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第7讲 高一第一学期期末复习题——必修21


高一第一学期期末复习题——必修 2
一,选择题
1.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

①正方形 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 分析】 : 【分析】 正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为 D. 2.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是( )

4000 3 cm 3 3 C. 2000cm
A.

8000 3 cm 3 3 D. 4000cm 1 8000 答案】 【分析】 : V . 【答案】 B 分析】如图, = × 20 × 20 × 20 = : 3 3
B.
P

20

20 正视图
D C

20 侧视图

10 10

A

B

3.已知三棱锥 S ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的 球面上,球心 O 在 AB 上, SO ⊥ 底面 ABC , AC = 则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A. π B. 2π C. 3π D. 4π

20 俯视图

S

2r ,

【答案】 D 分析】 如图, AB = 2r , ∠ACB = 90 , BC = 答案】 【分析】 : :

2r ,

1 1 1 1 ∴V三棱锥 = × SO × S ABC = r 2r 2r = r 3 , 3 3 2 3 C 4 3 4 3 1 3 V球 = π r ,∴V球 : V三棱锥 = π r : r = 4π . 3 3 3 4.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形,
且底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥, 三棱锥,三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h = ( )

A

O

B

A. 3 :1:1 B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 : 2 D. 3 : 2 : 3 答案】 分析】 :如图,设正三棱锥 P ABE 的各棱长为 a , 【答案】 B【分析】 : P 则四棱锥 P ABCD 的各棱长也为 a , 于是 h1 =

a2 (

2 2 2 a) = a, 2 2
2

C h1 D

h (h ) 3 2 6 a × )2 = a = h, 2 3 2 E ∴ h1 : h2 : h = 3 : 2 : 2. 5.若 l , m, n 是互不相同的空间直线, α , β 是不重合的平面,则下列命题

h2 = a 2 (

B A

中 为

真命题的是(

)

【解析】逐一判除,易得答案(D). 6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( ) A. 9π B. 10π C. 11π D. 12π 解析:本小题主要考查三视图与几何体的表面积. 从三视图可以看出该几何体是由一个球和 一个圆柱组合而成的,其表面及为

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

S = 4π × 12 + π × 12 × 2 + 2π ×1× 3 = 12π . 选 D. 7.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x 3 y = 0 和 x 轴相切,则该圆的标
准方程是(
2

)
2

7 A. ( x 3) + y = 1 3
C. ( x 1) + ( y 3) = 1
2 2

B. ( x 2) 2 + ( y 1) 2 = 1

3 D. x + ( y 1) 2 = 1 2

2

解析:本小题主要考查圆与直线相切问题.

| 4a 3 | 1 = 1,∴ a = 2(舍 ). 选 B. 5 2 2 2 8. 已知圆的方程为 x + y 6 x 8 y = 0 . 设该圆过点 (3, 的最长弦和最短弦分别为 AC 5) 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 10 6 B. 20 6 C. 30 6 D. 40 6 2 2 解:化成标准方程 ( x 3) + ( y 4) = 25 ,过点 (3,5) 的最长弦为 AC = 10, 1 最短弦为 BD = 2 52 12 = 4 6, S = AC BD = 20 6. 2
设圆心为 ( a,1), 由已知得 d =

点P到原点最短距离为零,最远距离为点 P ( 6,8 ) 到原点距离且距离为10,故选B;

【试题解析】 :根据题意可知点P在线段 4 x + 3 y = 0 ( 6 ≤ x ≤ 3) 上,有线段过原点,故

9.点 P(x,y)在直线 4x + 3y = 0 上,且满足-14≤x-y≤7,则点 P 到坐标原点距离的 取值范围是( ) A. [0,5] B. [0,10] C. [5,10] D. [5,15]

10.已知平面α⊥平面β,α∩β= l,点 A∈α,A l,直线 AB‖l,直线 AC⊥l,直线 m‖α,m‖β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( ) ... A. AB‖m B. AC⊥m C. AB‖β D. AC⊥β 【标准答案】 D【试题解析】 :容易判断A,B,C三个答案都是正确的,对于D,虽然 : AC ⊥ l ,但AC不一定在平面 α 内,故它可以与平面 β 相交,平行,故不一定垂直; 11.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱

的投影是长为 6 的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条 棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段,则 a+b 的最大值为( ) A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 解:结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.如图 设长方体的高宽高分别为 m, n, k ,由题意得

k n m

m2 + n2 + k 2 = 7 , m2 + k 2 = 6 n = 1
2 2
2 2

1 + k = a , 1 + m = b ,所以 (a 1) + (b 1) = 6 a 2 + b 2 = 8 ,∴ (a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2 = 8 + 2ab ≤ 8 + a 2 + b 2 = 16 a + b ≤ 4 当且仅当 a = b = 2 时取等号.
12.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分 别是 GHI 三边的中点)得到的几何体如图 2,则 该几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( )

【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A.

