tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

不等式选讲2


第 97 炼 不等式选讲
一、基础知识: (一)不等式的形式与常见不等式: 1、不等式的基本性质: (1) a ? b ? b ? a (2) a ? b, b ? c ? a ? c (不等式的传递性) 注: a ? b, b ? c ? a ? c , a ? c 等号成立当且仅当前两个等号同时成立 (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (4) a ?

b, c ? 0 ? ac ? bc; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc (5) a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? 2, n ? N ?
n n

(6) a ? b ? 0 ? n a ?

n

b ? n ? 2, n ? N ?

2、绝对值不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b (1) a ? b ? a ? b 等号成立条件当且仅当 ab ? 0 (2) a ? b ? a ? b 等号成立条件当且仅当 ab ? 0 (3) a ? b ? b ? c ? a ? c :此性质可用于求含绝对值函数的最小值,其中等号成立当且 仅当 ? a ? b?? b ? c ? ? 0 3、均值不等式 (1)涉及的几个平均数: ① 调和平均数: H n ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a2 an
n

② 几何平均数: Gn ? ③ 代数平均数: An ?

a1a2 ?an

a1 ? a2 ? ? ? an n

2 2 a12 ? a2 ? ? ? an ④ 平方平均数: Qn ? n

(2)均值不等式: Hn ? Gn ? An ? Qn ,等号成立的条件均为: a1 ? a2 ? ? ? an

-1-

(3)三项均值不等式: ① a ? b ? c ? 33 abc

a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 abc
3

?a?b?c? ② abc ? ? ? 3 ? ?
③ a?b?c?3

a 2 ? b2 ? c 2 3

4、柯西不等式: a1 ? a2 ? ? ? an
2 2

?

2

?? b

2 1

2 2 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn ?

2

等号成立条件当且仅当

a1 a2 a ? ? ? ? n 或 b1 ? b2 ? ? ? bn ? 0 b1 b2 bn

(1)二元柯西不等式: a ? b
2

?

2

?? c

2

? d 2 ? ? ? ac ? bd ? ,等号成立当且仅当 ad ? bc
2

(2)柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式:
2 2 2 2 a12 ? a2 ? ? ? an ? b12 ? b2 ? ? ? bn ?

? a1 ? b1 ?
2

2

? ? a2 ? b2 ? ? ? ? ? an ? bn ?
2

2

a2 a2 a 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ② 1 ? 2 ??? n ? b1 b2 bn b1 ? b2 ? ? ? bn

2 2 ? a12 a2 ? an 2 ? ? ? ? ? ? ? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? bn ? ? b1 b2
2 2 2 ②式体现的是当各项 a1 系数不同时,其“平方和”与“项的和”之间的不等关系, , a2 ,?, an

刚好是均值不等式的一个补充。

? a1 ? a2 ? ? ? an ? a a a ③ 1 ? 2 ??? n ? b1 b2 bn a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
2

5、 排序不等式: 设 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn 为两组实数,c1 , c2 ,?, cn 是 b1 , b2 ,?, bn 的任一排列,则有:

a1bn ? a2bn ?1 ? ? ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
即“反序和 ? 乱序和 ? 顺序和” (二)不等式选讲的考察内容: 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立

-2-

2、利用常见不等式(均值不等式,柯西不等式)求表达式的最值,要注意求最值的思路与利 用基本不等式求最值的思路相似,即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩(消元)→验证 等号成立条件” 3、解不等式(特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节) 二、典型例题:

例 1:若不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? m ? 1 恒成立,则 m 的取值范围为________.
思路:本题为恒成立问题,可知 m ? 1 ? x ? 1 ? x ? 3

?

?

min

,所以只需求出 x ? 1 ? x ? 3 的

最小值即可,一种思路可以构造函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 3 ,通过对绝对值里的符号进行分

? 2 x ? 4, x ? ?1 ? , ?3 ? x ? ?1 ,进而得到 f ? x ?min ? 2 ,另一种思路可 类讨论得到分段函数: f ? x ? ? ? 2 ? ?2 x ? 4, x ? ?3 ?
以想到绝对值不等式: x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 2 ,进而直接得到最小值,所以

m ? 1 ? 2 ,从而 ?1 ? m ? 3
答案: ?1 ? m ? 3 例 2:若存在实数 x 使得 x ? 4 x ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 成立,求实数 a 的取值范围
2

思路:本题可从方程有根出发,得到关于 a 的不等式,从而解出 a 的范围 解:依题意可知二次方程 x ? 4 x ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有解
2

?? ? 16 ? 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? ? 0
即 a ? 2 ? a ?1 ? 4 当 a ? 2 时, 2a ? 3 ? 4 ? a ?

