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数学理哈尔滨市第三中学2013年高三第四次高考模拟考试数学试题(理工类)


黑龙江省哈尔滨市第三中学 2013 年高三第四次高考模拟考试

数学试题(理工类)
考试说明:本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试 时间 120 分钟. (1)答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚; (2)选择题必须使用 2B 铅笔填涂,非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写,字体工整,字迹清楚; (3)请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无 效,在草稿纸、试题卷上答题无效; (4)保持卡面清洁,不得折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、刮纸刀.

第I卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集 U ? {1,3,5,7,9,11} , M ? {3,5,9} , N ? {7,9} ,则集合 {1,11} ? A. M ? N B. M ? N C. CU ( M ? N ) D. CU ( M ? N )

2. 设 a,b ? R ,i 是虚数单位,则“复数 z ? a ? bi 为纯虚数”是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3. 一个棱锥的三视图如右图所示,则这个棱锥的体积为 A.12 4. 已知双曲线 B.36
2 2

C.16

D.48

x y ? 2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,左、右 2 a b 顶点将线段 F1 F2 三等分,则该双曲线的渐近线方程为
A. y ? ?2 2x B. y ? ?2 x C. y ? ?

2 x 2

D. y ? ? x

哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类) 第 1 页 共 6 页

5. 如右图,若输入 n 的值为 4,则输出 m 的值为 A. ? 3 B.

开始

1 3

C. 2

D. ?

1 2

输入 n i=1,m=2

6. 函数 f ?x ? ? ln x ? 2 x ? 5 的零点个数为 A.0 C.2 B.1 D.3

m?

1? m 1? m
是 否

i=i+1

7. 在直角梯形 ABCD 中,已知 BC∥AD,AB⊥AD,

AB=4,BC=2,AD=4,若 P 为 CD 的中点,
则PA· 的值为 PB A.-5 8. 若 ( x ? B.-4 C.4 D.5

i<n 输出 m 结束

→ →

a 6 ) 的展开式中常数项为 10? ,则直线 x ? 0, x ? a, x 轴与曲线 y ? cos x 围 x2

成的封闭图形的面积为 A. 2 ?

3 2

B.

3 2

C. 3 ? 1

D.1

? 9. 函数 f ( x ) ? A sin( x? ? ) (其中 A ? 0, ? ?
可以将 f ( x ) 的图象 A.向左平移

?
2

)的

图象如右图所示,为了得到 g ( x ) ? sin ? x 的图象,

?
6

个单位长度

B.向左平移

?
3

个单位长度

C.向右平移

?
6

个单位长度

D.向右平移

?
3

个单位长度

10.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , F1 , F2 为左、右焦点, A1 、 A2 、 B1 、 B2 分别是 a2 b2

其左、右、上、下顶点,直线 B1 F2 交直线 B2 A2 于 P 点,若 ?B1 PA2 为直角,则此椭 圆的离心率为

A.

2 ?1 2

B.

5 ?1 2

C.

2 2

D.

3 2

哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类) 第 2 页 共 6 页

11.已知 PC 为球 O 的直径,A,B 是球面上两点,且 AB ? 2 , ?APC ? ?BPC ? 若球 O 的体积为

?
4



32? ,则棱锥 A ? PBC 的体积为 3 4 3 2 3 2 A. 4 3 B. C. D. 3 2 2 1 2 4024 4025 )? f( ) ??? f ( )? f( )? 12.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? sin ? x , f ( 则 2013 2013 2013 2013
A. 4025 B. ?4025 C. 8050 D. ?8050

哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试 数学试卷(理工类)
第Ⅱ 卷
(非选择题, 共 90 分)

二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 20 分, 共 将答案填在答题卡相应的位置上. ) 13.已知实数 a ? 0 , b ? 0 且 a ? b ? 2 ,则 14.已知 ? x, y ? 满足: ?

1 4 ? 的最小值为 a b



? x ? y ? m ? m ? 0? ? , z ? 2 x ? y 的最大值为 2, m ? 若 则 ? x ? 0, y ? 0 ?
非统计专业 男 女 15 5 统计专业 10 20



15.某高校“统计初步”课程的教师为了检验 主修统计专业是否与性别有关系,随机 调查了选该课的学生人数情况,具体数 据如右表,则最大有 的把

握认为主修统计专业与性别有关系. 参考公式:

K2 ?