二,填空题 1. 与直线 x + y 2 = 0 和曲线 x 2 + y 2 12 x 12 y + 54 = 0 都相切的半径最小的圆的标准
方程是 .
2 2 : 其圆心到直 【分析】 曲线化为 ( x 6) + ( y 6) = 18 , 分析】

线 x + y 2 = 0 的距离为 d =

6+62 2

= 5 2. 所求 的

最小圆的圆心在直线 y = x 上,其到直线的距离为 2 ,

圆心坐标为 (2, 2). 标准方程为 ( x 2) + ( y 2) = 2 . 2.在平面直角坐标系中,设三角形 ABC 的顶点坐标分别为 A(0, a ), B (b, 0), C (c, 0) ,点
2 2

,设 a , b, c, p 均为非零实数,直线 BP , CP 分别交 P (0, p ) 在线段 OA 上(异于端点)

1 1 1 1 AC , AB 于点 E,F,一同学已正确算出 OE 的方程: x + y = 0 ,请你求 b c p a
OF 的方程: .

1 1 1 1 )y = 0. c b p a x y x y 事 实 上 , 由 截 距 式 可 得 直 线 AB : + = 1 , 直 线 CD : + = 1 , 两 式 相 减 得 a b c p 1 1 1 1 ( ) x + ( ) y = 0 ,显然直线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此 c b p a 1 1 1 1 方程,故为所求的直线 OF 的方程.答案 ( ) x + ( ) y = 0 . 答案 c b p a
【解析】本小题考查直线方程的求法.画草图,由对称性可猜想 ( ) x + ( 解析】 3.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上,且该六棱柱的高为 3 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 _________ 【标准答案】 V = :

4 1 π 【试题解析】∵正六边形周长为3,得边长为 ,故其主对角线 3 2 2 4 为1,从而球的直径 2 R = 3 + 12 = 2 ∴ R = 1 ∴球的体积 V = π 3

( )

4.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球 面上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8
2

.

解:令球的半径为 R ,六棱柱的底面边长为 a ,高为 h ,显然有 a + ( ) = R ,且
2

h 2

3 2 9 a = 1 4 4 a ×h = V = 6 × 2 R = 1 V = π R3 = π 4 8 3 3 h = 3 6a = 3
5.经过圆 x 2 + 2 x + y 2 = 0 的圆心 C ,且与直线 x + y = 0 垂直的直线方程是 . 【解析】易知点 C 为 (1, 0) ,而直线与 x + y = 0 垂直,我们设待求的直线的方程为

y = x + b ,将点 C 的坐标代入马上就能求出参数 b 的值为 b = 1 ,故待求的直线的方程为 D1 C1 x y +1 = 0 . 三,解答题 A1 B1 1. 如图,在直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中,已知 DC = DD1 = 2 AD = 2 AB , AD ⊥ DC,AB ‖ DC .
(1)求证: D1C ⊥ AC1 ; (2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,

D A B

C

D1
使 D1 E ‖ 平面 A1 BD ,并说明理由. (1)证明:在直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中, 又 AD ⊥ DC , AD ⊥ DD1,DC ⊥ DD1 = D , 连结 C1 D ,

C1 B1

A1

∵ DC = DD1 ,∴ 四边形 DCC1 D1 是正方形.∴ DC1 ⊥ D1C .
∴ AD ⊥ 平面 DCC1 D1 , D1C 平面 DCC1 D1 , ∴ AD ⊥ D1C .

∵ AD,DC1 平面 ADC1 ,且 AD ⊥ DC = D ,∴ D1C ⊥ 平面 ADC1 ,
又 AC1 平面 ADC1 ,∴ D1C ⊥ AC1 . (2)连结 AD1 ,连结 AE ,设 AD1 ∩ A1 D = M , D A C B

BD ∩ AE = N ,连结 MN , ∵ 平面 AD1 E ∩ 平面 A1 BD = MN ,
要使 D1 E ‖ 平面 A1 BD ,须使 MN ‖ D1 E , 又 M 是 AD1 的中点.∴ N 是 AE 的中点. 又易知 △ ABN ≌△EDN ,∴ AB = DE . 即 E 是 DC 的中点. 综上所述,当 E 是 DC 的中点时,可使 D1 E ‖ 平面 A1 BD .

