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福建省福州市第八中学2016届高三数学第六次质量检测试题 文


福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第六次质量检查 数学(文)试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 2016.2.15 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的 1.设集合 A ? {x | y ? 2 ? x} , B ? { y | y ? ln(3

? x)} ,则 A ? B ? A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 3} C. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | 2 ? x ? 3} 2.已知复数 z ? x ? yi ( x、y ? R) ,且有

x ? 1 ? yi ,则 z ? 1? i
D. 3

A.5 B. 5 C. 3 3.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则 A. a=3 B. a=4 C. a=5 D. a=6 4.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) sin x ,则下列说法 正确的为 A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? B. f ( x ) 的最大值为 2 C. f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? D.将 f ( x ) 的图象向右平移

?
8

对称

? 1 ,再向下平移 个单位长度后会得到一个奇函数的图象 8 2
“ ”,那么 成立是 成立的 B.必要不充分条件 D.既不充分又非必要条件 D.3

5.已知 “ 成等比数列”, A.充分不必要条件 C.充要条件

6.函 数 f ( x) ?| x ? 2 | ? ln x 在定义域内的零点的个数为 A.0 B.1 C. 2

?x ? y ? 2 ? 7.已知 O 是坐标原点,点 A? ?11 , ? ,若点 M ? x,y ? 为平面区域 ? x ? 1 上的一个 ?y ? 2 ? ??? ? ???? ? 动点,则 OA ? OM 的取值范围是 A. ? ?1,0? B. ?0,1? C. ? 0, 2? D. ? ?1, 2?
8.若点 P 是曲线 y=x ﹣lnx 上任意一点,则点 P 到直线 y=x﹣2 的最小距离为 A. B.1 C. 9.某几何体的三视图如图所示,它的表面积为 1
1 正视图 侧视图
2

D.2

1

? 4 7? C. 8
A. 10.已知椭圆

B.

5? 4

D. ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? 1有 和双曲线 3m 2 5n 2 2m 2 3n 2
B. y ? ?

公共焦点,则双曲线的渐近线方程是

15 x 2 3 D. y ? ? x 4 2 ? ?ax ? 2 x ? 1, ? x ? 0 ? 11.已知函数 f ? x ? ? ? 有 3 个零点,则实数 a 的取值范围是 ? ?ax ? 3, ? x ? 0 ? A. a ? 1 B. a ? 0 C. a ? 1 D. 0 ? a ? 1 f ( x) ?0, 12.已知定义域为 R 的奇函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? x 若 a ? sin 1? f (sin1) , b ? ?3 f (?3) , c ? ln 3 f (ln 3) ,则下列关于 a , b, c 的大小关系正确
A. x ? ? 的是 A. b ? c ? a B. a ?? c ? b C. c ? b ? a D. b ? a ? c

15 y 2 3 C. x ? ? y 4

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22~第 23 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.在△ABC 中,AC=
2

,BC=2,B=60°,则△ABC 的面积等于
2



x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 右支上的一点, 其右焦点为 F2 , 若直线 PF2 2 a b 的斜率为 3 , M 为线段 PF2 的中点, 且 | OF2 |?| F2 M | , 则该双曲线的离心率为 . a ? an a ? 2 , 则 n 的最小值为 15.已知数列 {an } 满足 a1 ? 15 , n ?1 . n n 16 . 函 数 f ? x ? ? x3 ? 3x ?1 , 若 对 于 区 间 ? ?3, 2? 上 的 任 意 x1 , x2 , 都 有
14. 点 P 为双曲线

| f ? x1 ? ? f ? x2 ? |? t ,则实数 t 的最小值是



三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)
2

在△ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 4sin (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值. 18. (本小题满分 12 分)

+4sinAsinB=2+



2

为了解某省高中学校办学行为规范情况,从该省高中学校中随机抽取 100 所进行评估, 并依据得分(最低 60 分,最高 100 分,可以是小数)将其分别评定为 A、B、C、D 四个等 级,现将 抽取的 100 所各学校的评估结果统计如下表: 评估得分 评定等级 频率 [60,70) D [70,80) C 0.62 [80,90) B 0.32 [90,100 ] A 2m

m

(Ⅰ)求根据上表求 m 的值并估计这 100 所学校评估得分的平均数; (Ⅱ)从评定等级为 D 和 A 的学校中,任意抽取 2 所,求抽取的两所学校等级相同的概 率. 19. (本小题满分 1 2 分) 已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,底面三角形 ABC 为正三角形,

E 为 AA1 的中点, 侧棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? 2 , AA 1 ?4,

F 为 BC 中点.
(1)求证:直线 AF//平面 BEC1 ; (2)求点 C 到平面 BEC1 的距离. 20. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 E: + =1(a>b>0)经过点 .

