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3.3复数的四则运算


课题:复数的四则运算
? ? ? ? ? 教学目标:1.理解复数运算法则; 2.了解共轭复数的概念. 教学重点:理解复数运算法则 教学难点:理解复数运算法则 教学方法:先学后教,精讲活练

一。课前复习:复数的几何意义,复数的模。讲评作业 二。读课本56页—57页,做58页练习。
三。总结以下问题: 1.复数的加减法按照怎样的法则进行运

算? 2.复数的加法满足交换律和结合律吗? 3.指出复数加减法的几何意义。 一.复数的加减法则:

(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c ) ? (b ? d )i (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c ) ? (b ? d )i

关于加减法的几何意义:

1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ 符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.

y
Z2(c,d)

Z(a+c,b+d)

Z1(a,b)

o

x

2.复数减法运算的几何意义?
复数z2-z1

y

向量Z1Z2

符合 向量 减法 的三 角形 法则.

Z2(c,d)

Z1(a,b)

o
|z1-z2|表示什么?

x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离

二、 先 测 后 讲

2.已知复数6 ? 5i, 和-3 ? 4i. (1)在复平面上作出与这两 个复数对应的 向量OA和OB ; (2)求复数6 ? 5i, 和-3 ? 4i.的模; (3)写出向量AB和BA表示的复数 .

(4)求向量AB和BA 的模。
做58页练习2

B : ?3 ? 4i

y 5 4

A : 6 ? 5i

x -3 O 6

3.已知复平面上A、B、C、D对应 的复数分别为1 ? 2i, 4 ? 4i, ?2 ? i,1 ? 2i,则

3i AB ? CD ? ____; 6 ? i AB ? CD ? _____
4.复数3 ? 3i, ?5i, ?2 ? i对应的点分别为 平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C,
1 ? 9i 则第四个顶点D所对应的复数为 ______

?

?

?

?

四。复数的乘法运算:
读课本58页—59页做60页练习1,回答下列问题:

1.复数的乘法按照怎样的法则进行运算?遵循哪些运算律?
3.什么叫共轭复数?任一实数的共轭复数是什么? 回答59页的思考

复数的乘法法则:

(a ? bi)(c ? di) ? ac ? adi ? bci ? bd
任何 z1 , z 2 , z 3 ? C , 交换律

? ac ? bd ? (bc ? ad )i

z1 ? z2 ? z2 ? z1

结合律 ( z1 ? z 2 ) ? z 3 ? z1 ? ( z 2 ? z 3 ) 分配律
z1 ( z 2 ? z 3 ) ? z1 z 2 ? z1 z 3

共轭复数
1 3 例3:求z1 ? 3 ? 4i, z 2 ? ? i的共轭复数 2 2
练习:求下列复数的共轭复数

(1) 8 ? 5i (2) ? 7i (3)3 (4) ? 3 ? 3i

二、基础训练:
1:复数 z1 ? 3 ? i, z 2 ? 1 ? i,则 z ? z1 ? z 2 在 复平面内的对应点位于( D ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
小结:复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但 2 必须在所得的结果中把 i 换成-1,并且把 实部与虚部分别合并。

二、基础训练:
2:计算 (1)(1 ? i)(1 ? 2i) ?1 ? 2i ? i ? 2i ? i ? 1 ? i ? 2 ? 3 ? i
(2)(2 ? i)(2 ? i) ? 22 ? i 2 ? 4 ? (?1) ? 5

(3)(1 ? 2i) ? 1 ? 4i ? 4i ? 1 ? 4i ? 4 ? ?3 ? 4i
2
2

小结:复数的乘法可以按照乘法法则进行, 对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘 法,用乘法公式更简便,例如平方差公式, 完全平方公式等。

四.复数的除法法则: 读课本59—60页做60页练习3

a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 c ? di (c ? di)(c ? di) c ? d c ?d

3.练习:课本60页3

复数(三)

