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江苏省南通市海安县曲塘中学2014-2015学年高一(下)期末数学试卷


江苏省南通市海安县曲塘中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学试 卷
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分. ) 1.某运动队有男女运动员 49 人,其中男运动员有 28 人,按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 14 的样本,那么应抽取女运动员人数是 . 2.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域

,在正方形中随机撒 300 粒豆 子,其中落在阴影区域内的豆子有 200 粒,则空白区域的面积约为 .

3.已知一组数据 8,9,x,10,7,6 的平均数为 8,那么 x 的值为



4.A,B 两人下棋,A 获胜的概率为 30%,两人下成和棋的概率为 20%,那么 A 不输的概 率为 . 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A= .

,且

,则角

6.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

的值为



7.过点 A(1,﹣1) 、B(﹣1,1)且圆心在直线 x+y﹣2=0 上的圆的方程是 8.函数 的定义域为 .



9.已知点 M(﹣1,3) ,点 N(3,2) ,点 P 在直线 y=x+1 上,则当 PM+PN 取得最小值 时,点 P 的坐标为 . 10.已知实数 x,y 满足 x +y =3,则
2 2

的取值范围为



11.已知数列{an}的前 n 项和

,则 a1+a2+a3+…+a10=



12.已知实数 x,y 满足

,则 z=2|x﹣4|+|y﹣3|的取值范围是



13. 已知过点 P (1, 1) 的两条直线斜率均存在, 且互相垂直. 若这两条直线被圆 O: x +y =4 所截得的弦长之比为 ,则这两条直线的斜率之和为 .

2

2

14.设集合 P={x,1},Q={y,1,2},x,y∈{1,2,3,4,5,6,7},且 P?Q,在直角坐 标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个,若该点落在 圆 x +y =R (R ∈Z) 内 (不包括边界) 的概率为 , 则满足要求的 R 的集合为
2 2 2 2 2



二、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15.已知甲、乙两人分别位于图中的 M、N 两点,每隔 1 分钟,甲、乙两人分别向东南西 北四个方向的其中一个方向行走 1 格,且甲向四个方向行走的概率是相等的,乙向东、向西 行走的概率都是 ,向北行走的概率是 ,甲、乙分别向某个方向行走的事件记为 A、B. (1)分别求出甲、乙向南行走的概率; (2)求两人经过 1 分钟相遇的概率. (已知事件 A、B 同时发生的概率 P(AB)=P(A)?P(B) )

16. 某市为了了解本地高中学生的汉字书写水平, 在全市范围内随机抽取了近千名学生参加 汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区 间为[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (2) 如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学, 求这名同学考试成绩在 80 分以上的 频率; (3)若在 80 分以上的学生中选出 40 名学生,其中男生不少于 17 人,女生不少于 18 人, 求这批学生中男生人数不少于女生的概率.

17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)当 (2)当 ,且△ABC 的面积为 时,求 a 的值;



时,求 sin( B﹣A)的值.

18. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O1, 圆 O2 均与 x 轴相切, 且圆 O1, O2 都在射线 y=mx (m>0,x>0)上. (1)若 O1 的坐标为(3,1) ,过直线 x﹣y+2=0 上的一点 P 作圆 O1 的切线,切点分别为 A, B 两点,求 PA 长度的最小值; (2)若圆 O1,圆 O2 的半径之积为 2,Q(2,2)是两圆的一个公共点,求两圆的另一条公 切线的方程. 19.已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为 2,并且 a2+a4=a1+a5,a7+a9=a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使得 am?am+1?am+2=am+am+1+am+2 成立的所有正整数 m 的值.

2)设实数 x,y 满足不等式组 >0 时,z=y﹣ax 的最大值; (2)若关于 x 的不等式组 样的解 x 构成的集合.

,作出不等式组表示的平面区域,并求当 a

对任意 n∈N 恒成立,求所有这

*

江苏省南通市海安县曲塘中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学试 卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 4 分,共 56 分. ) 1.某运动队有男女运动员 49 人,其中男运动员有 28 人,按男女比例用分层抽样的方法, 从全体运动员中抽出一个容量为 14 的样本,那么应抽取女运动员人数是 6 . 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据分层抽样的定义和性质进行求解即可. 解答: 解:由题意知女运动员有 49﹣28=21 人, 由分层抽样的定义可知,从全体运动员中抽出一个容量为 14 的样本,那么应抽取女运动员 人数是 人,

故答案为:6 点评:本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 2.如图,边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒 300 粒豆 子,其中落在阴影区域内的豆子有 200 粒,则空白区域的面积约为 .

