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【力学竞赛教程】第一讲 力、物体的平衡


第一讲

力、物体的平衡

第一讲

力、物体的平衡

§1.1 常见的力
1.1.1、

力的概念和量度

惯性定律指出,一个物体,如果没有受到其他物体作用,它就保持其相对于 惯性参照系的速度不变, 也就是说, 如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变, 必是由于受到其他物体对它的作用,在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个 力的时候,应当说清楚讲到的是哪一物体施了哪一个物体的力。 一个物体,受到了另一物体施于它的力,则它相对于惯性参照系的速度就要 变化,或者说,它获得相对于惯性参照系的加速度,很自然以它作用于一定的物 体所引起的加速度作为力的大小的量度。实际进行力的量度的时候,用弹簧秤来 测量。 重力 由于地球的吸引而使物体受到的力,方向竖直向下,在地面附近,

可近似认为重力不变 (重力实际是地球对物体引力的一个分力,随纬度和距地面 的高度而变化) 弹力 物体发生弹性变形后,其内部原子相对位置改变,而对外部产生的

宏观反作用力。 反映固体材料弹性性质的胡克定律, 建立了胁强 (应力)? 与胁变(应变) ?

?

F s
F

?

?l 之间的正比例关系,如图所示 l

l 图 1-1-1

? ? E?
式中 E 为杨氏弹性模量, 它表示将弹性杆拉长一倍时, 横 截面上所需的应力。

?l

弹力的大小取决于变形的程度, 弹簧的弹力, 遵循胡克定律, 在弹性限度内,

1

第一讲

力、物体的平衡

弹簧弹力的大小与形变量(伸长或压缩量)成正比。 F=-kx 式中 x 表示形变量;负号表示弹力的方向与形变的方向相反;k 为劲度系数,由 弹簧的材料,接触反力和几何尺寸决定。 接触反力 —限制物体某些位移或运
T T T T

动的周围其它物体在接触处对物体的反作 用力(以下简称反力) 。这种反力实质上
G

G
图 1-1-2

是一种弹性力,常见如下几类: 1、柔索类(图 1-1-2)如绳索、皮带、 链条等,其张力

?方位 : 沿柔索 T? ?指向 : 拉物体
一般不计柔索的弹性,认为是不可伸长的。滑轮组中,若不计摩擦与滑轮质 量,同一根绳内的张力处处相等。 2、光滑面(图 1-1-3)接触处的切 平面方位不受力,其法向支承力
?方位 : 沿法线 N? ?指向 : 压物体
A A

NA

G
A B

C

A

G
A

Nc

NB A
图 1-1-3 A

3、光滑铰链 物体局部接触处仍属于光滑面,但由 于接触位置难于事

先确定,这类接触反力的方位,除了某些情况能由平衡条件定出外,一般按坐标 分量形式设定。

2

第一讲

力、物体的平衡

(1) 圆柱形铰链 (图 1-1-4,图 1-1-5,图 1-1-6)
A

C

yc xc

F1

F
B

F1

由两个圆孔和一个圆柱 销组成。 在孔的轴线方向 不承受作用力,其分力
?方位 : 沿x轴 X? ?指向 : 待定
图 1-1-4 A 图 1-1-5

x
yA
图 1-1-6

yB

?方位 : 沿y轴 Y? ?指向 : 待定

图中 AC 杆受力如图,支座 B 处为可动铰,水平方向不受约束,反力如图。 (2)球形铰链(图 1-1-7,图 1-1-8)由一 个球碗和一个球头组成,其反力可分解为
X? ? 方位 : 沿坐标轴 Y? 指向 : 待定 Z? ?
F

F

ZA
xA
图 1-1-7 图 1-1-8 A

yA

4、固定端(图 1-1-9,图 1-1-10) 如插入墙内的杆端, 它 除限制杆端移动外,还限制转 动,需增添一个反力偶 M A 。
X ? 方位 : 沿坐标轴 ? Y ? 指向 : 待定
A

q

yA
F x A

A

F

MA
图 1-1-10

图 1-1-9

?方位 : 平面力系作用面 M A? ?转向 : 待定

3

第一讲

力、物体的平衡

摩擦力

物体与物体接触时,在接触面上有一种阻止它们相对滑动的作用

力称为摩擦力。 不仅固体与固体的接触面上有摩擦, 固体与液体的接触面或固体与气体的接 触面上也有摩擦,我们主要讨论固体与固体间的摩擦。 1.1.2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势(就是说:假如它们之间的 接触是“光滑的” ,将发生相对滑动)时,产生的摩擦力为静摩擦力,其方向与 接触面上相对运动趋势的指向相反,大小视具体情况而定,由平衡条件或从动力 学的运动方程解算出来,最大静摩擦力为
f max ? ? 0 N

