 2 ? t ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2t ? 3 ? 4k 2 ? ? 8kt ? 6t 因为, ? OC ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , 所以, C ? ? (3 ? 4k 2 ) ? , (3 ? 4k 2 ) ? ? ? ? ? 2 2 2 8k t 6t ? ?1 又因为点 C 在椭圆上, 所以, 2 2 2 (3 ? 4k ) ? (3 ? 4k 2 )2 ? 2
把 y ? kx ? t 代入

2t 2 2 ?? ? ? 2 1 1 3 ? 4k ( 2 )2 ? ( 2 ) ? 1 t t 1 1 2 因为 t 2 ? 0 ,所以 ( 2 ) ? ( 2 ) ? 1 ? 1 t t 2 所以 0 ? ? ? 2 ,所以 ? 的取值范围为 (? 2 , 0) ? (0, 2 ) 12 分 1 x?a (a ? R) 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln( ? ) ? x x (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性 (2) 若函数 y ? h( x ) 与函数 y ? f ( x ) 的图像关于原点对称且 h(1) ? 0. 就函数 y ? h( x ) 分别
2

求解下面两问: (Ⅰ)问是否存在过点 (1, ?1) 的直线与函数 y ? h( x ) 的图象相切? 若存在,有多少条?若不 存在,说明理由

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln ( e 为自然对数的底数) 2 3 n n! 1 a x?a 1 x?a 【解析】由 f ( x) ? ln(? ) ? 得 f ?( x) ? ? ? 2 ? ? 2 ,定义域 x ? (??, 0) x x x x x 1 x?a 1、当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) ? ln( ? ) ? 在(-∞,0)上为增函数, x x 2、 当 a ? 0 时, 令 f ?( x) ? 0 得, x=-a, 当 x ? (??,?a) 时,f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 为增函数, 当 x ? (?a,0) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 为减函数;
(Ⅱ)求证:对于任意正整数 n ,均有 1 ?
1 x?a )? 在(-∞,0)上为增函数; x x 当 a ? 0 时, x ? (??,?a) 时, f ( x) 为增函数, x ? (?a,0) 时, f ( x) 为减函数; 5 分 1 a?x ? ( 2 ) 用 ( -x,-y ) 取 代 ( x,y ) 得 ? y ? ln 化 简 得 , x ?x x?a x ?1 y ? ln x ? 又h (1) ? 0 故 a ? 1 ,即 h ( x ) ? ln x ? , x x

综上可知:当 a ? 0 时, f ( x ) ? ln( ?

(Ⅰ)假设存在这样的切线,设其中一个切点 T ( x0 , ln x0 ?

x0 ? 1 ), x0

故切线方程为 y ? 1 ?

x0 ? 1 x0
2

( x ? 1) ,将点 T 坐标代入得,

3 1 x0 ? 1 ( x0 ? 1) 2 ? 2 ? 1 ? 0 ,??① ln x0 ? ?1 ? ,即 ln x0 ? 2 x0 x0 x0 x0 ( x ? 1)( x ? 2) 3 1 设 g ( x) ? ln x ? ? 2 ? 1 ,则 g ?( x ) ? .? x ? 0 , x x x3 ? g ( x) 在区间 (0,1) , (2,??) 上是增函数,在区间 (1,2) 上是减函 数, 1 故 g ( x)极大值 ? g (1) ? 1 ? 0, g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? ? 0 . 4 1 1 又 g ( ) ? ln ? 12 ? 16 ? 1 ? ? ln 4 ? 3 ? 0 , 注 意 到 g ( x) 在 其 定 义 域 上 的 单 调 性 , 知 4 4 1 g ( x) ? 0 仅在 ( ,1) 内有且仅有一根方程①有且仅有一解,故符合条件的切线有且仅有一条. 4 1 e x ?1 ? h (1) ? , 0 故 ? 1 ? ln x ? ln , 取 (Ⅱ)由(1) , ( 2 ) 知 h( x ) ? l n x ? x x x x ? 1, 2 ,? 3 n ,,
则1 ?

1 1 1 en ? ? ? ? ? ln 2 3 n n!

12 分

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22. 【 解 析 】 ( 1 ) 证 明 : 因 为 PQ 与 ?O 相 切 于 点 A , 由 切 割 线 定 理 得 : (2)由(1)可知, QA ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC .
2

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC ,所以 QC 2 ? QA2 ? BC ? QC .

5分

因 为 PQ 与 ?O 相 切 于 点 A , 所 以 ?PAC ? ?CBA . 因 为 ?PAC ? ?BAC , 所 以

?BAC ? ?CBA ,所以 AC ? BC ? 5 ,又知 AQ ? 6 ,所以 QC ? 9 .由 ?QAB ? ?ACQ 知 10 AB QA ,所以 AB ? . 10 分 ?QAB : ?QCA ,所以 ? 3 AC QC x2 y 2 2 2 ? ?1 23. 【解析】 (Ⅰ) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1, C2 : 64 9 C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆. C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8 ,短半轴长是 3 的椭圆 5 分 π 3 (Ⅱ)当 t ? 时, P(?4, 4), Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) 2 2 C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0
5 4cos ? ? 3sin ? ? 13 5 4 3 8 5 从而当 cos ? ? ,sin ? ? ? 时, d 取得最小值 5 5 5
M 到 C3 的距离 d ?
? ?2 x  x ? -1 于是有 f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 1 |? ? ?2    -1 ? x ? 1 ? 2 x   x ? 1 ?

10 分

24.【解析】 (1) 由 a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 2 ? 0 , 可得 (a ?1) 2 ? (b ? 1) 2 ? 0 , 故 a=1,b=-1;

3? 3 所以 f ( x) ? 3 的解集为 ? ? -?,- ? ? [ , ? ?] ; 2? 2 ? 2 2 2 (2) f ( x) ?| x ? a | ? | x ? b |?| a ? b 2 |? a 2 ? b 2
由于 a 2 ? b 2 ? 2ab 10 分
2

5分

2 2 ,所以 2( a ? b ) ? ? a ? b ? ? 16 ,故 a 2 ? b 2 ? 8 ,即 f ( x) ? 8 得证;



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