D1 A1

C1 B1

M

2.如图, A B,C,D 为空间四点.在 △ ABC 中, ,

D A

E

C

AB = 2,AC = BC = 2 .等边三角形 ADB 以 AB 为轴运动. (Ⅰ)当平面 ADB ⊥ 平面 ABC 时,求 CD ; (Ⅱ)当 △ ADB 转动时,是否总有 AB ⊥ CD ?
证明你的结论. 解: (Ⅰ)取 AB 的中点 E ,连结 DE,CE , 因为 ADB 是等边三角形,所以 DE ⊥ AB . 当平面 ADB ⊥ 平面 ABC 时, 因为平面 ADB ∩ 平面 ABC = AB , 所以 DE ⊥ 平面 ABC ,可知 DE ⊥ CE 由 已 知 可 得 DE =
2 2

D

B

A B D C

3,EC = 1 , 在 Rt△DEC 中 ,
A

CD = DE + EC = 2 . E (Ⅱ)当 △ ADB 以 AB 为轴转动时,总有 AB ⊥ CD . C 证明: (ⅰ) D 在平面 ABC 内时, 当 因为 AC = BC,AD = BD , B 所以 C,D 都在线段 AB 的垂直平分线上,即 AB ⊥ CD . (ⅱ) D 不在平面 ABC 内时, (Ⅰ) AB ⊥ DE . 当 由 知 又因 AC = BC , 所以 AB ⊥ CE . 又 DE,CE 为 相 交 直 线 , 所 以 AB ⊥ 平 面 CDE , 由 CD 平 面 CDE , 得 AB ⊥ CD .综上所述,总有 AB ⊥ CD .
3.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x 2 + y 2 12 x + 32 = 0 的圆心为 Q ,过点 P (0, 2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A B .求 k 的取值范围 , 解: 圆的方程可写成 ( x 6) 2 + y 2 = 4 ,所以圆心为 Q (6, ,过 P (0, 0) 2)

且斜率为 k 的直线方程为 y = kx + 2 .代入圆方程得 x + ( kx + 2) 12 x + 32 = 0 ,
2 2

整理得 (1 + k ) x + 4(k 3) x + 36 = 0 .直线与圆交于两个不同的点 A B 等价于 ,
2 2

= [4(k 3)2 ] 4 × 36(1 + k 2 ) = 42 (8k 2 6k ) > 0 , 3 3 解得 < k < 0 ,即 k 的取值范围为 , . 0 4 4 4.如图,在三棱锥 S ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ∠BAC = 90° O 为 BC 中点. , (Ⅰ)证明: SO ⊥ 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A SC B 的余弦值. 证明: (Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC = SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形, 2 所以 OA = OB = OC = SA ,且 AO ⊥ BC , 2 又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ⊥ BC , 2 且 SO = SA ,从而 OA2 + SO 2 SA2 . 2 B 所以 △SOA 为直角三角形, SO ⊥ AO . 又 AO ∩ BO = O .所以 SO ⊥ 平面 ABC . (Ⅱ)解法一:取 SC 中点 M ,连结 AM,OM , 由(Ⅰ)知 SO = OC,SA = AC ,得 OM ⊥ SC,AM ⊥ SC . ∴ ∠OMA 为二面角 A SC B 的平面角. 由 AO ⊥ BC,AO ⊥ SO,SO ∩ BC = O 得 AO ⊥ 平面 SBC .
所以 AO ⊥ OM ,又 AM =

S

O B S A

C

M C A

O

3 AO SA ,故 sin ∠AMO = = 2 AM 3 . 3

2 6 = . 3 3

所以二面角 A SC B 的余弦值为

5.已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6,高为4的等腰三角形. (1)求该儿何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S 【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. (1) V = 64 (2) S = 40 + 24 2

