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第二节 空间几何体的表面积和体积


第二节 空间几何体的表面积和体积
高考试题
考点一 根据三视图求组合体的体积或表面积
1.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

(A)16+8π (C)16+16π

(B)8+8π (D)8+16π

解析:由三视图可知该几何体为一组

合体,组合体的上面部分为从同一顶点出发的三棱长分别为 4、2、2 的 长方体,下面部分为半圆柱,其中底面半径为 2 ,母线长为 4,其直观图如图所示,故几何体的体积为

2×2×4+ 答案:A

1 2

×π ×2 ×4=16+8π .故选 A.

2

2.(2012 年广东卷,文 7)某几何体的三视图如图所示,它的体积为(

)

(A)72π

(B)48π

(C)30π

(D)24π

解析:由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示,圆锥的底面半径为 3,高为 4,半 球的半径为 3. V=V 半球+V 圆锥= 答案:C 3.(2011 年湖南卷,文 4)如图所示,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

1 2

×

4 3

π ×3 +

3

1 ×π ×3 ×4=30π . 3
2

(A)9π +42 (C)

(B)36π +18 (D)

9 2

π +12

9 2

π +18

解析:由三视图可知,该几何体是由直径为 3 的球和长、宽、高分别为 3、3、2 的长方体组合而成,

∴V=

4 3

π ×?

?3? ? ?2?

3

+3×3×2=

9 2

π +18.

答案:D 4.(2010 年安徽卷,理 8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为( )

(A)280

(B)292

(C)360

(D)372

解析:该几何体上部是长为 6,宽为 2、高为 8 的长方体,下部是长为 8,宽为 10,高为 2 的长方体. ∴S 组合体表=2×6×8+2×2×8+6×2+8×10×2+8×2×2+10×2×2-6×2=96+32+12+160+32+40-12=360. 答案:C 5.(2013 年北京卷,文 10)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为 .

解析:将三视图还原为几何体是一个底面为正方形的四棱锥,其底面边长为 3,高是 1,故其体积为 V=

1 ×9×1=3. 3
m.
3

答案:3 6.(2012 年天津卷,文 10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为

解析:由三视图可知,该几何体为一个长方体与四棱柱的组合体,长方体的长,宽,高分别为 4,3,2,四棱柱的 高为 4,其上、下底面为两底长分别为 1,2,高为 1 的直角梯形,故组合体的体积 V=3×4×2+ 答案:30 7.(2012 年湖北卷,文 15)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

1 2

×(1+2)×1×4=30(m ).

3

解析:由三视图可知,该几何体是由两个底面直径为 4,高为 1 的圆柱和一个底面直径为 2,高为 4 的圆柱组合 而成, ∴V=π ×2 ×1×2+π ×1 ×4=12π . 答案:12π
2 2

考点二 根据几何体的直观图求其表面积或体积
1.(2010 年北京卷,文 8)如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2,动点 E,F 在棱 A1B1 上,点 Q 是棱 CD 的中 点,动点 P 在棱 AD 上.若 EF=1,DP=x,A1E=y(x,y 大于零),则三棱锥 P EFQ 的体积( )

(A)与 x,y 都有关 (B)与 x,y 都无关 (C)与 x 有关,与 y 无关 (D)与 y 有关,与 x 无关 解析:三棱锥 P EFQ 的体积可以看作是以△PEF 为底面,而△PEF 的底 EF=1,高 A1P= 关,三棱锥 P EFQ 的高为点 Q 到平面 PEF 的距离. ∵CD∥EF,∴CD∥平面 PEF.

4 ? ?2 ? x?

2

,与 x 有

∴点 Q 到平面 PEF 的距离等于点 D 到平面 PEF 的距离,与 y 无关,故选 C. 答案:C 2.(2012 年江苏卷,7)如图所示,在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A BB1D1D 的体积 为 cm .
3

解析:连接 AC 交 BD 于 O, 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, ∵AB=AD=3 cm, ∴四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD,且 BD=3 又 BB1⊥底面 ABCD, ∴AC⊥BB1, 又 DB∩BB1=B, ∴AC⊥平面 BB1D1D, 即 AO 的长是点 A 到平面 BB1D1D 的距离,

2.

S四边形B B1D1D
VA?BB1D1D

=3

2 ×2=6 2 ,AO=

3 2 2
3

,



=

1 3 2 ×6 2 × 3 2

=6(cm ).边

答案:6 3.(2013 年湖北卷,文 16)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形 的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则 平地降雨量是 寸. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸) 解析:圆台的下底面半径为 6 寸,上底面半径为 14 寸,高为 18 寸,雨水线恰为中位线,故雨水线截面的半径是

10 寸,∴降水量为 答案:3

π 102 ? 10 ? 6 ? 62 ? ? 9 ? 3 π ?142

=3(寸).

