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湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(理科)


湖南师大附中 2015 届高三上学期第二次月考数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. ) 1.在复平面内,复数 A.第一象限 (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限

考点:复数的

代数表示法及其几何意义. 专题:计算题. 分析:将复数 z= 解答: 解:∵z= 的分母实数化,求得 z=1+i,即可求得 ,从而可知答案. = = =1+i,

∴ =1﹣i. ∴ 对应的点(1,﹣1)位于第四象限, 故选 D. 点评:本题考查复数的代数表示法及其几何意义,将复数 z= 基础题. 的分母实数化是关键,属于

2.若角 α 的终边落在直线 x+y=0 上,则 A.2 B.﹣2 C.﹣2 或 2

的值等于( D.0

)

考点:三角函数的化简求值;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题:三角函数的求值. 分析:根据 α 的终边落在直线 x+y=0 上,判断出 α 所在的象限,并由平方关系化简所求的式 子,再对 α 分类利用三角函数值的符号进一步化简求值. 解答: 解:∵角 α 的终边落在直线 x+y=0 上, ∴角 α 为第二或第四象限角. ∵ + = + ,

∴当角 α 为第二象限角时, 原式=﹣ + =0;

当角 α 为第四象限角时,

原式=

+

=0.

综上可知:角 α 为第二或第四象限角时,均有值为 0, 故选 D. 点评:本题考查了平方关系和三角函数值的应用,以及分类讨论思想. 3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积是( )

A.54

B.27

C.18

D.9

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由已知的三视图可得:该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥,分别求出底面面积和 高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由三视图可知,该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥, ∵底面长和宽分别为 3 和 6, ∴其底面面积 S=3×6=18, 又∵棱锥的高 h=3, 故该几何体的体积 V= Sh= ×3×18=18. 故选:C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 其中根据三视图分析出几何体的形状是 解答的关键. 4.我校三个年级共有 24 个班,学校为了了解同学们的心理状况,将每个班编号,依次为 1 到 24,现用系统抽样方法,抽取 4 个班进行调查,若抽到编号之和为 48,则抽到的最小编号 为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 考点:系统抽样方法. 专题:计算题;概率与统计. 分析:求出系统抽样的抽取间隔,设抽到的最小编号 x,根据编号的和为 48,求 x 即可. 解答: 解:系统抽样的抽取间隔为 =6.

设抽到的最小编号 x, 则 x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48, 所以 x=3.

故选:B. 点评:本题考查了系统抽样方法,熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键. 5.若等边△ ABC 的边长为 A.﹣2 B.2

,平面内一点 M 满足 C. D.

,则

=(

)

考点:平面向量数量积的性质及其运算律. 专题:计算题. 分析:先用向量 解答: 解:∵ ∴ = 表示出向量 ,再求内积即可得解



=

=

=

=

故选 A 点评:本题考查向量的加减运算、线性表示和向量的数量积,须特别注意向量的线性表示,求 数量积时须注意两个向量的夹角.属简单题

6.设函数

若 f(﹣4)=f(0) ,f(﹣2)=0,则关于 x 的不等式 f

(x)≤1 的解集为( ) A. (﹣∞,﹣3]∪ C.∪(0,+∞) D. 考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题. 分析:设 P 点的横坐标为 x,根据|PF1|=3|PF2|,P 在双曲线右支(x≥a) ,利用双曲线的第二定 义,可得 x 关于 e 的表达式,进而根据 x 的范围确定 e 的范围. 解答: 解:设 P 点的横坐标为 x ∵|PF1|=3|PF2|,P 在双曲线右支(x≥a) 根据双曲线的第二定义,可得 3e(x﹣ ∴ex=2a ∵x≥a,∴ex≥ea ∴2a≥ea,∴e≤2 )=e(x+ )

∵e>1,∴1<e≤2 故选 D. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质, 考查了双曲线的第二定义的灵活运用, 属于基础题. 10.已知函数 f(x)满足 f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y) (x,y∈R) ,则 f=( A. B. C.﹣ D.0

)