式中 ? 0 称为静摩擦因数,它取决于接触面的材料与接触面的状况等,N 为 两物体间的正压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时,产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑 动摩擦力的方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。
f ? ?N

? 为滑动摩擦因数,取决于接触面的材料与接触面的表面状况,在通常的
相对速度范围内,可看作常量,在通常情况下, ? 0与? 可不加区别,两物体维持 相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足

f ? f max ? ?N
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下,静摩擦因数 ? 0 略大于动摩 擦因数 ? 。 摩擦角 令静摩擦因数 ? 0 等于某一角 ? 的正切值,即 ? 0 ? tg? ,这个 ? 角

4

第一讲

力、物体的平衡

就称为摩擦角。在临界摩擦(将要发生滑动状态下), f max N ? ? 0 ? tg ? 。支承 面作用于物体的沿法线方向的弹力 N 与最大静摩擦力 f max 的合力 F 简称全反力) ( 与接触面法线方向的夹角等于摩擦角,如图 1-1-11 所示(图中未画其他力) 。在 一般情况下,静摩擦力 f 0 未达到最大值,即

f0 ? ?0 N ,
因此接触面反作用 于物体的全反力 F ? 的 作用线与面法线的夹
fm 图 1-1-11 F

f0 f ? ? 0 , 0 ? tg? N N
N F A v 图 1-1-12

F?

f ? ? arctg 0 N ,不会 角

图 1-1-13

大于摩擦角,即 ? ? ? 。物体不会滑动。由此可知,运用摩擦角可判断物体是否 产生滑动的条件。如图 1-1-12 放在平面上的物体 A,用力 F 去推它,设摩擦角 为 ? ,推力 F 与法线夹角为 ? ,当 ? ? ? 时,无论 F 多大,也不可能推动物块 A, 只有 ? ? ? 时,才可能推动 A。 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势

时,才有摩擦力,所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在 水平方向上运动的木块碰撞后,向斜上方弹出,假设碰撞时间为 ?t ,但可能小 球不需要 ?t 时间,在水平方向上便已具有了与木块相同的速度,则在剩下的时 间内小球和木块尽管还是接触的,但互相已没有摩擦力。 如图 1-1-14,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为 ? ,用一个与水平方 向成多大角度的力 F 拉着木块匀速直线运动最省力? 将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成
f
G 图 1-1-14

F?

N F

F

F?
G

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第一讲

力、物体的平衡

一个力 F ? ,摩擦角为

? ? tg ?1

f ? tg ?1 ? N ,这样木块受三个力:重力 G,桌面对木块的作用力 F ? 和

拉力 F,如图 1-1-14,作出力的三角形,很容易看出当 F 垂直于 F ?时F 最小,即
?1 有 F 与水平方向成 ? ? tg ? 时最小。

例1、 如图 1-1-15 所示皮带速度为 v 0 ,物 A 在皮带上以速度 v1 垂直朝皮 带边运动,试求物 A 所受摩擦力的方向。 解:物 A 相对地运动速度为 Vr ,V1 ? V0 ? Vr ,滑 动摩擦力 f 与 V r 方向相反如图所示。 例 2、 物体所受全反力 R 与法向的夹角 ? ? ? m 的 情形可能出现吗?
f
A

V1
A

V0

V1

V0?

f

图 1-1-15

?? ?f ? f max ,这是不可 解:不可能。因为若有 ? ? ? m 则 tga ? tg? m 即 N 。

能的。然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时,可事先假定它静止,由平衡求



? ? tg ?1 ( )

F N ,有如下三种情形:

?? ? m 静止 ? ? ?? ? m临界状态 ?? ? 滑动 ? m

F1

F2

F3

F合 F4
图 1-1-16

§1.2

力的合成与分解

1.2.1、力的合成遵循平行四边形法则
即力 F1和F2 的合力即此二力构成的平行四边形的对角线所表示的力 F,如图

6

第一讲

力、物体的平衡

1-2-1(a)根据此法则可衍化出三角形法则。 将 F1 , F2 通过平移使其首尾相接, 即: 则由起点指向末端的力 F 即 F1 , F2 的 合 力 。 如 图 ( 1-2-1(b)) 如果有多个共点力求 合力,可在三角形法则的基础上,演化为多边形法则。如图 1-2-2 所示,a 图为 有四个力共点 O,b 图表示四个力矢首尾相接,从力的作用点 O 连接力 F4 力矢末 端的有向线段就表示它们的合力。而(c)图表示五个共点力组成的多边形是闭合 的,即 F1 力矢的起步与 F5 力矢的终点重合,这表示它们的合力为零。 力的分解是力的合成的逆运算,也遵循力的平行四边形法则,一般而言,一 个力分解为两力有多解答,为得确定解还有附加条件,通常有以下三种情况: ①已知合力和它两分力方向,求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力
F4 F3 F2 F1
∑F

F2 F1 (a)

F

F F1 (b)

F2

图 1-2-1

F4 F3 F5

F4

F3 F2 F1

和它的一个分 力,求另一个分 力。这也有确定 的确答。
(a)

F1 (b) 图 1-2-2

F2 (c)

③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向, 求第一个合力方向和第 二分力大小,其解答可能有三种情况:一解、两解和无解。

1.2.2、平面共点力系合成的解析法
如图 1-2-3,将平面共点力及其合力构成力的多边形 abcde,并在该平面取 直角坐标系 Oxy,作出各力在两坐标轴上的投影,从图上可见:

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第一讲

力、物体的平衡

? R x ? F1x ? F2 x ? F3 x ? F4 x ? ? R y ? F1 y ? F2 x ? F3 x ? F4 x

上式说明,合 力在任意一轴上 的投影, 等于各分 力在同一轴上投 影的代数和, 这也 称为合力投影定 理。知道了合力 R 力 R 的大小为:
R?
2 R x2 ? R y

y e Rx F4y F3y F1y F2y O F1x Fy a F1 F4 d F3 c F2 b F2x F3x F4x (a) 图 1-2-3 Ry

y R

?

x O (b) x Rx

的两个投影

Rx



Ry

,就不难求出合力的大小与方向了。合

合力的方向可用合力 R 与 x 轴所夹的角的正切值来确定:
tga ? Ry Rx

1.2.3、平行力的合成与分解
作用在一个物体上的几个力的作用线平行,且不作用于同一点,称为平行力 系。如图 1-2-4 如果力的方向又相同,则称为同向平行力。 两个同向平行力的合 力(R)的大小等于两分力 大小之和,合力作用线与 分力平行,合力方向与两
A F1 R (a) 图 1-2-4 O B F2 R F1 (b) O A F2 B

分力方向相同, 合力作用点在两分力作用点的连线上,合力作用点到分力作用点 的距离与分力的大小成反比,如图 1-2-4(a),有:

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第一讲

力、物体的平衡

? R ? F1 ? F2 ? ? AO F2 ? BO ? F 1 ?

两个反向平行力的合力(R)的大小等于两分力大小之差,合力作用线仍与 合力平行, 合力方向与较大的分力方向相同,合力的作用点在两分力作用点连线 的延长线上,在较大力的外侧,它到两分力作用点的距离与两分力大小成反比, 如图 1-2-4(b),有:

R ? F1 ? F2
OA F1 ? OB F2

1.2.4、空间中力的投影与分解
力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该

Z

? 轴正向间夹角的余弦,如图 1-2-5 中的 F 力在 ox、
oy、oz 轴上的投影 X、Y、Z 分别定义为
X X i

z

γ jβ α Y k Y

X ? F cos a ? ? Y ? F cos ? ? Z ? F cos? ? ?

图 1-2-5

这就是直接投影法所得结果,也可如图 1-2-6 所示采用二次投影法。这时

? ? ? X ? Fxy cos(Fxy , x)
式中 而
? ? ? Fxy ? F sin(F , Z )

Z F

? Fxy

? 为 F 在 oxy 平面上的投影矢量,
O X 图 1-2-6

Y Fxy

力沿直角坐标轴的分解式
? ? ? ? ? ? F ? Xi ? Yj ? Zk ? Fx i ? Fy j ? Fz k
§1.3

共点力作用下物体的平衡
9

第一讲

力、物体的平衡

1.3.1、共点力作用下物体的平衡条件

几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于同一点,这几 个力叫作共点力。当物体可视为质点时,作用在其上的力都可视为共点力。当物 体不能视为质点时,作用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。 物体的平衡包括静平衡与动平衡,具体是指物体处于静止、匀速直线运动和 匀速转动这三种平衡状态。 共点力作用下物体的平衡条件是;物体所受到的力的合力为零。 ? ? Fi ? 0
i

或其分量式:

?F
i

ix

?0

?F
i

iy

?0

?F
i

iz

?0
F3 F1

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处 于平衡,用力的图示表示,则这些力必组成首尾相 接的闭合力矢三角形或多边形;力系中的任一个力 必与其余所有力的合力平衡;如果物体只在两个力 作用下平衡,则此二力必大小相等、方向相反、且

?