考点:模拟方法估计概率. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据几何概型的意义进行模拟试验, 计算不规则图形的面积, 关键是要根据几何概型 的计算公式,列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系. 解答: 解:由题意,设空白区域的面积为 S,则 1﹣ ∴S= . 故答案为: . 点评:利用几何概型的意义进行模拟试验, 估算不规则图形面积的大小, 关键是要根据几何 概型的计算公式, 探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系, 及它们与模拟 试验产生的概率(或频数)之间的关系,并由此列出方程,解方程即可得到答案. = ,

3.已知一组数据 8,9,x,10,7,6 的平均数为 8,那么 x 的值为 8 . 考点:众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计. 分析:根据平均数的公式进行求解即可. 解答: 解:∵数据 8,9,x,10,7,6 的平均数为 8, ∴8+9+x+10+7+6=8×6=48, 解得 x=8, 故答案为:8 点评:本题主要考查平均数的计算和应用,比较基础. 4.A,B 两人下棋,A 获胜的概率为 30%,两人下成和棋的概率为 20%,那么 A 不输的概 率为 0.5 . 考点:互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析:利用互斥事件的概率加法公式即可得出. 解答: 解:∵A 不输与 A、B 两人下成和棋是互斥事件. ∴根据互斥事件的概率计算公式可知:A 不输的概率 P=0.2+0.3=0.5. 故答案为:O.5. 点评:此题主要考查了概率的意义,正确理解互斥事件及其概率加法公式是解题的关键. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 A= .

,且

,则角

考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理和两角差的正弦公式化简式子,根据内角的范围判断 A 与 B 的关系, 结合条件和内角和定理求出 A 的值. 解答: 解:由题意得 ,则 acosB=bcosA,

由正弦定理得,sinAcosB=cosBcosA,则 sin(A﹣B)=0, 又 A、B∈(0,π) ,则 A﹣B∈(﹣π,π) , 所以 A﹣B=0,即 A=B, 因为 ,所以 A=B= . ,

故答案为:

点评:本题考查正弦定理,两角差的正弦公式,注意内角的范围,属于中档题.

6.设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

的值为 3 .

考点:等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:利用等比数列的通项、求和公式代入计算,化简即得结论.

解答: 解: ∵q=2, ∴ =1+2=3,

=

=

?

=1+q,

故答案为:3. 点评:本题考查数列的前 n 项和,注意解题方法的积累,属于基础题. 7.过点 A(1,﹣1) 、B(﹣1,1)且圆心在直线 x+y﹣2=0 上的圆的方程是 (x﹣1) + 2 (y﹣1) =4 . 考点:圆的标准方程. 专题:计算题. 分析:先求 AB 的中垂线方程,它和直线 x+y﹣2=0 的交点是圆心坐标,再求半径,可得方 程. 解答: 解:圆心一定在 AB 的中垂线上,AB 的中垂线方程是 y=x,所以 心(1,1) ; 圆心到 A 的距离就是半径:
2 2 2

,圆

=2, 所以所求圆的方程为: (x﹣1)

+(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣1) +(y﹣1) =4. 点评:本题解答灵活,求出圆心与半径是解题的关键,本题考查了求圆的方程的方法.是基 础题目.

8.函数

的定义域为 (







考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:根据函数的解析式,列出不等式组 ,求出解集即可.

解答: 解:∵函数











解得





<x<

; . ) .

∴f(x)的定义域为 故答案为: ( ,

点评:本题考查了求函数定义域的应用问题, 也考查了不等式的解法与应用问题, 是基础题 目. 9.已知点 M(﹣1,3) ,点 N(3,2) ,点 P 在直线 y=x+1 上,则当 PM+PN 取得最小值 时,点 P 的坐标为 ( , ) .

考点:点到直线的距离公式. 专题:数形结合;直线与圆. 分析: 根据图形,得出点 M、N 在直线 y=x+1 的两侧,当 PM+PN 取得最小值时,点 P 是直线 MN 与 y=x+1 的交点; 求出交点坐标即可. 解答: 解:∵点 M(﹣1,3) ,点 N(3,2)在直线 y=x+1 的两侧, ∴当 PM+PN 取得最小值时,点 P 是直线 MN 与 y=x+1 的交点; 如图所示, 又直线 MN 的方程为 即 x+4y=11; ∴两方程联立 , = ,

解得



∴P 的坐标为( , 故答案为: ( ,

) .

) .