A(0,﹣1) ,且离心率为

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交 于不同的两点 P,Q(均异于点 A) ,证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为定值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2ax . (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 f ( x) 在区间 [1, ??) 上的最小值为 0,求 a 的值. (3)若对于任意 x ? 0 , f ( x) ? e 恒成立,求 a 的取值范围.
?x

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请 写清题号 22. ( 本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 为参数) .以 O 为极点,x 轴
3

的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ?| x ?1| ? | x ? a | . (1)若 a=2,解不等式 f ? x ? ? 2 ; (2)若 a>1,任意 x ? R, f ? x ? ? | x ?1|? 1 ,求实数 a 的取值范围. ,射线 OM:θ = 与圆 C 的交

4

福州八中 2015—2016 学年高三毕业班第六次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准 1.A 2.B 3.A 4.C 5.D 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D 11.D 12.A 13. 14.

1 ( 3 ? 1) 2

15.

27 4

16.20

17 . 解 析 : 解 :( Ⅰ ) △ABC ∴4× +4sinAsinB=2+

中 , ∵4sin , ,

2

+4sinAsinB=2+



∴﹣2cosAcosB+2sinAsinB= ∴cosC= ,∴C= .

,即 cos(A+B)=﹣

(Ⅱ)已知 b=4,△ABC 的面积为 6= ab?sinC= a×4×

,∴a=3



∴c= = = . m ? 2 m ? 0.62 ? 0.32 ? 1 1 8.解(Ⅰ)由上表知: ? m ? 0.02 ??????????? ???????????2 分 设 100 所学校评估得分的平均数为 x ,则

x ? 65 ? 0.02 ? 75 ? 0.62 ? 85 ? 0.32 ? 95 ? 0.04 ? 78.8 分. ???????5 分 (Ⅱ)由(1)知等级为 A 的学校有 4 所记作: x1 , x2 , x3 , x4 ;等级为 D 的学校有 2 所记作:

y1 , y2 从 x1 , x2 , x3 , x4 , y1, y2 中 任取两所学校取法有 ?x1, x2? 、? x1 , x3? 、?x1, x4? 、?x2 , x3? 、

?x2 , x4? 、?x3 , x4? 、?x1 , y1? 、?x1, y2? 、?x2 , y1? 、?x2 , y2? 、?x3 , y1? 、?x3 , y2? 、?x4 , y1? 、 ?x4 , y2? 、 ? y1, y2? 共 15 种. ???????????????????9 分
记事件 E 为”从 x1 , x2 , x3 , x4 , y1 , y2 中任取两所学校其等级相同”,则事件 E 包含的基本事 件有 ?x1, x2? 、 ? x1 , x3? 、 ?x1, x4? 、 ?x2 , x3? 、 ?x2 , x4? 、 ?x3 , x4 ? 、 ? y1, y2 ? 共 7 个 故 P( E ) ?

7 .?????????????????????????????12 分 15 19.解析: (1)证明:取 BC1 的中 点为 R ,连接 RE , RF , 则 RF//CC1,AE//CC1,且 AE ? RF , ∴四边形 AFRE 为平行四边形, 则 AF//RE 即 AF//平面 REC1 .
(2)由等体积法得 VC ? BEC1 ? VE ?BCC1 ,

1 1 BC ? CC1 ? ? 2 ? 4 ? 4 , AF ? 3 , 2 2 1 4 3 ∴ VE ? BCC1 ? S?BCC1 ? RE ? . 3 3 ∵ BE ? 2 2 , EC1 ? 2 2 , BC1 ? 2 5 .
∵ S?BCC1 ?
5

∴ S ?BEC1 ? ∴ S?BEC1

1 3

1 ? 2 5 ? (2 2) 2 ? ( 5) 2 ? 15 , 2 1 1 4 3 4 5 ? h ? S?BCC1 ? RE ,即 ? 15h ? ,解得 h ? . 3 3 3 5
,b=1,
2

20.解析:解: (Ⅰ)由题设知, = 结合 a =b +c ,解得 a= 所以 +y =1;
2 2 2



(Ⅱ)证明:由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) , 代入椭圆方程
2 2

+y =1,

2

可得(1+2k )x ﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0, 由已知得(1,1)在椭圆外, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,x1x2≠0, 则 x1+x2=
2 2

,x1x2=
2



且△=16k (k﹣1) ﹣8k(k﹣2) (1+2k )>0,解得 k>0 或 k<﹣2. 则有直线 AP,AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= = + =2k+(2﹣k) ( + + )=2k+(2﹣k) ?

