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一道平面几何题的十种证法


一道平面几何题的十种证法 题目:如图 1,△ABC 中,D、F 在 AB 上,AD=BF,过 D 作 DE∥BC,交 AC 于 E,过 F 作 FG∥BC 交 AC 于 G. 求证 :BC=DE+FG. 分析:证明一条线段等于另外两条线段的和,常用的方法是将线段的位置平移: (1)延长较短线段与较长线段相等; (2)在较长线段上截取与较短线段相等的线段; (3)将线段适当移动位置后进行比较; (4)采用其它比较方法,如解析法,三角法,面积法等. 一、延长较短线段与较长线段相等 解法 1 如图 2,延长 FG 到 H,使 FH 等于 BC,连结 CH.(关键证 GH=DE 即 可). 由作法知 FH 平行且等于 BC FBCH 是平行四边形 CH=BF. 在△ADE 和△CHG 中,CH=BF=AD. 由 CH∥AB ∠A=∠2,又∠1=∠B,∠H=∠B,所以 ∠1=∠H.∴△ADE≌△CHG,则 DE=GH, 故 BC=FG+GH=DE+FG. 证法 2 如图 3,仍延长 FG 到 H,使 GH=DE,连结 CH. (关键证 BC=FH). 由 DE∥BC∥FG ∠1=∠2=∠3. 又 AD=FB,所以 AE=GC. ∴△ADE≌△CHG,(SAS) ∴∠A=∠GCH AB∥CH. ∴四边形 FBCH 是平行四边形,所以,BC=FH, ∴BC=DE+FG. 证法 3 如图 4,延长 DE 到 H,使 DH=BC,连结 CH. (关键证 FG=EH). 由 DBCH 及 DH=BC. 再△AFG≌△CHE,得 FG=EH. 二、恰当地将线段平移 证法 4 如图 5 找 EG 的中点 K,连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H,可证得 △DEK≌△HGK DE=GH. ∠A=∠GCH 再证得 △ADE≌△CHG,(或证△ADK≌△CHK) ∴BC=GH+FG=DE+FG. 证法 5 如图 6. 过 D 作 DH∥AC 交 BC 于 H, 则 DE=HC. 不难证得△AFG≌△DBH, 可得 FG=BH, ∴BC=BH+HC=DE+FG. 证法 6 如图 7 过 F 作 FH∥AC 交 BC 于 H(或在 BC 上截取 CH=FG). 三、在较长的线段上截取较短的线段 证法 7 如图 8 在 BC 上截取 BH=DE.不难得出△ADE≌△FBH.则 ∠1=∠2=∠3 FH∥AC FG=HC. (同理可在 BC 上截取 BH=FG.再证 HC=DE) 四、利用梯形或三角形的中位线定理 题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和, 可猜想通过梯形 DFGE 的中位线沟通两者之间的关系. 证法 8 如图 9. 又 AD=FB,由平行截割定理得 MN 也是△ABC 的中位线, 五、利用相似三角形的性质和比例的性质 题中要证的边实质是相似三角形的对应边,因此,可从相似三角形的对应边成比 例和比例的基本性质入手证明. 证法 9 如图 1. 又 AD=BF,所以,AD+AF=AD+DB=AB. 即 BC=DF+FG. 六、其它线段变换 证法 10 如图 10. 作 AH⊥DE 于 H,作 FP⊥BC 于 P,作 GQ⊥BC 于 Q.易证 △ADH≌△FBP, △AHE≌△GQC. DH+HE=BP+QC, 又 FG=PQ. 则 BC=PQ+BP+QC=FG+DH+HE, 即 BC=DE +FG. 新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

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