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宁德市2014届高三5月质量检查(数学文)(word版)


2014 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查

数学(文科)试卷
(2014 年 5 月)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分.本卷满分 150 分,考试时 间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线

框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清楚,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,
s?

, x n 的标准差
2 ? ? xn ? x ? ? ?

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

1? 2 2 ? x1 ? x ? ? ? x2 ? x ? ? ? n

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ?

4 3 ?R 3

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.命题“若 x ? 0 ,则 x 2 A.若 x 2
? ?

0 ”的否命题是

0 ,则 x ? 0

B.若 x ? 0 ,则 x 2 D.若 x ? 0 ,则 x 2

? ?

0 0
N?

C.若 x 2 ? 0 ,则 x ? 0

2. 已知集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 1? , N ? x | y ? x ,则 M A.

?

?

?x | 0 ? x ? 1?

B.

?x | 0 ? x ? 1?

文科数学试题 第 1 页 共 11 页

C.

?x | x ? 0?

D.

?x | ?1 ? x ? 0?

3.设向量 a ? ( x,1) , b ? (4, x) , 若 a , b 方向相反,则 x 的值是 A. 0 B. ?2 C. 2 D. ?2

4.函数 f ( x) ? x ? sin x 是 A.奇函数且单调递增 C.偶函数且单调递增 B.奇函数且单调递减 D.偶函数且单调递减

5.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 m ? n, n ? ? ,则 m ? ? B.若 m // ? , ? // ? ,则 m // ? C.若 m ? ? , n // m ,则 n ? ? D.若 m // ? , n // ? ,则 m // n 6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序后输出 k 的值是 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7.已知一个几何体的三视图如图所示,根据图中尺寸 可得该几何体的表面积为 A. 12 ? 4 2 C. 14 ? 2 2 B. 16 D. 20 2 2
正视图 k=k+1 n =1? 是 输出 k 结束 否
n?

开始 n=3,k=0 n 为偶数?


n 2



n ? 2n

2
侧视图

? x ? 0, ? y ? 0, ? 8.已知 M , N 是不等式组 ? 所表示的平面区域内的 ? x ? y ? ?1, ? ?x ? y ? 3

俯视图

两个不同的点,则 | MN | 的最大值是 A. 3 2 B. 10 文科数学试题 第 2 页 共 11 页

C. 2 2

D. 5

9.过双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? 0 , b ? 0) 的左焦点 F 作圆 O : x2 ? y 2 ? b2 的一条切线, 2 a b

切点为 A ,双曲线右顶点为 B ,若 AF , OF , BF 成等差数列,则双曲线的离心 率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3

10. 任取 m ? (?1,3) ,则直线 (m ? 1) x ? (4 ? m) y ? 1 ? 0 与 x 轴、 y 轴围成的三角形的面 积小于 A.

1 的概率是 8
B.

3 5

3 4

C.

1 2

D.

1 4

? 1 x ? ?( ) , x ? 0, (a ? R ) ,则下列结论正确的是 11.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? x 2 ? 2ax ? 1, x ? 0 ?

A. ?a ? R , f ( x) 在 R 上单调递减 C. ?a ? R , f ( x) 有极大值和极小值

B. ?a ? R , f ( x) 的最小值为 f (a) D. ?a ? R , f ( x) 有唯一零点

12.在锐角 三角形 ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,若 A ? 2B ,给出下列命题: ..

π π a ① ? B ? ;② ? ( 2, 3] ;③a 2 ? b 2 ? bc . 其中正确的个数是 6 4 b
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 13.已知复数 z ? i(1 ? i) (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? .

14.设一个总体由编号为 01,02,?,29,30 的 30 个个体组成.利用下面的随机数表选取 4 个个体,选取方法是从随机数表第 2 行的第 3 列数字 0 开始由左到右依次选取两个数 字,则选出来的第 4 个个体的编号为 78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 . 43 69 69 38 74 48 69 97 28 01

文科数学试题 第 3 页 共 11 页

15.已知实数 x, y 满足等式 1 ? cos 2 πx ? y ?