=2k+(2﹣k) ?

=2k﹣2(k﹣1)=2.

即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

? 21.解析: (1)当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? e ? 2a ? 0 , f ( x) 在 R 上单调递增;
x
x ? n (2 ? )a , 当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 2a , 令 e ? 2a ? 0 , 得x?l 所以, 当 x ? (??, ln(?2a))

x

? ? 时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;当 x ? (ln(?2a), ??) 时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单 调递增.
(2)由(1)可知,当 a ? 0 时,函数 f ( x) ? e ? 2ax ? 0 ,不符合题意.
x

? ? 当 a ? 0 时, f ( x) ? e ? 2a ,因为,当 x ? (??, ln(? 2a ))时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单 调递减;
x

? 当 x ? (ln(?2a), ??) 时, f ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单 调递增.

e ? ?a?0 ①当 ln(?2a) ? 1 ,即 2 时, f ( x) 最小值为 f (1) ? 2a ? e . e a?? 2 ,符合题意. 解 2a ? e ? 0 ,得 e a?? 2 时, f ( x) 最小值为 f (ln(?2a)) ? ?2a ? 2a ln(?2a) . ②当 ln(?2a) ? 1 ,即
解 ?2a ? 2a ln(?2a) ? 0 ,得
x

a??
?x

e e a?? 2 ,不符合题意.综上, 2.

(3)构建新函数 g ( x) ? e ? e

? 2ax , g?( x) ? ex ? e? x ? 2a .
6

x ?x ? ①当 2a ? ?2 , 即 a ? ?1 时, 因为 e ? e ? 2 , 所以 g ( x) ? 0 . (且 a ? ?1 时, 仅当 x ? 0

? 时, g ( x) ? 0 . )

所 以 g ( x) 在 R 上 单 调 递 增 .又 g (0) ? 0 , 所 以 , 当 a ? ?1 时 , 对 于任意 x ? 0 都 有

g ( x ) ? 0. (10 分)
② 当

a ? ?1 时 , 解 ex ? e? x ? 2a ? 0

, 即

(ex 2 ) ? aex2? ?

1, 得 0

?a ? a2 ?1 ? ex ? ?a ? a2 ?1 ,
其 中

0 ? ?a ? a2 ? ? 1

, 1

?a ? a2 ?1 ? 1







ln( ? a ? a 2 ? 1) ? x ? ln(? a ? a 2 ? 1) ,
且 递减.

ln(?a ? a 2 ? 1) ? 0 , ln( ? a ? a 2 ? 1) ? 0 .所以 g ( x) 在 (0,ln(? a ? a 2 ? 1)) 上单调
x0 ? (0,ln( ? a ? a 2 ? 1))
,使

又 g (0) ? 0 ,所以存在

g ( x0 ) ? 0 ,不符合题意.
为参数)

综上, a 的取值范围为 [?1, ??) . 22.解析:解: (I)利用 cos φ +sin φ =1,把圆 C 的参数方程 化为(x﹣1) +y =1, 2 ∴ρ ﹣2ρ cosθ =0,即 ρ =2cosθ . (II)设(ρ 1,θ 1)为点 P 的极坐标,由 ,解得 .
2 2 2 2

设 (ρ 2, θ 2) 为点 Q 的极坐标, 由 ∵θ 1=θ 2,∴|PQ|=|ρ 1﹣ρ 2|=2.

, 解得



?2 x ? 2, x ? 2 1 ? 23.解析: (1)若 a=2, f ? x ? ?| x ? 1| ? | x ? 2 |? ?1,1 ? x ? 2 ,由 f ? x ? ? 2 解得 x ? 2 ??2 x ? 3, x ? 1 ? 5 1 5? ? 或 x ? ,所以原不等式的解集为 ? x | x ? 或x ? ? . 2 2 2? ? (2)由 x ? R, f ? x ? ? | x ?1|? 1 可得 2 | x ? 1| ? | x ? a |? 1.
当 x≥a 时,只要 3x ? 2 ? a ? 1 恒成立即可,此时只要 3a ? 2 ? a ? 1 ? a ?

当 1≤x<a 时,只要 x ? 2 ? a ? 1 恒成立即可,此时只要 1 ? 2+a ? 1 ? a ? 2 ; 当 x<1 时,只 要 ?3 x ? 2 ? a ? 1恒成立即可 ,此时只 要 ?3 ? 2 ? a ? 1 ? a ? 2 ,综上

3 ; 2

a ?? 2, ?? ? .

7


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