? ?
F2

图 1-3-1

在同一条直线上,我们常称为一对平衡力;如果物体在三个力作用下平衡,则此 三力一定共点、 一定在同一个平面内, 如图 1-3-1 所示, 且满足下式 (拉密定理) :
F F1 F ? 2 ? 3 sin ? sin ? sin ?
1.3.2、推论

物体在 n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态,若其中有 n-1 个力为共点力, 即它们的作用线交于 O 点, 则最后一个外力的作用线也必过 O 点,整个外力组必 为共点力。这是因为 n-1 个外力构成的力组为共点(O 点)力,这 n-1 个的合力

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第一讲

力、物体的平衡

必过 O 点,最后一个外力与这 n-1 个外力的合力平衡,其作用线必过 O 点。 特例,物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时,这三个力 的作用线必相交于一点且一定共面。
§1.4

固定转动轴物体的平衡

1.4.1、力矩
力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的 O F

方向所确定的射线称为力的作用线。力作用于物体,常能 使物体发生转动,这时外力的作用效果不仅取决于外力的

d

图 1-4-1

大小和方向,而且取决于外力作用线与轴的距离——力臂 (d)。 力与力臂的乘积称为力矩,记为 M,则 M=Fd,如图 1-4-1,O 为垂直于纸面 的固定轴,力 F 在纸面内。 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时,此力对物体绕该 轴转动没有作用。 若力 F 不在与轴垂直的平面内,可先将力分解为垂直于轴的分 量 F⊥和平行于轴的分量 F∥,F∥对转动不起作用,这时力 F 的力矩为 M=F⊥d。 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时,物体所 受的总力矩等于各个力产生力矩的代数和。

1.4.2、力偶和力偶矩
一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。 如图 1-4-2 中 F1 , F2 即为力偶, 力偶不能合成为一个力, 是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一 轴,这一对力的力矩的代数和称为力偶矩,注意到
F2 F1

r2

r1
O

图 1-4-2

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第一讲

力、物体的平衡

F1 ? F2 ? F ,不难得到,M=Fd,式中 d 为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴
无关。

1.4.3、有固定转动轴物体的平衡
有固定转轴的物体,若处于平衡状态,作用于物体上各力的力矩的代数和为 零。

§1.5

一般物体的平衡

力对物体的作用可以改变物体的运动状态, 物体各部位所受力的合力对物体 的平动有影响,合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有,就称物体处 于平衡状态。因此,一般物体处于平衡时,要求物体所受合外力为零 和合力矩为零
( ? M ? 0) (? F外 ? 0)

同时满足,一般物体的平衡条件写成分量式为

?F
?F ?F
Mx,M y,Mz
y

x

? 0 ?Mx ? 0

?0 ?0

?M ?M

y

?0 ?0

z

z

分别为对 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。

由空间一般力系的平衡方程,去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方 程,容易导出各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系 (设在 xOy 平面内) 则 ? , 则独立的平衡方程为:

Fx ? 0, ? M x ? 0, ? M y ? 0

自动满足,

?F ?F ?M
z

x

?0 ?0 ?0

?F
?0

y

z

这一方程中的转轴可根据需要任意选取,一般原则是使尽量多的

12

第一讲

力、物体的平衡

力的力臂为零。
平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个,空间汇交力系和空间平行力系的 独立平衡方程均为三个。 §1.6

平衡的稳定性

1.6.1、重心
? 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度 g 为常矢量的区域,物体的重心
是惟一的(我们讨论的都是这种情形) ,重心也就是物体各部分所受重力的合力 的作用点,由于重力与质量成正比,重力合力的作用点即为质心,即重心与质心 重合。 求重心,也就是求一组平行力的合
X R B O A C G3 P

力作用点。相距 L,质量分别为 m1 , m2 的 两个质点构成的质点组,其重心在两质 点的连线上,且 m1 , m2 与相距分别为:

x
x1 G
1

x3

x2
图 1-6-1

G2

(m1 ? m2 ) L1 ? m2 L ? 0 (m1 ? m2 ) L2 ? m1 L ? 0
L1 ? m2 L m1 ? m 2 L2 ? m1 L m1 ? m 2