点评:本题考查了直线方程的应用问题,也考查了数形结合的解题思想,是基础题目. 10.已知实数 x,y 满足 x +y =3,则
2 2

的取值范围为 [﹣



]



考点:直线与圆的位置关系;基本不等式. 专题:直线与圆. 分析:画出满足条件的平面区域,根据 的几何意义结合图象求出其范围即可.

解答: 解:画出满足条件的平面区域,如图示:

, 而 的几何意义表示过 A(2 ,0)与圆上的点的直线的斜率,

显然直线与圆在上方与圆相切时,斜率最小,在下方与圆相切时,斜率最大, 由 OA=2 ,OB= ,得∠OAB=30°,∴直线 AB 的斜率是﹣ ,

同理可求:直线在圆的下方时即蓝色直线的斜率是: 故答案为: 点评:本题考查了 础题. . 的几何意义,考查数形结合思想,考查直线斜率公式,是一道基

11.已知数列{an}的前 n 项和

,则 a1+a2+a3+…+a10= 61 .

考点:数列的求和;数列的概念及简单表示法. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据数列的前 n 项和公式,令 n=10 代入即可得到结论. 解答: 解:∵数列{an}的前 n 项和
2



∴a1+a2+a3+…+a10=S10=10 ﹣4×10+1=100﹣40+1=61, 故答案为:61 点评:本题考查了数列的前 n 项和的求解,比较基础.

12.已知实数 x,y 满足

,则 z=2|x﹣4|+|y﹣3|的取值范围是 [3,10] .

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 则 x<4,y≤3, 则 z=2|x﹣4|+|y﹣3|=11﹣2x﹣y, 即 y=11﹣2x﹣z, 平移直线 y=﹣2x+11﹣z, 由图象知当直线经过点 B(4,0)时,直线截距最小,此时 z 最大,最大为 z=11﹣8﹣0=3, 当直线经过点 A 时,直线截距最大,此时 z 最小, 由 ,解得 A(0,1) ,最小值为 z=11﹣0﹣1=10,

即 3≤z≤10, 故答案为:[3,10]

点评:本题主要考查线性规划的应用,根据平面区域确定 x,y 的取值范围,去掉绝对值是 解决本题的关键. 13. 已知过点 P (1, 1) 的两条直线斜率均存在, 且互相垂直. 若这两条直线被圆 O: x +y =4 所截得的弦长之比为 ,则这两条直线的斜率之和为 或 .
2 2

考点:直线与圆相交的性质. 专题:综合题;直线与圆. 分析:设这两条直线的斜率分别为 k、﹣ ,利用点斜式求得两条弦所在的直线方程,求出 各自的弦心距,再结合弦长之比为 得方程的两根之和. 解答: 解:设这两条直线的斜率分别为 k、﹣ , 则这两条直线的方程分别为 m:y﹣1=k(x﹣1) ,n:y﹣1=﹣ (x﹣1) , 即 m:kx﹣y+1﹣k=0,n:x+ky﹣1﹣k=0. 圆心 O 到直线 m 的距离为 d= ,可得弦长为 2 . ,得到关于 k 的一元二次方程,求出 k 的值,即可求

圆心 O 到直线 n 的距离为 d′=
2

,可得弦长为 2



再由弦长之比为

,即可得 3k +10k+3=0.

求得 k=﹣3,或 k=﹣ , ∴当 k=﹣3 时,这两条直线的斜率之和为 ;当 k=﹣ 时,两条直线的斜率之和为 .

故答案为:

或 .