7 2

? 7? ? a ? ? 2, ? ? 2?

当 1 ? a ? 2 时, 2 ? a ? a ? 1 ? 4 ? 1 ? 4 恒成立 ? a ? ?1 , 2 ? 当 a ? 1 时, 2 ? a ? 1 ? a ? 4 ? a ? ?

1 2

? 1 ? ? a ? ? ? ,1? ? 2 ?

综上所述,可得 a ? ? ? , ? 2 2

? 1 7? ? ?

-3-

例 3:已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? a ? a ? 0? (1)当 a ? 1 时,解不等式 f ? x ? ? 4 (2)若不等式 f ? x ? ? 4 对一切 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围 (1)思路:所解不等式为 x ? 2 x ? 1 ? 4 ,可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式 解: (1)当 x ? 1 时, x ? 2 ? x ? 1? ? 4 ? x ? 2 当 0 ? x ? 1 时, x ? 2 ?1 ? x ? ? 4 ? x ? ?2 当 x ? 0 时, ? x ? 2 ?1 ? x ? ? 4 ? x ? ?

? x ? ?1 , 2 ?

? x ? ?0,1?
? 2 ? ? x ? ? ? ,0 ? ? 3 ?

2 3

综上所述:不等式的解集为 ? ? ,2 ? 3 (2)思路:若不等式 f ? x ? ? 4 恒成立,可知只需 f ? x ?min ? 4 即可, f ? x ? 含绝对值,从而

? 2 ?

? ?

?3x ? 2a, x ? ? a, ?? ? ? 可通过分类讨论将其变为分段函数 f ? x ? ? ?2a ? x, x ? ?0, a ? ,通过分析函数性质即可得 ? ?2a ? 3x, x ? ? ??,0 ?
到 f ? x ?min ? f ? a ? ? a ,所以 a ? 4 解:? f ? x ? ? 4 恒成立

? f ? x ?min ? 4
?3x ? 2a, x ? ? a, ?? ? ? 考虑 f ? x ? ? x ? 2 x ? a ? ?2a ? x, x ? ?0, a ? ? ?2a ? 3x, x ? ? ??,0 ?

? f ? x ? 在 ? ??, a ? 单调递减,在 ? a, ??? 单调递增 ? f ? x ?min ? f ? a ? ? a
?a ? 4
例 4:已知 a, b, c 都是正数,且 a ? 2b ? 3c ? 6 ,求 a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 的最大值 思路一:已知 a ? 2b ? 3c 为常数,从所求入手,发现被开方数的和为 ? a ? 2b ? 3c ? ? 3 也为 常数,所以想到均值不等式中“代数平均数 ? 平方平均数” ,进而求得最大值
-4-

解:

a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3
?

?

a ?1 ?

? ?
2

2b ? 1 ? 3

? ?
2

3c ? 1

?

2

a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 3

? a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3

? a ? 2b ? 3c ? ? 3
3

?3 3

? ?a ? 2 ?a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ? ? ?b ? 1 等号成立当且仅当 ? ?a ? 2b ? 3c ? 6 ? 2 ?c ? 3 ?
思 路 二 : 由 所 求 可 联 想 到 柯 西 不 等 式 ( 活 用
2 2

1 ):

? a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1? = ?1? a ? 1 ? 1? 2b ? 1 ? 1? 3c ? 1 ? , 从 而 可 得 : a ? 1 ? ? ? 2b ? 1 ? ? ? 3c ? 1 ? ? ?1 ? a ? 1 ? 1 ? 2b ? 1 ? 1 ? 3c ? 1 ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? ? ?? ? ? ?
2 2 2 2 2 2 2



?1 ?

a ? 1 ? 1 ? 2b ? 1 ? 1 ? 3c ? 1

?