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析:由已知条件推导出函数 f(x)是周期为 6 的周期函数,由此能求出结果. 解答: 解:取 x=1,y=0 代入 4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x﹣y) , 得 4f(1)f(0)=f(1)+f(1)=2f(1) , 解得 f(0)= , 则当 x=1,y=1 时,4f(1)f(1)=f(2)+f(0) , 解得 f(2)=f(1)﹣f(0)=﹣ ; 当 x=2,y=1 时,4f(2)f(1)=f(3)+f(1) , 解得 f(3)=f(2)﹣f(1)=﹣ ; 当 x=3,y=1 时,4f(3)f(1)=f(4)+f(2) , 解得 f(4)=f(3)﹣f(2)=﹣ ; 当 x=4,y=1 时,4f(4)f(1)=f(5)+f(1) , 解得 f(5)=f(4)﹣f(3)= ; 当 x=5,y=1 时,4f(5)f(1)=f(6)+f(4) , 解得 f(6)=f(5)﹣f(4) = ; 当 x=6,y=1 时,4f(6)f(1)=f(7)+f(5) , 解得 f(7)=f(6)﹣f(5)= ; … 6 个一循环 2015÷6=370 余 5 f=f(5)= . 故选:B. 点评:本题考查函数值的求法,是中档题,解题的关键是推导出函数 f(x)是周期为 6 的周 期函数.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上. ) 11.已知曲线 y=x 为 . 在点(1,1)处的切线为直线 l,则 l 与两坐标轴所围成的三角形面积

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:求出函数的导数,求得在点(1,1)处的切线斜率,再由点斜式方程可得切线方程,再 分别令 x=0,y=0,再由三角形 的面积公式,即可得到. 解答: 解:求导数可得 y′=﹣ ,

所以在点(1,1)处的切线斜率为﹣ , 切线方程为:y﹣1=﹣ (x﹣1) , 令 x=0,得 y= ;令 y=0,得 x=3. 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 故答案为: . 点评:本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,确定切线方程是关键. 3= ,

12.从区间内随机取出一个数 x,从区间内随机取出一个数 y,则使得|x|+|y|≤4 的概率为 .

考点:几何概型. 专题:计算题;概率与统计. 分析:从区间内随机取出一个数 x,从区间内随机取出一个数 y,对应的区域是长方形,使得 |x|+|y|≤4,落在矩形内的部分,分别求出面积,即可得出结论. 解答: 解: 从区间内随机取出一个数 x, 从区间内随机取出一个数 y, 对应的区域面积为 60, 使得|x|+|y|≤4,落在矩形内的部分,如图所示,面积为 2× ×(2+8)×3=30, ∴所求概率为 故答案为: . = .

点评:本题主要考查几何概型的概率公式的计算,确定区域的面积是解决本题的关键. 13.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场 馆服务,不同的分配方案有种 1080(用数字作答) 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 分析:根据题意,先分组,再分配;先将 6 人按 2﹣2﹣1﹣1 分成 4 组,有
4



分组方法,再对应分配到四个不同场馆,有 A4 种方法,进而由分步计数原理计算可得答案. 解答: 解:根据题意,先将 6 人按 2﹣2﹣1﹣1 分成 4 组,有 =45 种分组方

法, 4 再对应分配到四个不同场馆,有 A4 =24 种方法, 则共有 45×24=1080 种方法; 故答案为 1080. 点评:本题考查排列、组合的应用,注意本题的分组涉及了平均分组与不平均分组两类,要用 对公式. )|对 x∈r 恒成立,且 sinφ

14.已知函数 f(x)=sin(2x+φ) (其中 φ 为实数) ,若 f(x)≤|f( <0,则 f(x)的单调递增区间是; (k∈Z) 考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:由若 f(x)≤|f(

)||对 x∈R 恒成立,结合函数最值的定义,求得 f(

)等于函数

的最大值或最小值,由此可以确定满足条件的初相角 φ 的值,结合 sinφ<0,易求出满足条件 的具体的 φ 值,然后根据正弦型函数单调区间的求法,即可得到答案. 解答: 解:若 f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立,