4.(2013 年江苏卷,8)如图,在三棱柱 A1B1C1 ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点.设三棱锥 F ADE 的体积 为 V1,三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积为 V2,则 V1∶V2= .

解析:

V1 V2

=

1 1 ? AD ? AE ? sin ?EAD ? AF 3 2 1 AC ? AB ? sin ?CAB ? AA1 2
1 AD AE AF ? ? 3 AB AC AA1
×

=

1 1 × 3 2 1 = . 24
= 答案:1∶24

1 2

×

1 2

5.(2012 年山东卷,文 13)如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A DED1 的体积为 .

解析: 答案:

VA? DED1 = VE ? ADD1 =
1 6

1 1 × 3 2

×1×1×1=

1 . 6

6.(2013 年重庆卷,文 19)如图,四棱锥 P ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=2

3 ,BC=CD=2,

∠ACB=∠ACD=

π . 3

(1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC,求三棱锥 P BDF 的体积. (1)证明:因为 BC=CD,所以△BCD 为等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故 BD⊥AC. 因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥BD. 从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线 PA,AC 都垂直, 所以 BD⊥平面 PAC. (2)解:三棱锥 P BCD 的底面 BCD 的面积 S△BCD= 由 PA⊥底面 ABCD,得

1 2

BC·CD·sin∠BCD=

1 2

×2×2×sin

2π = 3. 3

VP? BCD =

1 ·S 3

△BCD

·PA=

1 × 3 ×2 3 =2. 3

由 PF=7FC,得三棱锥 F BCD 的高为 故 VF ? BCD =

1 PA, 8
,

1 1 1 1 PA= × 3 × ×2 3 = 8 3 8 4 1 7 所以 VP ? BDF = VP ? BCD - VF ? BCD =2- = . 4 4
△BCD

1 ·S 3

·

7.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 19)如图,三棱柱 ABC A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

(1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C=

6 ,求三棱柱 ABC

A1B1C1 的体积.

(1)证明:取 AB 的中点 O,连接 OC,OA1,A1B.

因为 CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O, 所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形,所以 OC=OA1= 又 A1C=

3.

6 ,则 A C =OC +O A12 ,故 OA ⊥OC.
2 2 1 1

因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC=

3 ,故三棱柱 ABC

A1B1C1 的体积 V=S△ABC×OA1=3.

8.(2013 年新课标全国卷Ⅱ,文 18)如图所示,直三棱柱 ABC A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点.

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)设 AA1=AC=CB=2,AB=2

2 ,求三棱锥 C

A1DE 的体积.

(1)证明:连接 AC1 交 A1C 于点 F,

则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连接 DF, 则 BC1∥DF. 因为 DF? 平面 A1CD,BC1?平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)解:因为 ABC A1B1C1 是直三棱柱, 所以 AA1⊥CD. 由已知 AC=CB,D 为 AB 的中点, 所以 CD⊥AB. 又 AA1∩AB=A, 于是 CD⊥平面 ABB1A1. 由 AA1=AC=CB=2,AB=2 得∠ACB=90°,CD= 故 A1D +DE =A1E , 即 DE⊥A1D. 所以 V三棱锥C ? A DE =
1
2 2 2

2

2 ,A D= 6 ,DE= 3 ,A E=3,
1 1

1 1 × 3 2

×

6 × 3 × 2 =1.

考点三 球的表面积和体积
1.(2012 年新课标全国卷,文 8)平面α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1,球心 O 到平面α 的距离为 球的体积为( (A) (C)4 ) (B)4 (D)6

2 ,则此

6π 6π

3π 3π

解析:设截面圆的圆心为 O′,M 为截面圆上任一点, 则 OO′= ∴OM=

2 ,O′M=1,
2

? 2?
π(

?1 = 3 ,

即球的半径为 ∴V=

3,
3

4 3

3 ) =4 3 π .

答案:B 2.(2013 年新课标全国卷Ⅰ,文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α ,H 为垂足,α 截球 O 所得截面的面积为π ,则球 O 的表面积为 .

