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第三章3.2 第2课时一元二次不等式及其解法习题课


第 2 课时 一元二次不等式及其解法习题课

探究点一 解简单的分式不等式 解下列不等式 2x-1 2-x (1) ≥0; (2) >1. 3x+1 x+3
? ?(2x-1)(3x+1)≥0, 2x-1 (1) 因为 ≥0?? ? 3x+1 ?3x+1≠0 ?

[解]

?x≤-3或x≥2, 1 ? x< - 或 ? 1 3 ?x≠-3

1

1

1 x≥ . 2 1 1? ? 所以原不等式的解集为?x|x<-3或x≥2?.
? ?

? ? ? ? ?x+3>0, ?x+3<0, (2)原不等式可化为? 或? ?? 1 ?2-x>x+3 ? ?2-x<x+3 ?x<- ?
1? ? 所以原不等式的解集为?x|-3<x<-2?.
? ?

x>-3, ?x<-3, ? 1 或? 1 ?-3<x<-2. ?x>-2 2 ? ?

分式不等式的解法 f(x) f(x) 先通过移项、 通分整理成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤0), 再化成整式不等式(组) g(x) g(x) 来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母即可. x+1 1.(1)不等式 ≤3 的解集是________. x 2x-1 (2)不等式 >1 的解集是________. x+3 x+1 1-2x 2x-1 解析:(1)原不等式等价于 -3≤0? ≤0? ≥0?x(2x-1)≥0,且 x≠0, x x x 1 解得 x≥ 或 x<0. 2 2x-1 (2)原不等式等价于 -1>0, x+3 即 x-4 >0?(x-4)(x+3)>0?x<-3 或 x>4. x+3
? ?

1 ? ? 答案:(1)?x|x≥2或x<0?

(2){x|x<-3 或 x>4}

探究点二 不等式的恒成立问题(规范解答) (本题满分 12 分)设函数 f(x)=mx2-mx-1,若对于一切实数 x∈R,f(x)<0 恒成

立,求 m 的取值范围. [解] 不等式 mx2-mx-1<0 若对于一切实数 x∈R 恒成立,即函数 f(x)=mx2-mx-1 的图象全部在 x 轴下方.(2 分) 若m=0 (4 分) 若m≠0 且方程 mx2-mx-1=0 无解, (6 分)
?m<0, ? ? 即满足? ……(8 分) 2 ?Δ=m +4m<0, ?
?

,显然-1<0 符合题意.

,函数 f(x)=mx2-mx-1 为二次函数,需满足开口向下

解得-4<m<0,(10 分)
? 综上所述-4<m≤0 .

(12 分) 综合上述两种情况下结论

一元二次不等式恒成立问题的解题策略 (1)相互转化策略:利用一元二次不等式恒成立,二次函数图象在 x 轴上方(下方)及一元 二次方程无解三者间相互转化. (2)分类讨论意识:在解含有参数的问题时,要注意分类讨论思想的应用,如本例中的 解析式中二次项系数含有参数 m,故需考虑是否需要分类讨论. 2.设函数 f(x)=lg(ax2+2ax+1).若函数的定义域为 R,求 a 的取值范围. 解:因为 f(x)的定义域为 R, 所以当 x∈R 时, ax2+2ax+1>0 恒成立. 令 g(x)=ax2+2ax+1. ①当 a=0 时,g(x)=1,显然符合题意.
?a>0, ? ②当 a≠0 时,则必须满足? 2 ? ?Δ=4a -4a<0,

所以 0<a<1.

综合①②可知,a 的取值范围为[0,1). 探究点三 一元二次不等式的实际应用 某农贸公司按每担 200 元的价格收购某农产品,并每 100 元纳税 10 元(又称征 税率为 10 个百分点),计划可收购 a 万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定 将征税率降低 x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加 2x 个百分点. (1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的 83.2%,试确定 x 的取值范围. [解] (1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为 a(1+2x%)万担,收购总金 额为 200a(1+2x%)万元. 依题意得 y=200a(1+2x%)(10-x)% = 1 a(100+2x)(10-x)(0<x<10). 50

(2)原计划税收为 200a×10%=20a(万元). 1 依题意得 a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 50 化简得 x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2. 又因为 0<x<10,所以 0<x≤2. 故 x 的取值范围是(0,2].

解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量、找准不等关系. (2)引入数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数最值). (4)回扣实际问题. 3.某校园内有一块长为 800 m,宽为 600 m 的长方形地面,现要对该地面 进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,如图,若要求草坪的面积不 小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.

解:设花卉带宽度为 x m,则草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m,

1 根据题意,得(800-2x)(600-2x)≥ ×800×600, 2 整理,得 x2-700x+60 000≥0, 解得 x≥600(舍去)或 x≤100, 由题意知 x>0, 所以 0<x≤100. 即当花卉带的宽度在(0,100]内取值时,草坪的面积不小于总面积的一半.

1.分式不等式转化为整式不等式的常见方法 f(x) (1) >0?f(x)g(x)>0, g(x) f(x) (2) <0?f(x)g(x)<0, g(x)
? ?f(x)g(x)≥0, f(x) (3) ≥0?? g(x) ?g(x)≠0, ? ?f(x)g(x)≤0, ? f(x) (4) ≤0?? g(x) ? ?g(x)≠0.