则 f( 即 2×

)等于函数的最大值或最小值, +φ=kπ+ ,k∈Z,

则 φ=kπ+

,k∈Z,

又 sinφ<0, 令 k=﹣1,此时 φ=﹣ 令 2x﹣ ∈,k∈Z, ,满足条件 sinφ<0,

解得 x∈(k∈Z) . 则 f(x)的单调递增区间是(k∈Z) . 故答案为: (k∈Z) . 点评:本题考查的知识点是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换、三角函数的单调性,其中解答 本题的关键是根据已知条件求出满足条件的初相角 φ 的值.属于基础题. 15.将自然数按如图排列,其中处于从左到右第 m 列从下到上第 n 行的数记为 A(m,n) , 如 A(3,1)=4,A(4,2)=12,则 A(1,n)= ;A(10,10)=181.

考点:归纳推理. 专题:计算题;推理和证明. 分析:由题意,A(1,n)=1+2+…+n= 解答: 解:由题意,A(1,n)=1+2+…+n= ∴A(1,10)= =55, ,再求出 A(1,10) ,即可求出 A(10,10) . ,

∴A(10,10)=55+10+11+…+18=181, 故答案为: ,181.

点评:本题考查推理知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P( ,cos θ)在角 α 的终边上,点 Q(sin θ,﹣1)在角 β 的终边上,且 ? =﹣ .

2

2

(1)求 cos2θ; (2)求 sin(α+β)的值. 考点:二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 分析: (1)由点 P、Q 的坐标即 、
2

坐标,结合向量数量积坐标运算公式得 θ 的三角函数
2

等式,再利用余弦的倍角公式把此等式降幂即可; (2)首先由余弦的倍角公式求出 cos θ,再根据同角正余弦的关系式求出 sin θ,即明确点 P、 Q 的坐标,然后由三角函数定义得 sinα、cosα、sinβ、cosβ 的值,最后利用正弦的和角公式求 得答案. 解答: 解: (1)∵ ∴ ∴ ∴ . , , , , ,

(2)由(1)得: ∴ ∴ ∴ ∴ , , , ,

, .



点评:本题综合考查倍角公式、和角公式、同角三角函数关系、及三角函数定义,同时考查向 量坐标的定义及向量数量积坐标运算. 17.坛子中有 6 个阄,其中 3 个标记为“中奖”,另外三个标记是“谢谢参与”,甲、乙、丙三人 份两轮按甲、乙、丙、甲、乙、丙的顺序依次抽取,当有人摸到“中奖”阄时,摸奖随即结束. (1)若按有放回抽取,甲、乙、丙的中奖概率分别是多少? (2)若按不放回抽取,甲、乙、丙的中奖概率分别是多少? (3)按不放回抽取,第一轮摸奖时有人中奖则可获得奖金 10000 元,第二轮摸奖时才中奖可 获得奖金 6000 元,求甲、乙、丙三人所获奖金总额 ξ 的分布列和数学期望. 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计.

分析: (1)按有放回抽取,利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率. (2)按不放回抽取,利用已知条件能求出甲、乙、丙的中奖概率. (3)依题设知 ξ 的所有可能取值为 6000,10000,分别求出相应的概率,由此能求出甲、乙、 丙三人所获奖金总额 ξ 的分布列和数学期望. 解答: 解: (1)按有放回抽取, 甲中奖概率是:p1= +(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ ) = , = , = .