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

P(K 2 ? k0 ) 0.025 0.010 0.005 0.001
k0
5.024 6.635 7.879 10.828

16.△ABC 中,∠A=60° ,点 D 在边 AC 上, DB ? 3 ,且

??? ? ??? ? ??? ? BA BC ? BD ? ? ( ???? ? ???? ) ? ? ? 0 ? ,则 AC+AB 的最大值为 BA sin A BC sin C
哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类) 第 3 页 共 6 页



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足: Sn ? 2an ? 2(n ? N ) .
*

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )令 bn ? (n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

18.(本小题满分 12 分) 小建大学毕业后要出国攻读硕士学位,他分别向三所不同的大学提出了申请.根据 统计历年数据,在与之同等水平和经历的学生中,申请 A 大,B 大,C 大成功的频 率分别为 , ,

1 2 3 .若假设各大学申请成功与否相互独立,且以此频率为概率计算. 2 3 4

(Ⅰ )求小建至少申请成功一所大学的概率; (Ⅱ )设小建申请成功的学校的个数为 X,试求 X 的分布列和期望.

19.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD, 且 PA=AB=1,E 为 PB 中点. (Ⅰ )求证:AE⊥平面 PBC; (Ⅱ )若 AD=2,求二面角 D-EC-B 的平面角的余弦值.

P E

B

A

C
哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类) 第 4 页 共 6 页

D

20.(本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px? p ? 0? ,过焦点 F 作动直线交 C 于 A, B 两点,过 A, B 分 别作圆 D : ? x ?

? ?

p? 2 切点分别为 P, Q . AB 垂直于 x 轴时, 若 ? ? y ? 1 的两条切线, 2?

2

1 1 ? ?4. sin ?PAF sin ?QBF
(Ⅰ )求抛物线方程; (Ⅱ )若点 H 也在曲线 C 上, O 为坐标原点,且 OA ? OB ? tOH , HA ? HB ? 8 , 求实数 t 的取值范围.

21.(本小题满分 12 分)
x 2 已知函数 f ?x? ? e x ? ax ? b 在点 ?0, f ?0?? 处的切线方程为 6 x ? y ? 4 ? 0 .

?

?

(Ⅰ )求函数 f ?x ? 的解析式及单调区间; (Ⅱ )若方程 f ?x ? ? kx?k ? R? 有三个实根,求实数 k 的取值范围.

哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类) 第 5 页 共 6 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分) 如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,边 AD,BC 的延长线交于点 P,直线 AE 切⊙O 于点 A,且 AB ? CD ? AD ? PC .求证: (Ⅰ ?ABD ∽ ?CPD ; ) (Ⅱ AE∥BP. )

A

E D

B

C

P

23.(本小题满分 10 分)

? x ? cos ? ? 2 ? t ? cos ? ? ?x ? 已知曲线 C1 : ? ( ? 为参数), C 2 : ? ( t 为参数). 2 3 sin ? ?y ? ? y ? t ? sin ? 6 ? ?
(Ⅰ )将 C1 、 C 2 的方程化为普通方程; (Ⅱ )若 C 2 与 C1 交于 M、N,与 x 轴交于 P,求 PM ? PN 的最小值及相应 ? 的值.

24.(本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ )求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (Ⅱ )若不等式 f ( x) ? m ? 2 的解集是非空集合,求实数 m 的取值范围.

哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试数学试卷(理工类) 第 6 页 共 6 页

2013 年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试 数学试卷(理工类)答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 A 9 C 10 B 11 B 12 D

二、填空题:

9
13. 2 三、解答题: 17.(Ⅰ) an ? 2n ; 18.(Ⅰ) (Ⅱ) Tn ? ? n ? 2? 2
n?1

14. 1

15. 99 .5%

16. 2 7

?4

23 24
(Ⅱ)

X
P

0

1

2

3

1 24

1 4
(Ⅱ) ?

11 24

1 4

EX ?

23 12

2 34 17 2? ? 20. (Ⅰ) y 2 ? 4 x ; (Ⅱ) ? 0, ? ? 3? x 2 21. (Ⅰ) f ?x? ? e x ? 2 x ? 4 ,增区间: ? ?,? 6 , ? 2 ? 2 (Ⅱ) ? 2e ,?5e ? ? ? 2 ,0 ? ? e ?
19. (Ⅰ)略;

?

? ?

?

?

??

6 ,?? ;减区间: ? 6 , 6

?

?

?

22. 略 23. (Ⅰ) C1 : x ? 12 y ? 1; C2 : ? x ?
2 2

? ? ?

2? ? sin ? ? y cos ? ? 0 2 ? ?

1 ? ; ? ? k? ? , k ? Z 24 2 ?4 ? 24. (Ⅰ) ? ??,0? ? ? , ?? ? ; (Ⅱ) ? ??, ?1? ? ?5, ??? ?3 ?
(Ⅱ)
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