[注意] (3)(4)转化为整式不等式时要注意分母不为 0. 2.与不等式有关的恒成立问题的等价转化方式 (1)不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数的条件是: ①当 a=0 时,b=0,c>0;
? ?a>0, ②当 a≠0 时,? ?Δ <0. ?

(2)不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数的条件是: ①当 a=0 时,b=0,c<0;
? ?a<0, ②当 a≠0 时,? ?Δ <0. ?

[注意] 对 a 是否为零要进行讨论.

x+1 1.不等式 >0 的解集是( 3x+6 A.{x|-2<x<-1}

)

B.{x|x≤-2 或 x>-1} C.{x|x<-3 或 x>-2} D.{x|x<-2 或 x>-1} x+1 解析:选 D.不等式 >0 等价于(x+1)(x+2)>0, 3x+6 所以不等式的解集是{x|x<-2 或 x>-1}.故选 D. m 2.若不等式 x2+mx+ >0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是( 2 A.(2,+∞) C.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,2) D.(0,2) )

m 解析:选 D.由题意知原不等式对应方程的 Δ<0,即 m2-4×1× <0,即 m2-2m<0,解 2 得 0<m<2,故答案为 D. 3.某小型服装厂生产一种风衣,日销售量 x 件与售价 P 元/件之间的关系为 P=150- 2x,生产 x 件所需成本为 C=50+30x 元,要使日获利不少于 1 300 元,则该厂日产量应在 ________范围之内(件). 解析:由题意得:(150-2x)x-(50+30x)≥1 300, 化简得:x2-60x+675≤0,解得 15≤x≤45,且 x 为整数. 答案:{x|15≤x≤45,x∈N*} ax 4.解不等式 <0. x+1 ax 解: <0,即 ax(x+1)<0. x+1 当 a>0 时,ax(x+1)<0,所以 x(x+1)<0,解得{x|-1<x<0}; 当 a=0 时,原不等式的解集为?; 当 a<0 时,ax(x+1)<0, 所以 x(x+1)>0,解得{x|x>0 或 x<-1}. 综上,当 a>0 时,原不等式的解集为{x|-1<x<0}; 当 a=0 时,原不等式的解集为?; 当 a<0 时,原不等式的解集为{x|x>0 或 x<-1}.

[A 基础达标]

x-4 1.不等式 <0 的解集是( 3-2x
? 3 ? A.?x|2≤x<4? ? ?

)

B.{x|3<x<4} 3 ? ? C.?x|x<2或x>4?
? ? ? 3 ? D.?x|2<x<4? ? ?

x-4 3? 3 ? ? ? ? 解析:选 C. 不等式 <0 等价于? ?x-2?(x-4)>0,所以不等式的解集是?x|x<2或x>4?. 3-2x 2.不等式(x-1) x+2≥0 的解集是( A.{x|x>1} B.{x|x≥1} C.{x|x≥1 或 x=-2} D.{x|x≤-2 或 x=1} 解析:选 C. 当 x=-2 时,0≥0 成立.当 x>-2 时,原不等式变为 x-1≥0,即 x≥1. 所以不等式的解集为{x|x≥1 或 x=-2}. ax+b 3.关于 x 的不等式 ax-b>0 的解集是(1, +∞), 则关于 x 的不等式 >0 的解集是( x-2 A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) a>0, ? ? 解析:选 A.由 ax-b>0 的解集为(1,+∞)得?b ? ?a=1, ax+b x+1 所以 >0 即 >0, x-2 x-2 解得 x<-1 或 x>2.故选 A. 4.如果 A={x|ax2-ax+1<0}=?,则实数 a 的取值集合为( A.{a|0<a<4} C.{a|0<a≤4} B.{a|0≤a<4} D.{a|0≤a≤4} ) ) )

解析:选 D.当 a=0 时,有 1<0,故 A=?. 当 a≠0 时,若 A=?,

?a>0, ? 则有? 2 ? ?Δ=a -4a≤0,

解得 0<a≤4. 综上,a 的取值集合为{a|0≤a≤4}. 5.在 R 上定义运算 × :A × B=A(1-B),若不等式(x-a) × (x+a)<1 对任意的实 数 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A.-1<a<1 1 3 C.- <a< 2 2 ) B.0<a<2 3 1 D.- <a< 2 2

解析:选 C.(x-a) × (x+a)=(x-a)[1-(x+a)]=-x2+x+a2-a,所以-x2+x+a2- a<1,即 x2-x-a2+a+1>0 对 x∈R 恒成立,所以 Δ=1-4(-a2+a+1)=4a2-4a-3<0, 1 3 所以(2a-3)(2a+1)<0,即- <a< . 2 2 (3x-4)(2x+1) 6.不等式 <0 的解集为________. (x-1)2 解析:原不等式可化为(3x-4)(2x+1)(x-1)2<0,如图,

利用数轴标根法可得不等式的解集为 4 ? ? 1 ? ?x - <x< 且x≠1?. 2 3 ? ? ? 1 4 ? ? - <x< 且x≠1? 答案:?x? 3 ? ? 2 ? 7.方程 x2+(m-3)x+m=0 有两个正实根,则 m 的取值范围是________.