乙中奖的概率是:p2=(1﹣ )× +(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ ) 丙中奖的概率是:p3=(1﹣ ) (1﹣ ) (2)按不放回抽取, 甲中奖概率是:p4= +(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )× = 乙中奖的概率是:p5=(1﹣ )× = , . ,

+(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )

丙中奖的概率是:p4=(1﹣ )×(1﹣ )× =

(3)依题设知 ξ 的所有可能取值为 6000,10000. 且由题设,得:P(ξ=6000)=(1﹣ ) (1﹣ ) (1﹣ )× = P(ξ=10000)= 故 ξ 的分布列为: ξ P Eξ=6000× +10000× =9800. = . ,

6000

10000

点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,在 历年 2015 届高考中都是必考题型. 18.如图,四面体 A﹣BCD 中,AD⊥面 BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2 点,P 是△ BMD 的外心,点 Q 在线段 AC 上,且 =4 . ,M 是 AD 的中

(Ⅰ)证明:PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)若二面角 C﹣BM﹣D 的大小为 60°,求四面体 A﹣BCD 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 BD 的中点 O,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3CF,连接 OP、OF、FQ.根据 平行线分线段成比例定理结合三角形的中位线定理证出四边形 OPQF 是平行四边形,从而 PQ∥OF,再由线面平行判定定理,证出 PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)过点 C 作 CG⊥BD,垂足为 G,过 G 作 GH⊥BM 于 H,连接 CH.根据线面垂直的判 定与性质证出 BM⊥CH,因此∠CHG 是二面角 C﹣BM﹣D 的平面角,可得∠CHG=60°.设 ∠BDC=θ,用解直角三角形的方法算出 HG 和 CG 关于 θ 的表达式,最后在 Rt△ CHG 中,根 据正切的定义得出 tan∠CHG,从而得到 tanθ,由此可得∠BDC,进而可求四面体 A﹣BCD 的 体积. 解答: 解: (Ⅰ)取 BD 的中点 O,在线段 CD 上取点 F,使得 DF=3CF,连接 OP、OF、FQ ∵△ACD 中,AQ=3QC 且 DF=3CF,∴QF∥AD 且 QF= AD ∵△BDM 中,O、P 分别为 BD、BM 的中点 ∴OP∥DM,且 OP= DM,结合 M 为 AD 中点得:OP∥AD 且 OP= AD ∴OP∥QF 且 OP=QF,可得四边形 OPQF 是平行四边形 ∴PQ∥OF ∵PQ?平面 BCD 且 OF?平面 BCD,∴PQ∥平面 BCD; (Ⅱ)过点 C 作 CG⊥BD,垂足为 G,过 G 作 GH⊥BM 于 H,连接 CH ∵AD⊥平面 BCD,CG?平面 BCD,∴AD⊥CG 又∵CG⊥BD,AD、BD 是平面 ABD 内的相交直线 ∴CG⊥平面 ABD,结合 BM?平面 ABD,得 CG⊥BM ∵GH⊥BM,CG 、GH 是平面 CGH 内的相交直线 ∴BM⊥平面 CGH,可得 BM⊥CH 因此,∠CHG 是二面角 C﹣BM﹣D 的平面角,可得∠CHG=60° 设∠BDC=θ,可 得 Rt△ BCD 中,CD=BDcosθ=2 cosθ,CG=CDsinθ=2 sinθcosθ,BG=BCsinθ=2 Rt△ BMD 中,HG= = ;Rt△ CHG 中,tan∠CHG= = =

sin θ

2

∴tanθ= ,可得 θ=60°,即∠BDC=60°, ∵BD=2 , ∴CD= ,

∴S△ BCD= ∴VA﹣BCD= =

= .



点评: 本题在底面为直角三角形且过锐角顶点的侧棱与底面垂直的三棱锥中求证线面平行, 并 且在已知二面角大小的情况下求线线角.着重考查了线面平行、线面垂直的判定与性质,解直 角三角形和平面与平面所成角求法等知识,属于中档题. 19.甲、乙两超市同时开业,第一年的年销售额都为 a 万元,甲超市前 n(n∈N+)年的总销售 额为 (n ﹣n+2)万元;从第二年开始,乙超市第 n 年的销售额比前一年的销售额多( )
﹣1