均匀规则形状的物体,其重心在它的几何中心,求一般物体的重心,常用的 方法是将物体分割成若干个重心容易确定的部分后, 再用求同向平行力合力的方 法找出其重心。 物体重心(或质心)位置的求法 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体的重心位置。 如图 1-6-1 由重 量分别为 G1 ,G2 的两均匀圆球和重量为
G3

的均匀杆连成的系统,设立如图坐标

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第一讲

力、物体的平衡

系,原点取在 A 球最左侧点,两球与杆的重心的坐标分别为

x1 , x 2 , x3

,系统重心

在 P 点,我们现在求其坐标 x。设想在 P 处给一支持力 R,令 R ? G1 ? G2 ? G3 达 到平衡时有:

?M ? G x
x?


1 1

? G2 x2 ? G3 x3 ? Rx ? 0

G1 x1 ? G2 x 2 ? G3 x3 G1 x1 ? G2 x 2 ? G3 x3 ? R G1 ? G2 ? G3

这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统,我们

不难证明其重心位置为:
? ? Gixi ?x ? ? Gi ? ? ? ? Giy ?y ? ? Gi ? ? Giz ?z ? ? ? Gi ?

一般来说,物体的质心位置与重心位置重合,由上面公式很易得到质心位置 公式:
? ? mi xi ?x ? ? mi ? ? ? ? mi y i ?y ? ? mi ? ? mz ?z ? ? i i ? ? mi ?
P

l
图 1-6-2

如图 1-6-2,有 5 个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起,从左至

右其密度分别为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ,设每根棒长均为 l ,求其质 心位置,若为 n 段,密度仍如上递增,质心位置又在什么地方? 解:设整个棒重心离最左端距离为 x,则由求质心公式有

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第一讲

力、物体的平衡

x?

?m x ?m
i i

i

?

m1 x1 ? m 2 x 2 ? ? ? m5 x5 m1 ? m2 ? ? ? m5

?

?v ? ? 1.1?v ? l ? 1.2 ?v ? l ? 1.3?v ? l ? 1.4 ?v ? l

l 2

3 5 7 2 2 2 ?v ? 1.1?v ? 1.2 ?v ? 1.3?v ? 1.4 ?b

9 2

? 2.67l
若为 n 段,按上式递推得:

l x? ? 2

1 ? 1.1 ? 3 ? 1.2 ? 5 ? 1.3 ? 7 ? ? ? (1 ?

n ?1 )( 2n ? 1) 10 n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.3 ? ? ? (1 ? ) 10

将坐标原点移到第一段棒的重心上,则上式化为:

n ?1 )( n ? 1) 10 x? l n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 1 2 n ?1 (1 ? ) ? (1 ? ) ? 2 ? ? ? (1 ? )( n ? 1) 10 10 10 ? n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 ?1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)? ? 1 12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 10 ? l n ?1 1 ? 1.1 ? 1.2 ? ? ? (1 ? ) 10 1.1 ? 1.2 ? 2 ? 1.3 ? 3 ? ? ? (1 ?

?

?

?

(n ? 1)( 2n ? 3q) l 3(n ? q)
A

例、如图 1-6-3 所示,A、B 原为

两个相同的均质实心球,半径为 R, 重量为 G,A、B 球分别挖去半径为
R 3R 和 2 4 的小球,均质杆重量为 35 G 64 ,长度 l ? 4R ,试求系统的重心位置。

a?

l
C 图 1-6-3

B

b?

a

b

解: 将挖去部份的重力, 用等值、 反向的力取代, 图示系统可简化为图 1-1-31

15

第一讲

力、物体的平衡

所示平行力系;其中
G a? ? G 27 , Gb? ? G 8 64 。设重心位置为 O,则合力 G 27 93 ? G? G 8 64 64

W ?G?G?

且?

M 0 (Gi ) ? 0



G(3R ? OC ) ?