6.在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限,半径为 2 2 的圆C与直线 y = x 相切 于坐标原点0.求圆C的方程. 【解析】(1)设圆的方程为 ( x s ) + ( y t ) 2 = 8 依题意 s 2 + t 2 = 8 ,

| s t | = 2 2 , s < 0, t > 0 2

解得 s = 2, t = 2 ,故所求圆的方程为 ( x + 2) + ( y 2) = 8
2

7.如图,在四棱锥 P ABCD 中,平面 PAD ⊥ 平面 ABCD , AB ‖ DC , △PAD 是 等边三角形,已知 BD = 2 AD = 8 , AB = 2 DC = 4 5 . (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD ⊥ 平面 PAD ; (Ⅱ)求四棱锥 P ABCD 的体积. (Ⅰ)证明:在 △ ABD 中,由于 AD = 4 , BD = 8 , AB = 4 5 , 所以 AD 2 + BD 2 = AB 2 .故 AD ⊥ BD . 又平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD ∩ 平面 ABCD = AD , BD 平面 ABCD ,所以 BD ⊥ 平面 PAD , 又 BD 平面 MBD ,故平面 MBD ⊥ 平面 PAD . (Ⅱ)解:过 P 作 PO ⊥ AD 交 AD 于 O , 由于平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ,所以 PO ⊥ 平面 ABCD . 因此 PO 为四棱锥 P ABCD 的高, 又 △PAD 是边长为 4 的等边三角形.因此 PO = A P M D C B

P M A D O C B

3 ×4 = 2 3. 2 在底面四边形 ABCD 中, AB ‖ DC , AB = 2 DC ,
所以四边形 ABCD 是梯形,在 Rt△ ADB 中,斜边 AB 边上的高为 此即为梯形 ABCD 的高,所以四边形 ABCD 的面积为 S = 故 VP ABCD =

4×8 8 5 = , 5 4 5

2 5+4 5 8 5 × = 24 . 2 5

1 × 24 × 2 3 = 16 3 . 3 8 . 如图,已知四棱锥 P ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ⊥ 平面 P ABCD , ∠ABC = 60 , E,F 分别是 BC,PC 的中点. (Ⅰ)证明: AE ⊥ PD ; F (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 A 6 B ,求二面角 E AF C 的余弦值. E C 2 解: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC = 60 ,可得 △ ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ⊥ BC .又 BC ‖ AD ,因此 AE ⊥ AD . 因为 PA ⊥ 平面 ABCD , AE 平面 ABCD ,所以 PA ⊥ AE . 而 PA 平面 PAD , AD 平面 PAD 且 PA ∩ AD = A , 所以 AE ⊥ 平面 PAD .又 PD 平面 PAD ,所以 AE ⊥ PD . (Ⅱ)解:设 AB = 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ⊥ 平面 PAD ,则 ∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. P 在 Rt△EAH 中, AE = 3 ,所以当 AH 最短时, ∠EHA 最大, 即当 AH ⊥ PD 时, ∠EHA 最大. H F AE 3 6 S 此时 tan ∠EHA = = = , AH AH 2 A 因此 AH = 2 .又 AD = 2 ,所以 ∠ADH = 45 ,所以 PA = 2 .
B E O C

D

D

解法一:因为 PA ⊥ 平面 ABCD , PA 平面 PAC , 所以平面 PAC ⊥ 平面 ABCD .过 E 作 EO ⊥ AC 于 O ,则 EO ⊥ 平面 PAC , 过 O 作 OS ⊥ AF 于 S ,连接 ES ,则 ∠ESO 为二面角 E AF C 的平面角,

3 3 , AO = AE icos 30 = , 2 2 3 2 又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ ASO 中, SO = AO isin 45 = , 4 3 9 30 2 2 + = , 又 SE = EO + SO = 4 8 4 3 2 15 SO 15 在 Rt△ESO 中, cos ∠ESO = ,即所求二面角的余弦值为 . = 4 = 5 SE 5 30 4 9.在四面体 ABCD 中,CB=CD, AD ⊥ BD ,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点, 求证(I)直线 EF 面ACD ; (II) 面EFC ⊥ 面BCD . B 证明: (I)E,F 分别为 AB,BD 的中点 EF AD
在 Rt△ AOE 中, EO = AE isin 30 =

AD 面ACD EF 面ACD . EF 面ACD EF AD

F

D

E

C A CD = CB (II) CF ⊥ BD BD ⊥ 面EFC F 为BD的中点 EF ∩ CF = F 又 BD 面BCD ,所以 面EFC ⊥ 面BCD 10.设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ( x) = x 2 +2 x + b( x ∈ R ) 的图象与坐标轴有三

EF AD EF ⊥ BD AD ⊥ BD

个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (1) 求实数 b 的取值范围; (2) 求圆 C 的方程; (3) 问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 解析】 【解析】本小题考查二次函数图象与性质,圆的方程的求法. (1)

>0 b < 1且b ≠ 0 f (0) ≠ 0

(2)设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 . 令 x 2 + Dx + F = 0 D = 2, F = b y = 0 得 x 2 + Dx + F = 0 D = 2, F = b 又 x = 0 时 y = b ,从而 E = b 1 .