2

n

a 万元. (Ⅰ)设甲、乙两超市第 n 年的销售额分别为 an,bn 万元,求 an,bn 的表达式; (Ⅱ)若在同一年中,某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 50%,则该超市将被 另一超市收购.若今年为第一年,问:在今后若干年内,乙超市能否被甲超市收购?若能, 请推算出在哪一年底被收购;若不能,请说明理由. 考点:数列与函数的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)假设甲超市前 n 年总销售额为 Sn, 则 Sn= (n ﹣n+2 ) (n≥2) ,从而 ,由此能求出 bn=a. (n∈N ) . a,有 a3> b3;当 n≥4 时,
* 2

an=

(2)当 n=2 时,a2=a,b2= a,有 a2> b2;n=3 时,a3=2a,b3=

an≥3a,而 bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收购.由此能求出 2020 年年底乙超市将被甲超市 收购. 解答: 解: (Ⅰ)假设甲超市前 n 年总销售额为 Sn, 则 Sn= (n ﹣n+2) (n≥2) ,因为 n=1 时,a1=a, 则 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= (n ﹣n+2)﹣ =a(n﹣1) ,
2 2

故 an=



又 b1=a,n≥2 时,bn﹣bn﹣1=( )

n﹣1

a,

故 bn=b1+(b2﹣b1)+(b3﹣b2)+…+(bn﹣bn﹣1) =a+ a+( ) a+…+( ) =a
2 n﹣1

a

=

a

=a,显然 n=1 也适合, 故 bn=a. (n∈N ) . (2)当 n=2 时,a2=a,b2= a,有 a2> b2; n=3 时,a3=2a,b3= a,有 a3> b3;
*

当 n≥4 时,an≥3a,而 bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收购. 当 n≥4 时,令 an>bn,则 (n﹣1)a>a n﹣1>6﹣4?( )
n﹣1

.即 n>7﹣4?( )
n﹣1

n﹣1



又当 n≥7 时,0<4?( )
*

<1,
n﹣1

故当 n∈N 且 n≥7 时,必有 n>7﹣4?( )



即第 7 年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,即 2020 年年底乙超市将被甲超市收购. 点评:本题考查数列的通项公式的求法,考查在今后若干年内,乙超市能否被甲超市收购的判 断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用.

20.已知椭圆

=1(a>b>c>0,a =b +c )的左、右焦点分别为 F1,F2,若以 F2 为圆

2

2

2

心, b﹣c 为半径作圆 F2, 过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为 T, 且|PT|的最小值不小于 (a﹣c) . (1)证明:椭圆上的点到点 F2 的最短距离为 a﹣c; (2)求椭圆的离心率 e 的取值范围; (3)设椭圆的短半轴长为 1,圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q,过点 Q 作斜率为 k(k>0)的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,若 OA⊥OB,求直线 l 被圆 F2 截得的弦长 s 的最大值.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质;椭圆的应用. 专题:计算题;证明题;压轴题. 分析: (1)设椭圆上任一点 Q 的坐标为(x0,y0) ,根据 Q 点到右准线的距离和椭圆的第二定 义,求得 x0 的范围,进而求得椭圆上的点到点 F2 的最短距离 (2)可先表示出|PT|,进而可知当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值,根据 ≥ (a﹣c)求得 e 的范围.

(3)设直线的方程为 y=k(x﹣1) ,与抛物线方程联立方程组消去 y 得,根据韦达定理可求得 x1+x2 和 x1x2,代入直线方程求得 y1y2,根据 OA⊥OB,可知 =0,∴k=a,直线的方程

为 ax﹣y﹣a=0 根据圆心 F2(c,0)到直线 l 的距离,进而求得答案. 解答: 解: (1)设椭圆上任一点 Q 的坐标 为(x0,y0) , Q 点到右准线的距离为 d= 则由椭圆的第二定义知: ∴|QF2|=a﹣ ,又﹣a≤x0≤a, ﹣x0, = ,

∴当 x0=a 时, ∴|QF2|min=a﹣c. (2)依题意设切线长|PT|= ∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值, ∴ ∴0< ≤ ,从而解得 ≤e< ≥ (a﹣c) , , ,

故离心率 e 的取值范围是解得 ≤e<

(3)依题意 Q 点的坐标为(1,0) , 则直线的方程为 y=k(x﹣1) , 2 2 x2 2 2 2 2 2 与抛物线方程联立方程组消去 y 得(a k +1) ﹣2a k x+a k ﹣a =0 得,