Δ=(m-3) -4m≥0, ? ? 解析:由题意得?3-m>0, ? ?m>0,
解得 0<m≤1. 答案:(0,1] 8.若关于 x 的不等式 x2-4x≥m 对任意 x∈[0,1]恒成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 解析:设 f(x)=x2-4x=(x-2)2-4,所以 f(x)在 x∈[0,1]上单调递减,所以当 x=1 时, 函数 f(x)取得最小值 f(1)=-3.所以要使 x2-4x≥m 对于任意 x∈[0,1]恒成立,则需 m≤-

2

3. 答案:(-∞,-3] 9.一辆汽车总重量为 ω,时速为 v(km/h),设它从刹车到停车行走的距离 L 与 ω,v 之 间的关系式 L=kv2ω (k 是常数).这辆汽车空车以每小时 50 km 行驶时,从刹车到停车行进 了 10 m,求该车载有等于自身重量的货物行驶时,若要求司机在 15 m 距离内停车(包含 15 m),并且司机从得到刹车指令到实施刹车时间为 1 s,汽车允许的最大时速是多少?(结果精 确到 1 km/h) 1 解:根据已知当 L=10,v=50 时,10=k· 502·ω?kω= . 250 又司机反应时间 1 s 内汽车所走路程与汽车从刹车到停止所走路程之和为 kv2·2ω+ v×1 000 ×1. 60×60 v×1 000 v2 5v 依题意,得 kv2·2ω+ ×1≤15? + ≤15?18v2+625v-33 750≤0?0<v 125 18 60×60 ≤29(近似值). 故汽车允许最大时速为 29 km/h. 10.不等式(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1<0 对一切 x∈R 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:若 m2-2m-3=0,则 m=-1 或 m=3, 当 m=-1 时, 原不等式为 4x-1<0 对一切 x∈R 不恒成立,不合题意; 当 m=3 时, 原不等式为-1<0 对一切 x∈R 恒成立,符合题意. 若 m2-2m-3≠0,设 f(x)=(m2-2m-3)x2-(m-3)x-1,
?m2-2m-3<0, ? 由题意得? 2 2 ? ?Δ=[-(m-3)] +4(m -2m-3)<0,

1 解得- <m<3, 5 1 综上所述,实数 m 的取值范围是- <m≤3. 5 [B 能力提升] )

1 1.下列选项中,使不等式 x< <x2 成立的 x 的取值范围是( x A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞)

1 解析:选 A.由 x< <x2 x

可得

? ? 即 ?1 ?1-x < x , ?x ? x <0,
1 x< , x
2 3

x2-1 <0, x

? ?x<-1或0<x<1, 解得? ?x<0或x>1, ?

所以 x<-1. 2.关于 x 的方程 范围是________. 解析:若方程
? ?m<0, ? ?m-1>0, ? ?m>0, ? x2 +x+m-1=0 有一个正实根和一个负实根,则有? 或 m ?m-1<0 ?

x2 +x+m-1=0 有一个正实数根和一个负实数根,则实数 m 的取值 m

所以 0<m<1. 答案:(0,1) 3.某自来水厂的蓄水池存有 400 t 水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 t,同时蓄水池 又向居民小区不间断供水,x h 内供水总量为 120 6x(0≤x≤24). (1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 t 时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 h 内,有 几个小时出现供水紧张现象? 解:(1)设 x h 后蓄水池中的水量为 y t, 则 y=400+60x-120 6x, 设 6x=u,则 u2=6x(u∈[0,12]), 所以 y=400+10u2-120u=10(u-6)2+40. 因为 u∈[0,12],故当 u=6 即 x=6 时,ymin=40. 即从供水开始到第 6 h 时,蓄水池中的存水量最少,为 40 t. (2)依题意,得 400+10u2-120u<80, 即 u2-12u+32<0, 解得 4<u<8,

所以 16<u2<64. 又 u2=6x, 所以 16<6x<64, 8 32 32 8 所以 <x< .又 - =8, 3 3 3 3 所以每天约有 8 h 供水紧张. 4.(选做题)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象过 A(t1,y1)、B(t2,y2)两点,且满足 a2+(y1+y2)a+y1y2=0. (1)求证:y1=-a 或 y2=-a; (2)求证:函数 f(x)的图象必与 x 轴有两个交点. 证明:(1)因为 a2+(y1+y2)a+y1y2=0, 所以(a+y1)(a+y2)=0,得 y1=-a 或 y2=-a. (2)当 a>0 时,二次函数 f(x)的图象开口向上,图象上的点 A 或 B 的纵坐标为-a<0,所 以图象与 x 轴有两个交点;当 a<0 时,二次函数 f(x)的图象开口向下,图象上的点 A 或 B 的 纵坐标为-a>0,所以图象与 x 轴有两个交点.故二次函数 f(x)的图象与 x 轴有两个交点.



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