点评:本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,韦达定理,弦长公式,属 于中档题. 14.设集合 P={x,1},Q={y,1,2},x,y∈{1,2,3,4,5,6,7},且 P?Q,在直角坐 标平面内,从所有满足这些条件的有序实数对(x,y)所表示的点中任取一个,若该点落在 圆 x +y =R (R ∈Z)内(不包括边界)的概率为 ,则满足要求的 R 的集合为 {30,31, 32} . 考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:根据两个集合之间的关系,写出 x,y 可能的取值,也就是得到试验发生包含的事件 数,根据所给的概率的值,求出满足条件的事件数,把所有点的坐标的平方和比较,选出满 2 足要求的 R . 解答: 解:∵集合 P={x,1},Q={y,1,2},x,y∈{1,2,3,4,5,6,7},P?Q, ∴x=2,y=3,4,5,6,7, 这样在坐标系中共组成 5 个点, 当 x=y 时,也满足条件共有 5 个, ∴所有的事件数是 5+5=10, ∵点落在圆 x +y =R 内(不含边界)的概率恰为 , ∴有 4 个点落在圆内, (2,3) (2,4) (3,3) (2,5)是落在圆内的点, ∴32≥R >29, R ∈Z 而落在圆内的点不能多于 4 个, 所以满足要求的 R 的集合为: {30, 31, 32} 故答案为:{30,31,32}. 点评:本题考查等可能事件的概率和集合间的关系,本题解题的关键是看出 x,y 的可能的 取值,注意列举时做到不重不漏.属于中档题 二、解答题(本大题共 6 小题,共 64 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 15.已知甲、乙两人分别位于图中的 M、N 两点,每隔 1 分钟,甲、乙两人分别向东南西 北四个方向的其中一个方向行走 1 格,且甲向四个方向行走的概率是相等的,乙向东、向西 行走的概率都是 ,向北行走的概率是 ,甲、乙分别向某个方向行走的事件记为 A、B. (1)分别求出甲、乙向南行走的概率; (2)求两人经过 1 分钟相遇的概率. (已知事件 A、B 同时发生的概率 P(AB)=P(A)?P(B) )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点:相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据甲向四个方向行走的概率是相等的,故甲向南行走的概率;用 1 减去乙 向东、向南、向北行走的概率,即得乙向南行走的概率. (2)利用相互独立事件的概率乘法公式求得在点 E 相遇的概率和在点 F 相遇的概率,相加 即得所求. 解答: 解: (1)由于甲向四个方向行走的概率是相等的,故甲向南行走的概率为 ; 乙向南行走的概率为 1﹣ ﹣ ﹣ = , = ,

(2)求两人经过 1 分钟相遇的地点是图中点 E 或点 F,在点 E 相遇的概率为 在点 F 相遇的概率为 = , + = .

故两人经过 1 分钟相遇的概率为

点评:本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用, 体现了分类讨论的数学思想, 属 于基础题. 16. 某市为了了解本地高中学生的汉字书写水平, 在全市范围内随机抽取了近千名学生参加 汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直方图如图所示,其中样本数据分组区 间为[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩; (2) 如果从参加本次考试的同学中随机选取 1 名同学, 求这名同学考试成绩在 80 分以上的 频率; (3)若在 80 分以上的学生中选出 40 名学生,其中男生不少于 17 人,女生不少于 18 人, 求这批学生中男生人数不少于女生的概率.

考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率分布直方图,计算数据的平均数即可; (2)计算被抽到的同学考试成绩在 80(分)以上的概率; (3)求出所有的基本事件,再找到满足条件的基本事件,根据概率公式计算即可. 解答: 解: (1)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩: 0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5; (2)设被抽到的这名同学考试成绩在 80(分)以上为事件 A. P(A)=0.025×10+0.015×10=0.4; ∴被抽到的这名同学考试成绩在 80(分)以上的概率为 0.4; (3)设男生人数为 x,则女生人数为 40﹣x,所以 ,即 17≤x≤22,

所以共有(17,13) , (18,22) , (19,21) , (20,20) , (21,19) , (22,18) ,6 个等可能 事件, 则男生人数不少于女生有(20,20) , (21,19) , (22,18) ,共 3 个, 故这批学生中男生人数不少于女生的概率 P= 点评:本题考查了频率布直方图应用问题,以及古典概型的概率问题,属于基础题. 17.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 (1)当 (2)当 ,且△ABC 的面积为 时,求 a 的值; .

时,求 sin( B﹣A)的值.

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析: (1)由已知结合三角形面积公式即可求得 a 的值. (2) 由已知及余弦定理可得 c= , 可得 b =a +c , 由勾股定理可得 B=90°, cosA= =
2 2 2



利用诱导公式即可求得 sin( B﹣A)的值. 解答: (本题满分为 10 分) 解: (1)∵ ,△ABC 的面积为 ,

∴S= ∴解得:a=2…4 分 (2)∵ ,





∴由余弦定理可得:c= , 2 2 2 ∴b =a +c ,可得 B=90°, ∴cosA= = , …10 分

∴sin( B﹣A)=sin(90°﹣A)=cosA=

点评:本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理,勾股定理,诱导公式的应用,属于基本 知识的考查. 18. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 O1, 圆 O2 均与 x 轴相切, 且圆 O1, O2 都在射线 y=mx (m>0,x>0)上. (1)若 O1 的坐标为(3,1) ,过直线 x﹣y+2=0 上的一点 P 作圆 O1 的切线,切点分别为 A, B 两点,求 PA 长度的最小值; (2)若圆 O1,圆 O2 的半径之积为 2,Q(2,2)是两圆的一个公共点,求两圆的另一条公 切线的方程. 考点:圆的切线方程. 专题:综合题;直线与圆. 分析: (1)利用 PA= (2)圆 O1,O2 的坐标可设为 O1(
2

