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函数值域的求法(新课标)


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数学讲义
第一模块函数

函数的值域求法(包含最值) ①观察法②配方法③判别式法④数形结合法⑤换元法⑥分离常数法⑦不等式法 ⑧ 单调性法⑨几何法⑩有界性 1.观察法 例.求下列函数的值域 1)y=kx+b (k≠ 0) 2)y= x+1 2.配方法 例.求下列函数的值域 1)y=x 2 +2x+2

2)y=-x 2 +2x-3

3.数形结合法 例.求下列条件下函数y=x 2 ? 4x + 5的值域 1)x∈ ?3, ?1 2)x∈ 0, 3
3)x∈ 4, +∞

例.求函数y=x ?2在x∈ 3,5 上的最大值和最小值

3

例.求函数y=x+x 的值域

1

练习:1.求函数y=-x 2 ? 2x + 3在下列条件下的值域及最值 1)x∈ R 2)x∈ 0, 2 3)x∈ ?2,0 4)x∈ ?3, 0

2.(2000.全国理,10) 函数y=1-x ?1的图像是()
y 1 1 0 A 1 X 0 1 B x -1 C D 1 0 x 1 0 X y Y

1

-1

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3.(2000.全国文4,理13)函数y=ax 在 0,1 上的最大值与最小值的和为3,则a等于() A.2
1

B.2
a

C.4

D.4

1

4.不等式法求值域(一正,二定,三相等) 例1. 求函数y=x+x (x > 0)的值域

练习:(1)已知a+2b=3 (2)求y= x+5
x+1 (x+2)

求2 +4b 的最小值

a

(x>-1)的最大值

5.分离常数法 适合形如y=ax +b (x≠ ? a ) 例.求下列函数的值域 1)y= x+1 2)y=2x ?13)y=1+x 2 6.换元法设一个式子(如ax , sin x根式)为 t。从而将函数化为关于 t 的一个函数。进而求函数的值 域 例.求下列函数的值域 1)y=2x+ 1 ? x 2)y= 1+sin θ
2 sin θ?1 2x ?1 x+1 1?x 2 cx +d b

3)y=e x +1

e x ?1

4)求 y=sin x. cos x + sin x + cos x最大值

7.利用有界性:
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例. 求下列函数的值域 1)y= 1+sin θ 2)y=e x +1
2 sin θ?1 e x ?1

练习:1)y=sin x+2

sin x

2) y=cos x+3

cos x ?3

3) y=cos x ?2

sin x

8)几何法 例. 求下列函数的值域 1) y= x + 1 + x ? 1

2) y= x ? 1 - x ? 3

9)判断式法 例. 求下列函数的值域 1)y=x 2 +1 10)对称性法 例. 已知 f(x)=
2 sin x+
π 4

x ?1

2) y=x 2 ?2x+3
+2x 2 +x

2 ?x

2x 2 +cos x

的最大值 M,最小值为 m

则 M+m=________

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