2

? 3? a ? 2b ? 3c ? 3? ? 27



所 以 可 知

a ? 1 ? 2b ? 1 ? 3c ? 1 ? 3 3
小炼有话说:本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同(分别为均值不等式和柯西不等 式) ,但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数 ? 平方平均数” 。证明的过程如下:

?a

2 1

? 2 2 ? 2 2 2 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? ?? 12 ? ? ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ? ? an ? 1? ? ? ?1 ?? ? ??? n个1 ? ?
2

2 2 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? n ? a12 ? a2 ? ? ? an ?

2 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? a12 ? a2 ? ? ? an ?

? a1 ? a2 ? ? ? an ? n ?

2 2 a12 ? a2 ? ? ? an n

2 2 a1 ? a2 ? ? ? an a 2 ? a2 ? ? ? an ? 1 n n
2 2 2

例 5:已知 a, b, c 是实数,且 a ? b ? c ? 1 ,则 2a ? b ? 2c 的最大值是__________
2 2 2 思 路 : 考 虑 将 2a ? b ? 2c 向 a ? b ? c 进 行 靠 拢 , 由 柯 西 不 等 式 可 知

-5-

? ax ? by ? cz ?

2

? ? a 2 ? b2 ? c 2 ?? x 2 ? y 2 ? z 2 ? ,对照条件可知令 x ? 2, b ? 1, z ? 2 即可,所
2

以 ? 2a ? b ? 2c ? ? a ? b ? c
2 2

?

2

?? 2

2

? 12 ? 22 ? ? 9 ,则 2a ? b ? 2c ? 3

答案: 3 小炼有话说:使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等 式形式,然后找到所求与已知之间的联系,确定系数在柯西不等式的位置即可求解。 例 6:已知实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 3, a ? 2b ? 3c ? 6d ? 5 ,则 a 的取值范围是
2 2 2 2

____________ 思路:本题的核心元素为 a ,若要求 a 的取值范围,则需要寻找两个等式中项的不等关系,即 关于 b, c, d 的不等关系,考虑到 b ? c ? d ? 3 ? a,2b ? 3c ? 6d ? 5 ? a ,联想到柯西不等
2 2 2 2



2 2 ? a12 a2 ? an 2 ? ? ? ? ? ? ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? bn ? ? b1 b2







? 2b

2

?

?3c 2

1 ?? ? ? 6d? ?2
2

1 1 ? ??? ? ? 3 5 ?

?

2

5c ? a2 ? ?3 , 代入可得: b d ? a ? 解得:a ? ?1,2? ,
2

验证等号成立条件:

2b 3c 6d 在 a ? 1, a ? 2 时均有解。 ? ? 1 1 1 2 3 6

答案: a ? ?1,2?

? 1 1 1? 例 7:已知 a, b, c 均为正数,求证: a ? b ? c ? ? ? ? ? ? 6 3 ,并确定 a, b, c 为何 ?a b c?
2 2 2

2

值时,等号成立 思路: 观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系, 右侧为常数, 所以可想到基本不等式中 a , b 互 为 倒 数 时 ,

a ? b ? 2 ab



















a2 ? b2 ? c2 ? 33 a2b2c2 ,

1 1 1 1 ,从而将左侧的项均转化为与 abc 相关的项, ? ? ? 93 a b c abc

然后再利用基本不等式即可得到最小值 6 3 ,即不等式得证 解:由均值不等式可得: a2 ? b2 ? c2 ? 3 a2b2c2
3

-6-

1 1 1 1 ? ? ? 33 a b c abc
2 2 2

?1 1 ?? ? ? ?a b
2

1 1 ? ? ? 93 2 c ? ? abc ?

2

1 ? 1 1 1? ? a ? b ? c ? ? ? ? ? ? 3 3 a 2b 2 c 2 ? 9 3 2 ?a b c? ? abc ?

? 2?
等号成立条件: a ? b ? c 例 8:已知 a ? 0, b ? 0 (1)若 a ? b ? 2 ,求
2 2 2

?3

3

a 2b2 c 2 ? 9 3

?

1

? abc ?