设 A(x1,y1) (x2,y2) ,则有 x1+x2=

,x1x2=



代入直线方程得 y1y2=



x1x2=+y1y2=

,又 OA⊥OB,



=0,

∴k=a, 直线的方程为 ax﹣y﹣a=0, 圆心 F2(c,0)到直线 l 的距离 d= ,

∴ ≤e< ∴s∈(0,

?,∴ ≤c<1, ≤2c+1<3, ) ,所以弦长 s 的最大值为 .

点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 考查了学生综合分析问题和解决问题的能 力.

21.记函数 (x)﹣nx. (Ⅰ)讨论函数 g(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若实数 x0 和正数 k 满足:

的导函数为 f′n(x) ,函数 g(x)=fn

,求证:0<x0<k.

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题;证明题;综合题. n 分析: (Ⅰ)由 g(x)=(1+x) ﹣1﹣nx,可求得 g′(x)=n,分 n(n≥2)为偶数与 n 为奇数 讨论导数的符号,即可求得其单调区间和极值;

(Ⅱ) 由
n

可求得 x0=

, 设分子为 h (k)

=(nk﹣1) (1+k) +1(k>0) ,可分析得到 h'(k)>0,从而 h(k)>h(0)=0,求得 x0>0; 进一步可求得 x0﹣k=
n

<0,从而得证 0<x0<k.

解答: 解: (Ⅰ)由已知得 g(x)=(1+x) ﹣1﹣nx,所以 g′(x)=n.… ①当 n≥2 且 n 为偶数时,n﹣1 是奇数,由 g'(x)>0 得 x>0;由 g'(x)<0 得 x<0. 所以 g(x)的递减区间为(﹣∞,0) ,递增区间为(0,+∞) ,极小值为 g(0)=0.… ②当 n≥2 且 n 为奇数 时,n﹣1 是偶数, 由 g'(x)>0 得 x<﹣2 或 x>0;由 g'(x)<0 得﹣2<x<0. 所以 g(x)的递减区间为(﹣2,0) ,递增区间为(﹣∞,﹣2)和(0,+∞) , 此时 g(x)的极大值为 g(﹣2)=2n﹣2,极小值为 g(0)=0.… (Ⅱ)由 得 ,

所以 1+x0=

,x0=
n



显然分母(n+1)>0,设分子为 h(k)=(nk﹣1) (1+k) +1(k>0) n n﹣1 n﹣1 则 h'(k)=n(1+k) +n(1+k) (nk﹣1)=n(n+1)k(1+k) >0, 所以 h(k)是(0,+∞)上的增函数,所以 h(k)>h(0)=0,故 x0>0… 又 x0﹣k= 上的增函数, 故当 x>0 时,g(x)>g(0)=0,即(1+x) >1+nx,所以 1+k(n+1)<(1+k) 所以 x0﹣k<0,从而 x0<k.综上,可知 0<x0<k.… 点评:本题考查利用导数研究函数的单调性与极值,突出转化思想与分类讨论思想的运用,突 出构造函数的思想的应用, 熟练掌握导数法研究函数的单调性与极值与最值是解决这类问题的 关键,属于难题.
n n+1

,由(Ⅰ)知,g(x)=(1+x) ﹣1﹣nx 是(0,+∞)

n


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湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

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湖南师大附中2015届高三上学期第二次月考数学试卷(文科)

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湖南师大附中2015届高三月考试卷(二)数学理试题含解析

湖南师大附中 2015 届高三月考试卷(二) 数学试卷(理科) 参考答案与试题解析一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分.在每小题给出的四个选项...


湖南师大附中2016届高三上学期第二次月考 数学文(解析...

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湖南师大附中2016届高三上学期第二次月考 数学理(解析版)

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2014届湖南师大附中高三第二次月考数学(理)试卷及详细...

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湖南师大附中2016届高三月考理科试卷(二)(图片版,有答案)

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