1 ,则 x2 ? y 2 的最小值为 y

.

f ( x) ;②当 x ? [0,1] 时, 16.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,满足:① f ( x ? 2) ?(背面还有试题)
10 个点,设 A(?2,0) , f ( x) ? 3x .若 P 1, P 2 , ? ? ?, P 10 是 f ( x ) 在 x ? [3, 4] 图象上不同的

i ? 1, 2, 10 ) ,则 m1 ? m2 ? B(1, 3) , mi ? AB ? AP i (

? m10 ? ________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 {an } 中, a3 ? 5 , a2 ? 2a5 ? 21 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?
? an ,若 S3 , Sk , S12 成等比数列,求 k 的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,正方形 ABCD 与正方形 BDEF 所在的平面互相垂直, AB ? 1 . (Ⅰ)求证: AC ? 平面BDEF ; (Ⅱ)求多面体 ABCDEF 的体积. F D C E

A 19. (本小题满分 12 分)

B

π 已知函数 f ( x) ? (2cos2 x ? 1)cos ? ? sin 2 x sin ? (0 ? ? ? π) 的图象过点 ( ,1) . 12
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 的单调递减区间.

1 倍,纵坐标不变,得到函 2

文科数学试题 第 4 页 共 11 页

20. (本小题满分 12 分) 某市为了了解市民对卫生管理的满意程度,通过问卷调查了学生、在职人员、退休人 员共 250 人,结果如下表: 学生 满意 不满意 在职人员 退休人员 78 12

x
5

y

z

若在所调查人员中随机抽取 1 人,恰好抽到学生的概率为 0.32. (Ⅰ)求 x 的值; (Ⅱ)现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取 25 人,则在职人员应抽取多少人? (Ⅲ)若 y ? 70, z ? 2 ,求市民对市政管理满意度不小于 0.9 的概率. (注: 满意度=
满意人数 ) 总人数

21. (本小题满分 12 分) 已知点 P(1, m) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 上, F 为焦点,且 PF ? 3 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)过点 T (4,0) 的直线 l 交抛物线 C 于 A, B 两点, O 为坐标原点. (ⅰ)求 OA ? OB 的值; (ⅱ)若以 A 为圆心, AT 为半径的圆与 y 轴交于 M , N 两点,求 ?MNF 的面积.

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? b ln x 在点 (1, f (1)) 处的切线为 y ? 1 . (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)是否存在实数 m ,当 x ? (0,1] 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) 的最小值为 0, 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由; 文科数学试题 第 5 页 共 11 页

(Ⅲ)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

2014 年宁德市普通高中毕业班第二次质量检查
(2014 年 5 月) 数学(文科)试题参考答案及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的 评分细则。 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的 程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部 分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.B 9.C 10.B 11.D 12.C 二、填空题:本题考查基础知识和基本运算.本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13. 2 ; 14. 28 ; 15. 1 ; 16. 180 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识;考查推理论证与运算求解 能力,满分 12 分. 解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d ,
?a3 ? a1 ? 2d ? 5, 则? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ?a2 ? 2a5 ? 3a1 ? 9d ? 21 解得 a1 ? 1, d ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (II) Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 1 ? 3 ? ??? ? (2n ? 1) ? n2 ????????????9 分 ∵ S3 , Sk , S12 成等比数列, ∴ Sk 2 ? S3 ? S12 ,即 (k 2 )2 ? 32 ?122 ,???????????????????10 分 又 k ? N* , ? k ? 6 .???????????????????????????????12 分 18.本题主要考查空间线与线、线与面的位置关系、体积的计算等基础知识;考查空间想 象能力、运算求解能力及推理论证能力,满分 12 分. 文科数学试题 第 6 页 共 11 页

(I)证明: 四边形 ABCD 为正方形, ? AC ? BD .????????????????????????????2 分 平面 ABCD ? 平面 BDEF ,平面 ABCD 平面 BDEF ? BD , AC ? 平面 ABCD

? AC ? 平面BDEF .?????????????????????????5 分 (II)设 AC , BD 交于 O , AB ? 1 ,四边形 ABCD 为正方形,
2 , S BDEF ? 2 .??????????7 分 2 AC ? 平面BDEF , ∴ OA 为四棱锥 A ? BDEF 的高 ?VABCDEF =VA? BDEF +VC ? BDEF ? BD ? 2, AO ?

