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东三校2015年高三第二次联合模拟考试理数


三校联考二模

理科数学答案 2015.4

一、选择题: BABBA 二、填空题: 13. 16

DCDBB

DA

14. 6826

15. 3 7

16.

[2 6 ? 2 2 , 2 6 ? 2

2 ]

三.解答题: 17.解:(Ⅰ) 由题设 Sn ? 2an ? 2n n ? N 两式相减得 an ? 2an?1 ? 2 , 即 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) . 又 a1 ? 2 ? 4 , 所以 ?an ? 2? 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列 ……4 分

?

?

?,S

n?1 ? 2an?1 ? 2(n ?1)

(n ? 2)
……2 分

an ? 2 ? 4 ? 2n?1 , .
an ? 4 ? 2n?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2(n ? 2)
又 a1 ? 2 ,所以 an ……6 分

? 2n?1 ? 2(n ? N * )

(Ⅱ)因为 bn ? log2 (an ? 2) ? log2 (2n?1 ) ? n ? 1 ,

1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2
所以 Tn ? ( ? ) ? ( ? ) ?

……8 分

1 1 3 4 1 依题意得: a ? 2

1 1 2 3

?(

1 1 1 1 1 ? )? ? ? , n ?1 n ? 2 2 n?2 2

……10 分 ……12 分

18.解: (Ⅰ)由已知可得:下面 2 ? 2 列联表:

青年人 经常使用微信 不经常使用微信 合计 80 55 135

中年人 40 5 45

合计 120 60 180 ……4 分

(Ⅱ)将列联表中数据代入公式可得:

K2 ?

180(80? 5 ? 40? 55) 2 40 ? ? 13.333 ? 10.828 135? 45?120? 60 3
……8 分

所以有 99 ﹪的把握认为经常使用微信与年龄有关.

(III)从该市微信用户中任取一人,取到经常使用微信的中年人的概率为 依题意: X ~ B (3, )

40 2 ? 180 9

2 9

所以: E ( X ) ? 3 ?

2 2 ? 9 3

……12 分

19.解: (1)取 AC 中点 O ,连 OB . 在平面 ACC1 A1 上过 O 作 AC 垂线交 A1C1 于 N .

? 平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC .? ON ? 平面 ABC
如图:以 O 为坐标原点,建立空间直角坐标系 由已知: A?2,0,0? B 0,2 3,0

?

?

C ?? 2,0,0? A1 ?2,0,5? B1 0,2 3,5 C1 ?? 2,0,5?
……3 分

?

?

M 0,2 3, m
?

?

?

设 n ? ?x, y, z ? 为平面 A1 MC 法向量

? n ? A1C ? ?x, y, z ? ? ?? 4,0,?5? ? ?4 x ? 5z ? 0 ? n ? CM ? ?x, y, z ? ? 2,2 3, m ? 2x ? 2 3 y ? mz ? 0
取 x ? 5 3, z ? ?4 3, y ? 2m ? 5 即: n ? 5 3,2m ? 5,?4 3

?

?

?

?

?

又 m ? ?0,1,0? 为平面 ACC1 A1 法向量 依题意: m ? n ? 2m ? 5 ? 0

?

? ?

?m ?

5 2
……8 分

? M 为棱 BB1 的中点
(2)由(1)知: n ? 5 3,2m ? 5,?4 3 为平面 A1 MC 法向量 又 a ? ?0,0,1? 为平面 ABC 法向量

?

?

?

?

? ? ?cos ? a, n ??

?4 3 25? 3 ? 16 ? 3

?

? 4 41 41
4 41 . 41
……12 分

? 平面 A1 MC 与平面 ABC 所成锐二面角余弦值为

20.解(1)设直线 的方程为: y ? ? x ? b ,将它代入 C : y ? 4x 得: x ? 2(b ? 2) x ? b ? 0 ,
2

2

2

当 ? ? 16(b ? 1) ? 0 时,令

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? 2(b ? 2), x1 x2 ? b2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2b ? ?2(b ? 2) ? 2b ? ?4 ,……3 分

2 y ? y2 ? y p ? ?2 y ? 2, xp ? 1 因为. ?PAB 重心的纵坐标为 3 .所以 1 ,所以, p . ?

k1 ? k2 ?

y1 ? 2 y2 ? 2 ( y1 ? 2)( x2 ? 1) ? ( y2 ? 2)( x1 ? 1) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ,

( y1 ? 2)( x2 ?1) ? ( y2 ? 2)( x1 ?1)
? [? x1 ? (b ? 2)]( x2 ? 1) ? [? x2 ? (b ? 2)]( x1 ? 1) ? ?2 x1 x2 ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? 2(b ? 2) ? ?2b2 ? 2(b ? 1)(b ? 2) ? 2(b ? 2) ?0
所以:

k1 ? k2 ? 0 .

……6 分

(2)

x1 ? x2 ? 2 1 1 1 1 2(b ? 3) ? ? ? ? FA FB x1 ? 1 x2 ? 1 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? b 2 ? 2b ? 5



……8 分

由 ? ? 16(b ? 1) ? 0 得 b ? ?1 ,又 不过 P 点,则 b ? 3 . 令 t ? b ? 3 ,则 t ? 2 且 t ? 6 .