2

?6 3

1 4 ? 的最小值 1? a 1? b
2

(2)求证: a b ? a ? b ? ab ? a ? b ? 1? (1)思路:从所求出发可发现其分母若作和,则可与 a ? b ? 2 找到联系,从而想到柯西不等
2 2 ? a ? a2 ? ? ? an ? a12 a2 an ?1 ? 2? 1 4 ? ??? ? 1 式的变式: ,从而 ? ? ?3 b1 b2 bn b1 ? b2 ? ? ? bn 1? a 1? b 1? a ? b 2

2

解:

1 4 12 22 ? ? ? 1? a 1? b 1? a 1? b
2

?1 ? 2? 1 4 12 22 由柯西不等式可得: ? ? ? ? 1? a 1? b 1? a 1? b 1? a ? b
?a ? b ? 2

?

1 4 ? ?3 1? a 1? b
2 2 2 2 2 2

(2)所证不等式等价于: a b ? a ? b ? a b ? ab ? ab ,观察左右的项可发现对左边任意

? a 2 b 2 ? a 2 ? 2a 2 b ? 2 2 2 2 两项使用均值不等式,即可得到右边的某项,即: ?a b ? b ? 2ab ,三式相加即完成证 ?a 2 ? b2 ? 2ab ?


? a 2 b 2 ? a 2 ? 2a 2 b ? 2 2 2 2 证明:由均值不等式可得: ?a b ? b ? 2ab ?a 2 ? b2 ? 2ab ?

?三式相加: 2 ? a 2b2 ? a 2 ? b2 ? ? 2 ? a 2b ? ab2 ? ab ?
即 a b ? a ? b ? a b ? ab ? ab ? ab ? a ? b ? 1?
2 2 2 2 2 2

-7-

小炼有话说:对于求倒数和(即 a1, a2 ,?, an 为常数)的最值,有两个柯西不等式的变式可供

使





a12 a2 a 2 ? a ? a 2 ? ? ? a2 n? ? ??? n ? 1 b1 b2 bn b1 ? b2 ? ? ? bn
2

2



? a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 a2 a ? ??? n ? ,其不同之处在于对分母变形时运算的选择,第 b1 b2 bn a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和” ,在解题时 要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。 例 9:设 a, b, c ? R ,求证: a b c ? ? abc ?
?

a b c

a ?b?c 3

思路:所证不等式中的变量位于指数和底数位置,且为乘法与乘方运算,并不利于不等式变 形;所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数,同时将乘法运算转为加法运算。则所证 不 等 式 等 价 于 3a ln a ? 3b ln b ? 3c ln c ? ? a ? b ? c ??ln a ? ln b ? ln c ? , 化 简 后 可 得 :

2a ln a ? 2b ln b ? 2c ln c ? a ln b ? a ln c ? b ln a ? b ln c ? c ln b ? c ln a ①,所证不等式为轮
换对称式,则不妨给 a, b, c 定序,即 a ? b ? c ? 0 ,则 ln a ? ln b ? ln c ,由①的特点想到排 序不等式,则 a ln a ? b ln b ? c ln c 为顺序和,是最大的,剩下的组合为乱序和或反序和,必 然较小,所以有 ?

?a ln a ? b ln b ? c ln c ? a ln b ? b ln c ? c ln a ,两式相加即可完成证明。 ?a ln a ? b ln b ? c ln c ? b ln a ? c ln b ? a ln c
?

证明:? a, b, c ? R

? 将所证不等式两边同取对数可得:
a a bbc c ? ? abc ?
a ?b?c 3

? a ln a ? b ln b ? c ln c ?

?a ? b ? c?
3

? ln a ? ln b ? ln c ?

? 3a ln a ? 3b ln b ? 3c ln c ? ?a ? b ? c ??ln a ? ln b ? ln c ?
? 3a ln a ? 3b ln b ? 3c ln c ? a ln a ? a ln b ? a ln c ? b ln a ? b ln b ? b ln c ? c ln a ? c ln b ? c ln c ? 2a ln a ? 2b ln b ? 2c ln c ? a ln b ? a ln c ? b ln a ? b ln c ? c ln b ? c ln a

? 所证不等式为轮换对称式 ?不妨设 a ? b ? c ? 0
? ln a ? ln b ? ln c

?a ln a ? b ln b ? c ln c ? a ln b ? b ln c ? c ln a ① ?? ?a ln a ? b ln b ? c ln c ? b ln a ? c ln b ? a ln c ②
-8-

① ? ② 可得: 2a ln a ? 2b ln b ? 2c ln c ? a ln b ? a ln c ? b ln a ? b ln c ? c ln b ? c ln a
即证明不等式 a b c ? ? abc ?
a b c a ?b?c 3