,可得 O1P 取最小值时,PA 有最小值, ,r1) ,O2( ,r2) ,确定 r1、r2 是 r ﹣4m(m+1)
2

r1+8m =0 的两个根,利用圆 O1,圆 O2 的半径之积为 2,求出 m,即可求两圆的另一条公切 线的方程. 解答: 解: (1)由题意,圆 O1 的半径 r=1,所以 PA= 所以 O1P 取最小值时,PA 有最小值, O1 到直线 x﹣y+2=0 的距离 d= =2 ,所以 O1P 最小值为 2 , ,

所以 PA 长度的最小值为 ; (2)因为圆 O1,O2 都在射线 y=mx(m>0,x>0)上, 所以圆 O1,O2 的坐标可设为 O1( ,r1) ,O2( ,r2) ,

因为 Q(2,2)是两圆的一个公共点, 所以(2﹣
2

) +(2﹣r1) =r1 , (2﹣
2 2

2

2

2

) +(2﹣r2) =r2 ,
2

2

2

2

所以 r1 ﹣4m(m+1)r1+8m =0,r2 ﹣4m(m+1)r2+8m =0, 2 2 所以 r1、r2 是 r ﹣4m(m+1)r1+8m =0 的两个根,

因为 r1r2=8m =2(m>0) ,所以 m= , 因为两圆的另一条公切线的倾斜角是直线 OO1 的倾斜角的两倍, 所以两圆的另一条公切线的斜率为 = ,

2

所以两圆的另一条公切线的方程 y= x. 点评:本题考查直线与圆的位置关系, 考查韦达定理的运用, 考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 19.已知数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为 2,并且 a2+a4=a1+a5,a7+a9=a8. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求使得 am?am+1?am+2=am+am+1+am+2 成立的所有正整数 m 的值. 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)根据已知条件,求解该数列的前两项,可得数列{an}的通项公式; (2)根据所给的等式确定 m 的值. 解答: 解: (1)∵数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为 2, ∴a3=a1+2,a5=a1+4,a7=a1+6, a4=2a2,a6=4a2, ∵a2+a4=a1+a5,a4+a7=a6+a3 ∴a2+2a2=a1+4+a1,2a2+6+a1=4a2+2+a1 ∴a1=1,a2=2, ∴an= ;

(2)∵am?am+1?am+2=am+am+1+am+2 成立, ∴由上面可以知数列{an}为:1,2,3,4,5,8,7,16,9,… 当 m=1 时等式成立,即 1+2+3=﹣6=1×2×3;等式成立. 当 m=2 时等式成立,即 2×3×4≠2+3+4;等式不成立. 当 m=3、4 时等式不成立; 当 m≥5 时, ∵am?am+1?am+2 为偶数,am+am+1+am+2 为奇数, ∴可得 m 取其它值时,不成立, ∴m=1 时成立. 点评:本题重点考查了等差数列的概念和基本性质、 等比数列的概念和基本性质等知识, 属 于中档题.解题关键是准确应用等差和等比数列的基本性质求解问题.

2)设实数 x,y 满足不等式组 >0 时,z=y﹣ax 的最大值; (2)若关于 x 的不等式组 样的解 x 构成的集合.

,作出不等式组表示的平面区域,并求当 a

对任意 n∈N 恒成立,求所有这

*

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的变化,从而求出 a 的取值. (2)将 的分子分母同除 2 ,结合“对勾函数“的单调性,求出
n

=

∈(0, ],进而将恒成立问题转化为最值问题后,可得

,解方程可得答案.

解答: 解: (1)不等式组等价为

,即



作出不等式组对应的平面区域, 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,直线与 y 轴交点的纵坐标为 z, 平移直线 y=ax+z, 由图象可知在点 B(0,2)处,zmax=2, 当 0<a≤2 时,在点 B 处,直线 y=ax+z 的截距最大,此时 z 最大,



,解得

,即 B( ,

) ,

zmin=

﹣ a.

当 a>2 时,在点 A(0,4)处,直线 y=ax+z 的截距最大,此时 z 最大, zmax=4. (2)若 对任意 n∈N 恒成立,
*



对任意 n∈N 恒成立,

*



=

∈(0, ]

故 即 解得 x=﹣1 或 x= 故所有这样的解 x 的集合是 .

点评:本题主要考查线性规划以及不等式恒成立问题, 利用目标函数的几何意义是解决问题 的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.


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