27 R G R 35 G(OC ? 3R ? ) ? (3R ? ? OC ? G ? OC ? G(3R ? OC ) 64 4 8 2 64 ? OC=0.53R

1.6.2、物体平衡的种类
物体的平衡分为三类: 稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,

如果外力或外力矩促使物体回到原平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定 平衡的物体,偏离平衡位置时,重心一般是升高的。 不稳定平衡 处于平衡状态的物体, 当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,

如果外力或外力矩促使物体偏离原来的平衡位置,这样的平衡叫不稳定平衡,处 于不稳定平衡的物体,偏离平衡位置时,重心一般是降低的。 随遇平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界扰动而偏离平衡位置时,物

体受到的合外力或合力矩没有变化,这样的平衡叫随遇平衡,处于随遇平衡的物 体,偏离平衡位置后,重心高度不变。 在平动方面,物体不同方面上可以处于不同的平衡状态,在转动方面,对不 同方向的转轴可以处于不同的平衡状态。例如,一个位于光滑水平面上的直管底 部的质点,受到平行于管轴方向的扰动时,处于随遇平衡状态;受到与轴垂直方 向的扰动时,处于稳定平衡状态,一细棒,当它直立于水平桌面时,是不稳定平 衡,当它平放在水平桌面时,是随遇平衡。

16

第一讲

力、物体的平衡

1.6.3、稳度
物体稳定的程度叫稳度, 一般说来,使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量 越多, 这个平衡的稳度就越高。 稳度与重心的高度及支面的大小有关, 重心越低, 支面越大,稳度越大。
§1.7

流体静力学

流体并没有一定的开头可以自由流动,但具有一定的密度,一般认为理想流

体具有不可压缩的特征。 1.7.1、 静止流体中的压强

(1)静止流体内部压强的特点 在静止流体内任何一点处都有压强,这一压 强与方向无关仅与该点的深度有关;相连通的静 止流体内部同一深度上各点的压强相等。 关于流体内部的压强与方向无关,可以证明 如下: 在静止流体中的某点处任取一个长为 ?l 的极小的直角三棱液柱,令其两侧 面分别在竖直面内和水平面内, 作其截面如图 1-7-1 所示,图中坐标轴 x 沿水平 方向,坐标轴 y 沿竖直方向,以 ?x, ?y, ?n 分别表示此液柱截面三角形的三条边 长,且以 ? 表示此截面三角形的一个锐角如图 1-7-1,又以 应侧面上压强的大小,则各侧面所受压力的大小分别为:
?f x ? Px ?y?l
?f y ? Py ?x?l
O 图 1-7-1

y
?f x

?f n

?
?y ?x
?f y

?

x

Px Py , Pn , 分别表示对

?f n ? Pn ?n?l

17

第一讲

力、物体的平衡

由此液柱很小, 则其重力将远小于它的一个侧面所受到的压力,故可忽略其重力 的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡,乃有:
??f x ? ?f n cos a ? ??f y ? ?f n sin a
? Px ?y?l ? Pn ?n?l cos a ? ? Py ?x?l ? Pn ?n?l sin a



注意到 ?x ? ?n sin a, ?y ? ?n cos a ,代入上式便得
Px ? Py ? Pn

说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。 (2)静止流体内部压强的大小 若静止流体表面处的压强为 P。 (通常即为与该流体表面相接触的气体的压 强) ,流体的密度为 ? ,则此流体表面下深度为 h 处的压强为
P ? p0 ? ?gh

由上式可见,在静止流体内部高度差为 ?h 的两点间的压强差为
?p ? ?g?h

1.7.2、浮力与浮心
浮力是物体在流体中所受压力的合力。 浸没在静止流体内的物体受到的浮力 等于它所排开流体的重量,浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律,可表示 为
F ? ? 液 gV排

浮力的作用点称为浮心,浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那 部分流体的重心,它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时,它才与浸 没在液体中的物体部分的重心重合。

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第一讲

力、物体的平衡

1.7.3、浮体平衡的稳定性
浮在液体表面的浮体, 所受浮力与重力大小 相等、方向相反,处于平衡状态。浮体平衡的稳 定性,将因所受扰动方式的不同而异。显然,浮 体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳定的;对水平 方向的扰动,其平衡是随遇的。
F F O O Q Q G G (a) 图 1-7-2 (b)

?

浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动,其平衡的稳定性视具体情况而 定。以浮力水面的船体为例:当船体向右倾斜(即船体绕过质心 O 的水平对称轴 转动一小角度)时,其浮心(浮力作用点)Q 将向右偏离,浮力 F 与重力 G 构成 一对力偶,力偶矩将促使船体恢复到原来的方位,如图 1-7-2(a)所示,可见船 体对这种扰动,其平衡是稳定的。但如果船体重心 O 太高,船体倾斜所造成的力 偶矩也可能促使船体倾斜加剧,这时船体的平衡就是不稳的,如图 1-7-2(b)所 示。

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