所以圆的方程为 x + y + 2 x (b + 1) y + b = 0 .
2 2

(3) x + y + 2 x (b + 1) y + b = 0 整理为 x + y + 2 x y + b(1 y ) = 0 ,过曲线
2 2 2 2

C ′ : x 2 + y 2 + 2 x y = 0 与 l :1 y = 0 的交点,即过定点 (0,1) 与 ( 2,1) .
11.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图 和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该 多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连 结 BC ' ,证明: BC ' ‖面 EFG.
D' G F B'
4 2

C'
2

6

2

E D A B C
4

正侧侧

侧侧侧

【试题解析】(1)如图

(2)所求多面体的体积

1 1 284 V = V长方体 V正三棱锥 = 4 × 4 × 6 × × 2 × 2 × 2 = ( cm3 ) 3 2 3

(3)证明:如图,在长方体 ABCD A B C D 中,连接 AD ,则 AD ‖ BC 因为E,
' ' ' '

'

'

'

G分别为 AA , A D 中点,所以 AD ‖ EG ,从而 EG ‖ BC ,又 BC 平面EFG , 所
' ' ' ' '

'

以 BC ‖平面EFG 12.已知 m∈R,直线 l: mx ( m + 1) y = 4m 和圆 C: x + y 8 x + 4 y + 16 = 0 . (1)求直线 l 斜率的取值范围; (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 1 的两段圆弧?为什么? 2
2 2 2

'

m 4m m x 2 ,此时斜率 k = 2 m +1 m +1 m +1 m 1 2 1 因为 m ≤ ( m + 1) ,所以 k = 2 ≤ ,当且仅当 m = 1 时等号成立 2 m +1 2 1 1 所以,斜率 k 的取值范围是 , ; 2 2 1 (2)不能.由(1知 l 的方程为 y = k ( x 4 ) ,其中 k ≤ ;圆C的圆心为 C ( 4, 2 ) , 2 2 1 4 r 半径 r = 2 ;圆心C到直线 l 的距离 d = ,由 k ≤ ,得 d ≥ > 1 ,即 d > , 2 2 2 5 1+ k 2π 从而,若 l 与圆C相交,则圆C截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 ,所以 l 不能将圆 3 1 C分割成弧长的比值为 的两端弧; 2 13.如图 5 所示,四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径, ∠ABD = 60 , ∠BDC = 45 , PD 垂直底面 ABCD , PD = 2 2 R , PE DF P E,F 分别是 PB,CD 上的点,且 = ,过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于 G . EB FC (2)证明: △EFG 是直角三角形; (1)求 BD 与平面 ABP 所成角 θ 的正弦值; E G PE 1 (3)当 = 时,求 △EFG 的面积. EB 2 A
【试题解析】 (1)直线 l 的方程可化为 y =
2

D

【解析】 (1)在 Rt BAD 中,∵ ∠ABD = 60 ,∴ AB = R, AD = 而 PD 垂直底面 ABCD, PA =
2 2 2

3R
2

F B C 图5

PD + AD = (2 2 R) + ( 3R) = 11R

PB = PD 2 + BD 2 = (2 2 R)2 + (2 R)2 = 2 3R ,
在 PAB 中, PA2 + AB 2 = PB 2 ,即 PAB 为以 ∠PAB 为直角的直角三角形. 设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,由 VP ABD = VD PAB 有 PAi AB i H = AB i AD i PD ,即

ADi PD 3R i2 2 R 2 66 H 66 = = R sin θ = = ; PA 11 BD 11 11R PE PG PE DF PG DF (2) EG / / BC ,∴ = ,而 = ,即 = ,∴ GF / / PD ,∴ GF ⊥ BC , EB GC EB FC GC DC H=

∴ GF ⊥ EG ,∴EFG 是直角三角形; PE 1 EG PE 1 GF CF 2 (3) = 时 = = , = = , EB 2 BC PB 3 PD CD 3 1 1 2 2 2 4 2 R, GF = PD = × 2 2 R = R, 即 EG = BC = × 2 R × cos 45° = 3 3 3 3 3 3 1 1 2 4 2 4 ∴EFG 的面积 S EFG = EG iGF = × R× R = R2 2 2 3 3 9

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