解析:如图,设截面小圆的半径为 r,球的半径为 R,因为 AH∶HB=1∶2,所以 OH=

1 R.由勾股定理,有 R =r +OH , 3
2 2 2

?1 ? 又由题意得π r =π ,则 r=1,故 R =1+ ? R ? ?3 ?
2 2

2

,即 R =

2

9 9π .由球的表面积公式,得 S=4π R = . 8 2
2

答案:

9π 2

3.(2013 年新课标全国卷Ⅱ,文 15)已知正四棱锥 O ABCD 的体积为 心,OA 为半径的球的表面积为 .

3 2 2

,底面边长为

3 ,则以 O 为球

解析:正四棱锥 O ABCD 中,顶点 O 在底面的射影为底面中心 E,



1 3 2 ×( 3 ) ×OE= 3 2
2

,

所以 OE=

3 2 2

,

故球半径 OA=

OE2 ? EA2

=

6,

从而球的表面积为 24π . 答案:24π 4.(2009 年大纲全国卷Ⅰ,文 15)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M. 若圆 M 的面积为 3π ,则球 O 的表面积等于 解析:∵圆 M 的面积为 3π , ∴圆 M 的半径 r= 设球的半径为 R, 则R=
2

.

3.
3 4

1 4

R +3,∴
2

2

R =3,∴R =4.

2

2

∴S 球=4π R =16π . 答案:16π

考点四 球的内接几何体的表面积与体积
1.(2011 年辽宁卷,文 10)已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=2,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S ABC 的体积为( )

(A)

3 3

(B)

2 3 3

(C)

4 3 3

(D)

5 3 3

解析:如图所示,由题意知,在棱锥 S ABC 中,△SAC,△SBC 都是等腰直角三角形,其中 AB=2,SC=4,

SA=AC=SB=BC=2

2 .取 SC 的中点 D,易证 SC 垂直于面 ABD,因此棱锥 S
1 SC·S 3
△ADB

ABC 的体积为两个棱锥 S ABD 和

C ABD 的体积和,所以棱锥 S ABC 的体积 V= 答案:C

=

1 4 3. ×4× 3 = 3 3

2.(2013 年天津卷,文 10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为 为 .

9π ,则正方体的棱长 2

解析:由对称性知正方体对角线即其外接球直径, 设球半径为 R,正方体棱长为 a, 则

4 3

πR=

3

9π 3 ,R= 2 2

,



3a2
3

=3,得 a=

3.

答案:

3.(2011 年四川卷,文 15)如图所示,半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,球的表面积与 该圆柱的侧面积之差是 .

解析:法一

设球的半径与圆柱的高所成的角为α ,

则圆柱底面半径为 4sin α ,高为 8cos α , ∴S 圆柱侧=2π ·4sin α ·8cos α =32π sin 2α . 当 sin 2α =1 时,S 圆柱侧最大为 32π . 此时 S 球表-S 圆柱侧=4π ·4 -32π =32π . 法二 设圆柱底面半径为 r,则其高为 2 ∴S 圆柱侧=2π r·2
2

R2 ? r 2

,

R2 ? r 2
=2π R
2

=4π

r 2 ? R2 ? r 2 ? ≤



r 2 ? ? R2 ? r 2 ? 2

( 当且仅当r 2 ? R 2 ? r 2 , 即r ?
又 R=4,∴S 圆柱侧最大为 32π . 此时 S 球表-S 圆柱侧=4π ·4 -32π =32π .
2

2 R时取 “=”). 2

答案:32π

模拟试题

考点一
体积是(

根据组合体的三视图求其表面积或体积
)

1.(2013 山东淄博一模)一个直棱柱被一个平面截去一部分后,所剩几何体的三视图如图所示,则该几何体的

(A)9

(B)10

(C)11

(D)

23 2

解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,

其中 AB=BC=2,AA1=3, 三棱锥 A1 AD1E 为截掉部分. ∵ VA ? AD E = VA? A D E =
1 1 1 1

1 1 × 3 2

×2×1×3=1,

∴V 剩余部分=2×2×3-1=11. 答案:C 2.(2013 青岛质检)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图与左视图均为半径是 2 的圆,这个几何体的体 积是( )

32 π 3 16π (C) 3
(A) ∴V=

(B)8π (D)32π

解析:由三视图可知,该几何体是球去掉四分之一后剩余的部分,

3 4

×

4 3

×π ×2 =8π .

3

答案:B 3.(2012 吉林一模)如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是 .

解析:该几何体是一个长方体挖去一半球而得,直观图如图所示,(半)球的半径为 1,长方体的长、宽、高分 别为 2、2、1,∴该几何体的表面积为 S=16+ 答案:16+π

1 2

×4π ×1 -π ×1 =16+π .