E

F D

C ? 2VA? BDEF ????????????9 分 1 =2 ? ? SBDEF ? OA O 3 A B 1 2 =2 ? ? 2 ? 3 2 2 2 = .????????????????????????12 分 3 2 2 即多面体 ABCDEF 的体积为 . 3 19. 本题主要考查三角恒等变换, 三角函数的图象与性质等基础知识; 考查运算求解能力, 考查函数方程思想、数形结合思想.满分 12 分. 解: (I) f ( x) ? (2cos2 x ? 1)cos ? ? sin 2 x sin ?
? cos 2 x cos ? ? sin 2 x sin ? ??????????????????1 分

? cos(2 x ? ? ) . ???????????????????????3 分 f ( x) 过点 ( ,1) 12

?

? f ( ) ? cos( ? ? ) ? 1 . ?????????????????????4 分 12 6
0 ?? ??,

?

?

5? ? ?? ? ? ? 6 6

?, 6

?

? ? ? ? 0, 即 ? ? . 6 6 ? f ( x) ? cos(2 x ? ) .??????????????????????6 分 6
(II)依题意可得 g ( x) ? cos(4 x ? ) ,????????????????8 分 6 由 2k? ? 4x ?

?

?

?

?

?
6

? 2k? ? ? , k ? Z ?????????????????????9 分
文科数学试题 第 7 页 共 11 页



k? ? k? 7? ? ?x? ? , 2 24 2 24

k? ? k? 7? ? , ? ], k ? Z .??????????12 分 2 24 2 24 20.本题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解 能力以及应用意识,考查或然与必然思想、化归与转化思想.满分 12 分. x?5 解: (Ⅰ)依题意可得 ? 0.32, ???????????????????2 分 250 解得 x ? 75 .??????????????????????????3 分 (II)∵学生人数为 80,退休人员人数 90, ∴在职人员人数为: 250 ? 80 ? 90 ? 80 ,??????????????5 分

? g ( x) 的单调递减区间为 [

80 ? 8 人.???????????????7 分 250 (III)由 y ? 70, z ? 2 ,且 y ? z ? 80 , 则基本事件 ( y , z ) 为 (70,10),(71,9),(72,8),(73,7),(74,6),(75,5),(76, 4),(77,3),(78, 2) .
可得在职人员应抽取 25 ? 共有 9 组. ??????????????????????????9 分

75 ? y ? 78 ? 0.9, 得 y ? 72 , 250 所以满足条件的基本事件共有 7 组,???????????????11 分


7 .??????????????????????12 分 9 21.本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识及直线与圆锥曲线的位置关系;考查运算 求解能力、推理论证能力;考查特殊与一般的思想、化归与转化思想.满分 12 分.
故所求的概率 P ? 解法一: (I)抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) ,

p ? 焦点 F ( ,0) .???????????????????????1 分 2
由抛物线定义得: | PF |? 1 ? 解得 p ? 4 ,

p ? 3, 2

? 抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8 x .?????????????????3 分
(II) (i)依题意可设过点 T (4,0) 的直线 l 的方程为 x ? ty ? 4 ,?????4 分
? y 2 ? 8x 由? ,可得 y 2 ? 8ty ? 32 ? 0 ,?????????????5 分 ? x ? ty ? 4

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

文科数学试题 第 8 页 共 11 页

则 y1 ? y2 ? 8t , y1 y2 ? ?32, ???????????????????6 分

1 1 ? x1 ? x2 ? y12 ? y22 ? 16 ,??????????????????7 分 8 8
?OA ? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 16 ? 32 ? ?16 .???????8 分
(ii)设 A( x1 , y1 ), M (0, yM ), N (0, yN ) ,则 y12 ? 8x1 ??? ①

以 A 为圆心, | AT | 为半径的圆的方程为 ( x ? x1 )2 ? ( y ? y1 )2 ? (4 ? x1 )2 ? y12 ???????????????????????????????9 分 令 x ? 0 ,则 x12 ? ( y ? y1 )2 ? (4 ? x1 )2 ? y12 ??? ② 把①代入②可得 ( y ? y1 )2 ? 16,
? y ? y1 ? 4 或 y1 ? 4 ,