1 1 2t ? ? 2 FA FB (t ? 3) ? 2(t ? 3) ? 5


2t t ? 4t ? 8 2 ? 8 (t ? ) ? 4 t 2 ? 8 2 t? ?4 t ?
2

?
t?


2 ?1 2

1 1 8 2 ?1 ? t ,即 t ? 2 2 , b ? 2 2 ? 3 时, FA FB 的最大值为 2 .……12 分
4a ? 3 6x 2

21.解:(1) f ?? x ? ? e

x ?1

?

依题意得: f ??1? ? ? ? 解得: a ? 1

? 1? ? 1? ? ? ?1 ? ?4a ? 3?? ? ? ? ? ?1 ? 2? ? 2?
……3 分

3 1 x ?1 时: f ? x ? ? e ? 4 x 1 ? f ?? x ? ? e x ?1 ? 2 x 2 ? f ???x ? ? e x ?1 ? 3 ? 0 对 x ? ?1,??? 成立 x
(2)当 a ? ? 即: f ?? x ? 在 ?1,??? 上为增函数

又 f ??1? ? 0 ,故 f ??x ? ? 0 对 x ? ?1,??? 成立

? f ?x ? 在 ?1,??? 上为增函数

……6 分

(2)? x ? 1

? 由 f ?x ? ? g ?x ? 得:
1 1 1 2 x ? e x ?1 ? ax 3 ? x 2 ? ?a ? 1?x ? ? a ? 0 3 2 2 3 1 3 1 2 1 2 x ?1 设 h?x ? ? x ? e ? ax ? x ? ?a ? 1?x ? ? a 3 2 2 3

?x ? 1?

……8 分

? h??x? ? ?x ? 1?e x?1 ? ax2 ? x ? a ? 1 ? ?x ? 1? e x?1 ? a?x ? 1? ? 1
设 k ?x ? ? e
x ?1

?

?

?x ? 1?

? a?x ? 1? ? 1

?x ? 1?

? k ??x? ? e x?1 ? a
①当 a ? 1 时: k ??x ? ? o 对 x ? ?1,??) 成立 又 k ?1? ? 0 故 k ?x ? ? o 即: h??x ? ? 0 又 h?1? ? 0 故 h?x ? ? 0 ……10 分

②当 a ? 1 时:由 k ??x ? ? 0 得 x ? 1 ? ln a ? 1 当 x ? ?1,1 ? ln a ? 时: k ??x ? ? 0 又 k ?1? ? 0 故: k ?x ? ? 0 即: h??x ? ? 0 又 h?1? ? 0 故 h?x ? ? 0 这与已知不符 ……12 分

综上所述:实数 a 的取值范围为 ?? ?,1?

22.解: (1)证明:由 ?ACE ∽ ?BCA ,得

CE AE ? , CE ? AB ? AE ? AC AC AB

……5 分

(2) 证明:

CD 平分 ?ACB , ??ACF ? ?BCD

AC 为圆的切线,??CAE ? ?CBD

??ACF ? ?CAE ? ?BCD ? ?CBD ,
即 ?AFD ? ?ADF ,所以 AF =AD

?ACF ∽ ?BCD CF AF AD 1 ? ? ? ? ,? CF ? DF CD BD BD 2

……10 分

23.解: (Ⅰ)由题意知: ?

? x ? ? cos? , ?m ? ? cos(? ? ?0 ), 和? ? y ? ? sin ? , ?n ? ? sin(? ? ?0 ).

即?

?m ? ? cos? cos?0 ? ? sin ? sin ?0 , ?n ? ? sin ? cos?0 ? ? cos? sin ?0 ,
?m ? x cos?0 ? y sin ?0 , ?n ? x sin ?0 ? y cos?0 .
2 x? 2 2 x? 2 2 y, 2 2 y, 2
……5 分

所以 ?

? ?m ? ? (Ⅱ)由题意知 ? ?n ? ? ?
所以 (

2 2 2 2 x? y)( x? y) ? 2 . 2 2 2 2
x2 y2 ? ?1. 2 2
……10 分

整理得

24.解: (1)证法一:

?
?3

a? b? c

?

2

? (a ? b ? c) ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? (a ? b ? c) ? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)

? a? b? c? 3
证法二:

……5 分

由柯西不等式得:

?

a? b? c

?

2

? (12 ? 12 ? 12 )[( a ) 2 ? ( b ) 2 ? ( c ) 2 ] ? 3

,

? a ? b? c ? 3.
(2)证法一:

4 4 ? (3a ? 1) ? 2 (3a ? 1) ? 4, 3a ? 1 3a ? 1 4 ? ? 3 ? 3a 3a ? 1
4 4 ? 3 ? 3b, ? 3 ? 3c 3c ? 1 同理得 3b ? 1 ,
以上三式相加得,

1 1 1 4( ? ? ) ? ? 9 a 3? ( b?c ? ) 6 3a ? 1 b 3 ? 1 c3 ? 1 , ?
证法二: 由柯西不等式得:

1 1 1 3 ? ? ? 3a ? 1 b 3 ? 1 c3 ? 1 .2

……10 分

1 1 1 ? ? ) 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 1 1 1 ? ( 3a ? 1 ? ? 3b ? 1 ? ? 3c ? 1 ? )2 ? 9 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 [(3a ? 1) ? (3b ? 1) ? (3c ? 1)](
? 1 1 1 3 ? ? ? 3a ? 1 3b ? 1 3c ? 1 2 .


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