2

2

考点二

几何体的体积

1.(2013 安徽黄山三校联考)如图(1)所示,△ABC 是等腰直角三角形,AC=BC=4,E、F 分别为 AC、AB 的中点, 将△AEF 沿 EF 折起,使 A′在平面 BCEF 上的射影 O 恰为 EC 的中点,得到图(2).

(1)求证:EF⊥A′C; (2)求三棱锥 F A′BC 的体积. (1)证明:在△ABC 中,EF 是等腰直角△ABC 的中位线, ∴EF⊥AC, 在四棱锥 A′ BCEF 中,EF⊥A′E,EF⊥EC, 又 EC∩A′E=E,∴EF⊥平面 A′EC, 又 A′C? 平面 A′EC, ∴EF⊥A′C. (2)解:在直角梯形 BCEF 中,EC=2,BC=4, ∴S△FBC=

1 2

BC·EC=4,

∵A′O⊥平面 BCEF,

∴A′O⊥EC, 又∵O 为 EC 的中点, ∴△A′EC 为正三角形,边长为 2, ∴A′O=

3,
1 S 3
·A′O=

∴ VF ? A?BC = VA?? FBC =

△FBC

1 4 3 ×4× 3 = . 3 3

2.(2013 福建厦门高三上质检)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=a,AD=b,过点 D 作 DE⊥AC 于 E,交直线 AB 于 F.现 将△ACD 沿对角线 AC 折起到△PAC 的位置,使二面角 P AC B 的大小为 60°.过 P 作 PH⊥EF 于 H.

(1)求证:PH⊥平面 ABC; (2)若 a+b=2,求四面体 P ABC 体积的最大值. (1)证明:∵DF⊥AC, ∴折起后 AC⊥PE,AC⊥EF, ∴AC⊥平面 PEF, 又 PH? 平面 PEF, ∴AC⊥PH, 又 PH⊥EF,EF∩AC=E, ∴PH⊥平面 ABC. (2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC, ∴∠PEF 就是二面角 P AC B 的平面角, ∴∠PEF=60°,

∴Rt△PHE 中,PH=

3 PE, 2

折起前,Rt△ADC 中, DE=

AD ? DC ab = 2 AC a ? b2

,

S△ABC=

1 2

ab,

折起后,PE=DE,

∴PH=

ab 3 3 PE= · 2 2 a 2 ? b2
1 PH·S 3
△ABC

,

∴ VP ? ABC =

=

1 ab 3 · · 2 3 2 a ? b2

·

1 2

ab

=

? ab ? 3 · 12 a 2 ? b2
2 2 2

,

∵a+b=2,a>0,b>0,



? ab ?
2

a ?b



? ab ?

2

2ab

=

1 ? ab ? 2

3 2



2 1 ?? a ? b ? ? 2 1 ?? ? ? = 2 ? 2 ?? 2 ? ? ?

3

,

当且仅当 a=b=1 时,两个等号同时成立, 因此( VP ? ABC )max=

6 . 24

考点三

球的表面积和体积的求法

1.(2013 山东临沂高三上期末)四棱锥 P ABCD 的三视图如图所示,四棱锥 P ABCD 的五个顶点都在一个球面 上,E、F 分别是棱 AB、CD 的中点,直线 EF 被球面所截得的线段长为 2

2 ,则该球表面积为(

)

(A)12π

(B)24π

(C)36π

(D)48π

解析:由三视图可知,四棱锥的直观图如图所示,

补成长方体后可知其外接球的球心是 PC 的中点,由题意可知正方形 ABCD 的外接圆的直径 AC=2

2 .即

2 a=2 2 ,
∴a=2. ∴PA=2, ∴PC=

22 ? 2 2
2

?

?

2

=2
2

3,

∴S 球=4π ·R =4π ·( 答案:A

3 ) =12π .
.

2.(2013 山东潍坊一模)已知一个圆柱内接于球 O 中,其底面直径和母线都是 2,则球 O 的体积是 解析:设球的半径为 R,则 2R=

22 ? 22

=2

2,

∴R=

2,
4 3
πR=
3

∴V=

8 2 3

π.

答案:

8 2 3

π

考点四
长为( (A)

球的内接几何体的表面积和体积求法
)

1.(2012 石家庄二模)已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球,则正三棱柱的侧面积取得最大值时,其底面边

6

(B)

2

(C)

3

(D)2

解析:设正三棱柱底面边长为 a,高为 h,如图所示. 设 O 为外接球的球心,半径为 R, 在 Rt△OAO2 中,OA=R,

AO2=

2 3
2

×

1 3 3 a= a,OO = 2 2 3
2

h,
2

由 OA =

AO OO

2 2 +

2 2 ,得

? 3 ? R =? ? 3 a? ? ? ?
2

+?