? MN ?| yM ? yN |? 8 ,???????????????????????11 分

1 1 ? S?MNF ? ? | MN | ? | OF |? ? 8 ? 2 ? 8 .????????????????12 分 2 2 解法二: (Ⅰ)同解法一
(II) (i)①当 l 的斜率不存在时, l : x ? 4, A(4,4 2), B(4, ?4 2), 则? OA ? OB ? ?16 ?????????????????????????????????4 分 ②当 l 的斜率存在时,设 l : y ? k ( x ? 4),(k ? 0)
? y 2 ? 8x 由? ,可得 k 2 x2 ? (8k 2 ? 8) x ? 16k 2 ? 0 ,??????????5 分 ? y ? k ( x ? 4),

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,

8k 2 ? 8 , x1 x2 ? 16, ???????????????????6 分 k2 4(8k 2 ? 8) ? y1 ? y2 ? k 2 ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? k 2 [ x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16] ? k 2 [16 ? ? 16] ? 16, k2 ????????????????????????????????7 分
则 x1 ? x2 ?

文科数学试题 第 9 页 共 11 页

?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 16 ? 32 ? ?16 .???????8 分
(ii)设圆 A 的半径为 r , 则 r ?| AT |? ( x1 ? 4)2 ? y12 ? x12 ? 16 .???????????????9 分 又点 A 到 MN 的距离为 d ? x1 ,

? MN ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ( x12 ? 16) ? x12 ? 8 ??????????????11 分
1 1 ? S?MNF ? ? | MN | ? | OF |? ? 8 ? 2 ? 8 .????????????????12 分 2 2 22.本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识;考查运算求解能力、推理论证能力; 考查化归转化思想、函数方程的思想、分类整合思想、数形结合思想.满分 14 分. b 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ax ? ,( x ? 0) ????????????????????1 分 x
? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? ,????????????????????3 分 ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0

解得 a ? 1, b ? 2 .??????????????????????????4 分 (II)
g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) ? m( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1]

2 mx ? 2 ,??????????????????????5 分 ? x x ①当 m ? 0 时, g ?( x) ? 0, ∴ g ( x) 在 (0,1] 上单调递减, ? g ?( x) ? m ?
? g ( x)min ? g (1) ? 0 .????????????????????????6 分
m( x ? x 2 ) m ? 0,? g ( x) 在 (0,1] 上单调递减,

②当 0 ? m ? 2 时, g ?( x) ?

? g ( x)min ? g (1) ? 0 ????????????????????????7 分

③当 m ? 2 时, g ?( x) ? 0 在 (0,
? g ( x) 在 (0,

2 2 ) 恒成立, g ?( x) ? 0 在 ( ,1] 恒成立, m m

2 2 ) 上单调递减,在 ( ,1] 上单调递增 m m

2 ? g ( ) ? g (1) ? 0 ? g ( x)min ? 0. ???????????????????8 分 m 综上所述,存在 m 满足题意,其范围为 (??, 2] .????????????9 分
文科数学试题 第 10 页 共 11 页

(III)解法一:由(II)知, m ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x 在 (0,1) 上单调递减, ? x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? 2 ln x .?????????????????????11 分
0 ? x1 ? x2 ,
?0 ? ? ? x1 ? 1, x2

x1 x ? 1 ? 2 ln 1 , x2 x2 x1 ? x2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) , x2

ln x2 ? ln x1 ,
? x2 ? x1 ? 2 x2 .?????????????????????????14 分 ln x2 ? ln x1

(III)解法二: 设 ? ( x) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x,(0 ? x ? x2 )

? ?( x) ? ?

2x2 x ? 2x2 . ?1 ? x x

当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x) ? 0
?? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减

?? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 ,???????????????????????11 分 ? x ? (0, x2 ) 时, 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x, 0 ? x1 ? x2 , ? 2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 , ln x2 ? ln x1 ,
? x2 ? x1 ? 2 x2 .????????????????????????14 分 ln x2 ? ln x1

文科数学试题 第 11 页 共 11 页


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