? i i 4 ? _____; i 1 i 5 ? ________ 1.计算:i 3 ? _____;
1 i 7 ? ________; ?i i6 ? ? ____; i8 ? __________ . 1 ? 1 i 51 ? _____; ?i 2.计算:i 50 ? _____; 1 i . i100 ? ________; i101 ? ____ 1 i 4 n?1 ? _____; i 3.计算:i 4 n ? _____;

?i . ?1 i 4 n ? 2 ? ________; i 4 n ?3 ? ____
i 4n ? 1 ,i 4 n?1 ? i

i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n? 3 ? ? i . ( n ? N * )

复数的乘方法则:
? 对任何 z, z1 , z2 ? C及 m , n ? N ,有

z ?z ? z
m n

m?n

(z ) ? z
m n

mn

( z1 ? z2 ) ? z1 ? z2
n

n

n

注:在复数集合中未定义分数指数幂的运算

? 2i (2) 1 ? i ? ___, i 几个有用结论: (1)(1 ? i)2 ? ____, 1? i 4n 4 n ?1 4 n?2 4 n ?3 0 (3) 1 ? i ? ___;(4) i ? i ? i ? i ? _____ ? i 1? i

3.计算:

三 、 拓 展 深 化

1? i 2 i 2 1 ? i 100 (1)( ) ?( ) ; (2)( ) ; 1? i 1? i 2 1 ? 3i 4 ? 2 ? i (3) . (4)( ) 1 ? 2i 2?i

1 (1). ? 1 ? i; (2) ? 1; (3) i (4) ? 4 2

作业:课本66页3 补充作业:
.计算: i 2 i 2 1 ? 3i 4 (1)( ) ?( ) ; (2)( ) ; 1? i 1? i 2?i 1 ? i 100 3 ? i 10 (3)( ) ; (4)( ) ; 2i 2 ?2 3 ? i 2 2008 (5) ?( ) 1? i 1 ? 2 3i

第四节

i?2 3 1 ? i 22 19 1.计算: ? (5 ? i ) ? ( ) 1 ? 2 3i 2 2.若(1 ? i ) n ? (1 ? i ) n 求最小正整数n . 1 3 3.设? ? ? ? i, 求证: 2 2 1 2 (1)1 ? ? ? ? ? 0; (2) ? ?;

5 ? i; 4

(3)? 2 ? ?;

? (4)? 3 ? 1

三 、 拓 展 深 化

3 1 3 2 1 3 2 3 1 1?? ? ? ?? 1 ?i( i ) ? (? ? i) 2 ) ?( ? )? ? 证明:( ( 1 )? 2 2 2 2 2 2 31 1 1 3 3 2 1 21 3 3 2 ? ( ? ? i ) ( ? ? i ) ? ? i ? (? ) ? 2 ? ? i ? ( i) 2 22 2 2 2 22 2 2 1 3 3 1 13 3 1 3i ) ? ( ? 1 )2 ? ( 3 i )2 ? ( ? ? i )( ? ? ? ?2 i2? ? 2 i ? 2 2 2 2 4 2 24 1 3 ? ?0; ? ? 1 4 4
3

?1 ? 3i 4 ?1 ? 3i 4 1、计算 ( ) ?( ); 2 2
3

-1

(?1 ? 3i) ?2 ? i ?3 ? i 2、计算 ? ? 6 1 ? 2i 1 ? i (1 ? i)

(?1 ? 3i) ?2 ? i ?3 ? i 计算 ? ? 6 1 ? 2i 1 ? i (1 ? i)
3
3

( ?1 ? 3 i ) i (1 ? 2i ) ( 3 ? i )(1 ? i ) 解 : 原 式? ? ? 2 3 1 ? 2i (1 ? i )(1 ? i ) [(1 ? i ) ] ? 1 ? 3 i ?( ) 3 ? i ? 2 ? 4i 2i 2 3 3 i ?( ? ) ? 1 ? 3i 2 2 ? ?1 ? 2i


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