?h? ? ?2?

2

,

∴4=

h2 a2 + 4 3

≥2×

h 2

×

a ah = , 3 3
=

∴ah≤4

3 .当且仅当

h 2

a , 3

即 h=

2a 时等号成立, 3

此时正三棱柱侧面积最大,且其最大值为 3ah=3×4

3 =12 3 ,

1 此时有 4= 4
答案:A

? 2a ? ×? ? ? 3?

2

+

a2 3

,即 a=

6.

2.(2012 长春二模)如图所示,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 6,则以正方体 ABCD A1B1C1D1 的中心为顶点,以平 面 AB1D1 截正方体外接球,所得的圆为底面的圆锥的全面积为 .

解析:设 O 为正方体外接球的球心, 则 O 也是正方体的中心, 正三角形 AB1D1 的边长为 6

2,

其外接圆的半径为

2 3

×

3 ×6 2 =2 6 . 2

又球的半径是正方体对角线长的一半, 即圆锥的母线长为 3

3, 6 ) =24π ,
2

因此圆锥底面面积为 S1=π ·(2 圆锥的侧面积为 S2=π ×2 ∴S 圆锥表=S1+S2=18 答案:(18

6 ×3 3 =18 2 π .

2 π +24π =(18 2 +24)π .

2 +24)π

综合检测
1.(2013 山东潍坊高三上期末)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为 4 的两个全等 的等腰直角三角形,若该几何体的所有顶点在同一球面上,则该球的表面积是( )

(A)12π (C)32π

(B)24π (D)48π

解析:由几何体的三视图可知,其直观图如图所示,

将其补成一个正方体可发现该四棱锥外接球球心为 SB 的中点,球半径 R=

1 2

SB=

1 2 4 ? 42 ? 42 2

=2

3,

∴S 球=4π ·(2 答案:D

3 ) =48π .
2

2.(2012 潍坊模拟)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角线 AC 把△ACD 折起,则三棱 锥外接球表面积等于( (A)8π (B)16π )

(C)48


8 x
(x>0),

(D)50π

解析:设矩形长为 x,则宽为

周长 P=2 ? x ?

? ?

8 8? ? ≥2·2 x ? x? x
,

=8

2.

当且仅当 x=

8 x

即 x=2

2 时,周长取到最小值.

此时正方形 ABCD 沿 AC 折起,取 AC 的中点为 O,则 OA=OB=OC=OD, 三棱锥 D ABC 的四个顶点都在以 O 为球心,以 2 为半径的球上,此球的表面积为 4π ·2 =16π . 答案:B 3.(2012 河南模拟)已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均是由三角形和半圆构成,俯视图 由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得此几何体的体积为 .
2

解析:由三视图可知,该几何体下面是半径为
3

2 2

的半球,上面是一个底面为腰为 1 的等腰直角三角形,高为

1 1 的三棱锥,其体积 V= 2
答案:

4π ? 2 ? × ×? ? ? 3 ? ? 2 ?

+

1 1 × 3 2

×1×1×1=

2π+1 . 6

2π+1 6
1 4

4.(2013 广东中山高三上学期期末统考)如图所示,三棱柱 ABC A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,D、 E 分别为 A1B1、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF= AB.

(1)求证:EF∥平面 BC1D; (2)在棱 AC 上是否存在一个点 G,使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1∶15,若存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由. (1)证明:取 AB 的中点 M,

∵AF=

1 4

AB,

∴F 为 AM 的中点, 又∵E 为 AA1 的中点, ∴EF∥A1M. 在三棱柱 ABC A1B1C1 中,D、M 分别为 A1B1、AB 的中点, ∴A1D∥BM,A1D=BM, ∴四边形 A1DBM 为平行四边形, ∴A1M∥BD, ∴EF∥BD, ∵BD? 平面 BC1D,EF?平面 BC1D, ∴EF∥平面 BC1D. (2)解:设 AC 上存在一点 G,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 1∶15, 则 VE ? AFG ∶ VABC ? A B C =1∶16,
1 1 1

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE 3 2 = 1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 1 1 1 AG = × × × 3 4 2 AC 1 AG = · . 24 AC 1 AG 1 ∴ · = , 24 AC 16 AG 3 ∴ = , AC 2 3 ∴AG= AC>AC. 2

VE ? AFG ∵ VABC ? A1B1C1

所以符合要求的点 G 不存在.


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