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2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查 必修部分41 空间几何体的表面积和体积


开卷速查(四十一)

空间几何体的表面积和体积

A 级 基础巩固练 1.[2014· 重庆]某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为( )

正视图

左视图

俯视图

A.54 C.66

B.60 D.72

/>解析:题中的几何体可看作是从直三棱柱 ABC-A1B1C1 中截去三 棱锥 E-A1B1C1 后所剩余的部分(如图所示),其中在直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,则 BC=5,△ABC 的面积等 1 1 于2×3×4=6.AA1⊥平面 ABC,则直角梯形 ABEA1 的面积等于2×(2 +5)×4=14,矩形 ACC1A1 的面积等于 3×5=15. 过点 E 作 EF⊥AA1 于点 F,则 EF=AB=4,A1F=B1E=BB1-BE 1 15 =3,则 A1E=5,所以△A1C1E 的面积等于2×3×5= 2 ,直角梯形 1 35 BCC1E 的面积等于2×(2+5)×5= 2 , 因此题中的几何体的表面积为 6 15 35 +14+15+ 2 + 2 =60,选 B. 答案:B 2.[2014· 安徽]一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面 积为( )

A.21+ 3 C.21

B.18+ 3 D.18

解析:由三视图可知该几何体是棱长为 2 的正方体从后面右上角 和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分,其表面积为 S= 1 3 6×4-2×6+2× 4 ×( 2)2=21+ 3. 答案:A 3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.8π+16 C.8π+8

B.8π-16 D.16π-8

解析:由三视图可知,该几何体为底面半径 r=2,高 h=4 的半圆 柱挖去一个底面为等腰直角三角形,直角边长为 2 2高为 4 的直三棱 1 1 柱,故所求几何体的体积为 V=π×22×4×2-2×2 2×2 2×4=8π -16,故选 B. 答案:B 4.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为 ( )

16 A. 3 π 19 C. 3 π

19 B.12π 4 D.3π

解析:由三视图可知该几何体是底面边长为 2,高为 1 的正三棱 柱.其外接球的球心为上下底面中心连线的中点.

?2 3?2 19 ?1? 19 ? = ,S=4πR2= π,故选 C. ∴R2=?2?2+? 12 3 ? ? ? 3 ?

答案:C

5.如图,正方体 ABCDA′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′EFQ 的体积( )

A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值
? 1 ?1 16 解析:因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF=3×?2×2×4?×4= 3 ,故三棱锥 ? ?

A′EFQ 的体积与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值. 答案:D 6.已知球 O,过其球面上 A、B、C 三点作截面,若 O 点到该截 面的距离是球半径的一半,且 AB=BC=2,∠B=120° ,则球 O 的表 面积为( 64π A. 3 C.4π ) 8π B. 3 16π D. 9

解析:如图,球心 O 在截面 ABC 的射影为△ABC 的外接圆的圆 R 心 O1.由题意知 OO1= 2 ,OA=R,其中 R 为球 O 的半径.在△ABC 中, AC= AB2+BC2-2AB· BC· cos120° =
? 1? 22+22-2×2×2×?-2? ? ?

=2 3. AC 2 3 设△ABC 的外接圆半径为 r,则 2r=sin120° = =4,得 r=2, 3 2 即 O1A=2.在 Rt△OO1A R2 2 2 2 中,OO1+O1A =OA ,即 +4=R2,解得 4

16 64π R2= 3 ,故球 O 的表面积 S=4πR2= 3 ,故选 A. 答案:A 7.[2014· 山东]三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点, V1 记三棱锥 D - ABE 的体积为 V1 , P - ABC 的体积为 V2 ,则 V =
2

__________. 解析:如图,设点 C 到平面 PAB 的距离为 h,三角形 PAB 的面积 1 1 1 1 1 V1 1 为 S,则 V2=3Sh,V1=VE-ADB=3×2S×2h=12Sh,所以V =4.
2

1 答案:4 8.某几何体的三视图如图所示,则其体积为__________.

1 1 解析:该几何体为一个半圆锥,故其体积为 V=3×2×π×12×2 π =3. π 答案:3 9.在三棱锥 ABCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5, 则该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析:依题意得,该三棱锥的三组对棱分别相等,因此可将该三 棱锥补形成一个长方体,设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,且

其外接球的半径为

a +b =6 , ? ?2 2 2 R,则?b +c =5 , ? ?c2+a2=52,

2

2

2

得 a2+b2+c2=43,即(2R)2

=a2+b2+c2=43,易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径,所以该三棱 锥的外接球的表面积为 4πR2=43π. 答案:43π

10.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6、高为 4 的 等腰三角形. (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

解析:(1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体 是四棱锥, 且四棱锥的底面 ABCD 是相邻两边长分别为 6 和 8 的矩形, 高 HO=4,O 点是 AC 与 BD 的交点,如图所示.

1 ∴该几何体的体积 V=3×8×6×4=64. (2) 如 图 所 示 , 作 OE⊥AB , OF⊥BC , 侧 面 HAB 中 , HE = HO2+OE2= 42+32=5, 1 1 ∴S△HAB=2×AB×HE=2×8×5=20. 侧面 HBC 中,HF= HO2+OF2= 42+42=4 2. 1 1 ∴S△HBC=2×BC×HF=2×6×4 2=12 2. ∴该几何体的侧面积 S=2(S△HAB+S△HBC)=40+24 2. B 级 能力提升练 11.[2014· 大纲全国]正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥 的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为( 81π A. 4 B.16π C.9π ) 27π D. 4

解析:由图知,R2=(4-R)2+2,

9 ∴R2=16-8R+R2+2,∴R=4, 81 81 ∴S 表=4πR2=4π×16= 4 π,选 A. 答案:A

12.[2014· 湖南]一块石材表示的几何体的三视图如图所示.将该 石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析:该几何体为直三棱柱,底面是边长分别是 6,8,10 的直角三 角形,侧棱长为 12,故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内 1 2×2×6×8 切圆的半径,其半径为 r= =2,故选 B. 6+8+10 答案:B 13.已知三棱锥 D-ABC 中,AB=BC=1,AD=2,BD= 5, AC= 2,BC⊥AD,则该三棱锥的外接球的表面积为( A. 6π C.5π B.6π D.8π )

解析:∵由勾股定理易知 AB⊥BC,DA⊥BC,

∴BC⊥平面 DAB. ∴CD= BD2+BC2= 6. ∴AC2+AD2=CD2.∴DA⊥AC. 取 CD 的中点 O,由直角三角形的性质知 O 到点 A,B,C,D 的 6 距离均为 2 , 其即为三棱锥的外接球球心. 故三棱锥的外接球的表面积为 4π? 答案:B 14.如图 1,在直角梯形 ABCD 中,∠ADC=90° ,CD∥AB,AB =4,AD=CD=2,将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC, 得到几何体 D-ABC,如图 2 所示.
? 6?2 ? =6π. ? 2?

(1)求证:BC⊥平面 ACD; (2)求几何体 D-ABC 的体积. 解析:(1)证明:在图中,可得 AC=BC=2 2, 从而 AC2+BC2=AB2,故 AC⊥BC, 又平面 ADC⊥平面 ABC, 平面 ADC∩平面 ABC=AC,BC?平面 ABC, ∴BC⊥平面 ACD. (2)由(1)可知,BC 为三棱锥 B-ACD 的高,BC=2 2,S△ACD=2,

1 1 4 2 ∴VB-ACD=3S△ACD· BC=3×2×2 2= 3 , 由等体积性可知, 几何体 D 4 2 -ABC 的体积为 3 .


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