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高一数学第8课


第8讲
一、要点精讲

函数与方程

1.方程的根与函数的零点 (1) 函数零点: 概念: 对于函数 y ? f ( x)(x ? D) , 把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦

即函数 y ? f ( x) 的图象与

x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。
二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点: 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有
2

两个零点;2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交
2

点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象 与 x 轴无交点,二次函数无零点。 零 点 存 在 性 定 理 : 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a, b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有
2

f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点。既存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也
就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤:对于在区间 [a , b] 上连续不断,且满足 f ( a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不 断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的 方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1) 确定区间 [a ,b] , 验证 f ( a ) · f (b) ? 0 , 给定精度 ? ; (2) 求区间 (a ,b) 的中点 x1 ; (3) 计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点;②若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1(此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,则令 a = x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; (4)判断是否达到精度 ? ;即若 | a ? b |? ? ,则得到零点零点值 a (或 b ) ;否则重复步骤 2~4。 注:函数零点的性质 从“数”的角度看:即是使 f ( x) ? 0 的实数; 从“形”的角度看:即是函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相切,则零点 x0 通常称为不变号零点; 若函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处与 x 轴相交,则零点 x0 通常称为变号零点。 注:用二分法求函数的变号零点:二分法的条件 f ( a ) · f (b) ? 0 表明用二分法求函数的近似零点都 是指变号零点。 3.二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法:y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n。 (2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0= 若-

1 (p+q)。 2

(3)二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。 ①方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0; ?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? ? b ②二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ?? ? r, ? 2a a ? f (r) ? 0 ? ?

b b b <p,则 f(p)=m,f(q)=M;若 p≤- <x0,则 f(- )=m,f(q)=M; 2a 2a 2a b b b 若 x0≤- <q,则 f(p)=M,f(- )=m;若- ≥q,则 f(p)=M,f(q)=m。 2a 2a 2a

?? ? b 2 ? 4ac ? 0, ? b ? ? q, ?p ? ? ③二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ?a ? f ( q ) ? 0, ? ?a ? f ( p ) ? 0; ?
④二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)·f(q)<0,或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根 若在(p,q)内成立。

二、典例解析
题型 1:方程的根与函数零点 例 1. (1)方程 lgx+x=3 的解所在区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞) (2)设 a 为常数,试讨论方程 lg( x ? 1) ? lg(3 ? x) ? lg(a ? x) 的实根的个数。

题型 2:零点存在性定理 例 2.若函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 题型 3:二分法的概念 例 3.关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是() A.“二分法”求方程的近似解一定可将 y ? f ( x) 在[a,b]内的所有零点得到; B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到 y ? f ( x) 在[a,b]内的零点; C.应用“二分法”求方程的近似解, y ? f ( x) 在[a,b]内有可能无零点; D.“二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x) ? 0 在[a,b]内的精确解;



例 4.方程 f ( x) ? 0 在[0,1]内的近似解,用“二分法”计算到 x10 ? 0.445达到精确度要求。那么所取误 差限 ? 是( )A.0.05 B.0.005 题型 4:一元二次方程的根与一元二次函数的零点 C.0.0005 D.0.00005

2 例5. 设二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 的两个根 x1 , x 2 满足 0 ? x1 ? x2 ?

当 x ? 0, x1 时,证明 x ? f ? x ? ? x1 。

?

?

1 . a

例 6.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 (a, b ? R, a ? 0) ,设方程 f ( x) ? x 的两个实数根为 x1 和 x2 . (1)如果 x1 ? 2 ? x2 ? 4 ,设函数 f ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,求证: x0 ? ?1 ; (2)如果 x1 ? 2 , x2 ? x1 ? 2 ,求 b 的取值范围.

题型 5:一元二次函数与一元二次不等式
2

例 7. 设 f ? x ? ? ax ? bx ? c? a ? 0? , 若 f ? 0? ? 1 , f ?1? ? 1 ,f ? -1? ? 1 , 试证明: 对于任意 ? 1 ? x ? 1 , 有 f ? x? ?

5 。 4

例 8.已知二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ,当 ? 1 ? x ? 1 时,有 ? 1 ? f ( x ) ? 1 ,求证:当 ? 2 ? x ? 2 时,
2

有 ? 7 ? f ( x) ? 7

题型 6:二次函数的图像与性质 例 9.在下列图象中,二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y=(

b x ) 的图象只可能是( a



例 10.设 a∈R,函数 f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R. (1)讨论 f(x)的奇偶性;(2)求 f(x)的最小值.

题型 7:二次函数的综合问题 例 11.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图象关于原点对称,且 f ? x ? ? x2 ? 2x 。 (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式; (Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围。

例 12.已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

(1)将 y ? f ( x) 的图象向右平移两个单位,得到函数 y ? g ( x) ,求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)函数 y ? h( x) 与函数 y ? g ( x) 的图象关于直线 y ? 1 对称,求函数 y ? h( x) 的解析式; (3)设 F ( x ) ?

a 。 2x

1 f ( x) ? h( x) ,已知 F ( x) 的最小值是 m 且 m ? 2 ? 7 ,求实数 a 的取值范围。 a


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