小炼有话说: 使用排序不等式的关键在于首先要有一个 “顺序” , 本题已知条件虽然没有 a, b, c 的大小关系, 但由所证不等式 “轮换对称” 的特点, 可添加大小关系的条件, 即a ? b ? c ? 0, 从而能够使用排序不等式。 例 10:设正数 x, y , z 满足 2 x ? 2 y ? z ? 1 (1)求 3xy ? yz ? zx 的最大值

(2)证明:

3 1 1 125 ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 26

( 1 )思路:所求表达式为多元表达式,所以考虑减少变量个 数,由 2 x ? 2 y ? z ? 1 得

xy ? z ? 2 ? x ? y ? ? 1 ? z ,则 3xy ? yz ? zx ? 3xy ? z ?x ? y ? ? 3
转化,向 x? y 靠 拢 , 利 用 基 本 不 等 式 xy ?
2

1? z ,下面考虑将 xy 进行 2
2

? x ? y?
4

进行放缩,可得:

z ?1 ? z ? 3 1 ? z 3 ?1 ? z ? 2 ,再求关于 z 的表达式的最大 3xy ? yz ? zx ? ? x ? y ? ? z ? ? ? ? 4 2 4 4 2
值即可。 解:? 2 x ? 2 y ? z ? 1

?2 ? x ? y ? ? 1 ? z
? 3xy ? yz ? zx ? 3xy ? z ? x ? y ? ? 3xy ? z ?1 ? z ? 2

? xy ?

? x ? y?
4

2

?

?1 ? z ?
16

2

? 3xy ? yz ? zx ? 3 ?

?1 ? z ?
16

2

?

z ?1 ? z ? 2

5? 1? 1 1 ? ? ?z ? ? ? ? 16 ? 5? 5 5

2

-9-

?x ? y ? 1 1 1 ? ? 3xy ? yz ? zx 的最大值为 ,此时 ? z ? ?x?y?z? 5 5 5 ? ? ?2 x ? 2 y ? z ? 1
(2) 思路: 由 (1) 可知 3xy ? yz ? zx 的最大值为

1 , 且所证不等式的左边分母含有 xy , yz , zx 5

项 ,所以考 虑向 3xy ? yz ? zx 的 形式进 行靠拢, 联想到 柯西不 等式的一 个变形 公式 :

? a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 a2 a ? ??? n ? ,可得: b1 b2 bn a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
2

3 1 1 25 ,进而结合第(1)问的结果再进行放缩即可证 ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 5 ? 3xy ? yz ? zx
明不等式 解:由柯西不等式可得:

? 3 ? 1 ? 1? 3 1 1 25 ? ? ? ? 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 3 ?1 ? xy ? ? 1 ? yz ? 1 ? zx 5 ? 3xy ? yz ? zx
2

由(1)知 3 xy ? yz ? zx ?

1 5

3 1 1 25 25 125 ? ? ? ? = 1 ? xy 1 ? yz 1 ? zx 5 ? 3xy ? yz ? zx 5 ? 1 26 5 1 等号成立条件: x ? y ? z ? 5 ?
三、历年好题精选 1、设 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 , x ? R (1)求证: f ? x ? ? 2 (2)若不等式 f ? x ? ?

2b ? 1 ? 1 ? b b

对任意非零实数 b 恒成立,求 x 的取值范围

2、 (2014 吉林九校联考二模,24)已知关于 x 的不等式 ax ? 1 ? ax ? a ? 1? a ? 0? (1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围. 3、 (2015,福建)已知 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c 的最小值为 4 (1)求 a ? b ? c 的值
- 10 -

(2)求

1 2 1 2 a ? b ? c 2 的最小值 4 9

4、 (2015,新课标 II)设 a, b, c, d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (1)若 ab ? cd ,则 a ? b ? (2) a ? b ?

c? d

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件

5、 (2015,陕西)已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 ?x | 2 ? x ? 4? (1)求实数 a , b 的值 (2)求 at ? 12 ? bt 的最大值 6、已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 的最小值为 a (1)求 a 的值 (2)若 p, q, r 是正实数,且满足 p ? q ? r ? a ,求证: p 2 ? q2 ? r 2 ? 3

7、 (2014,江西)对任意的 x, y ? R , x ? 1 ? x ? y ? 1 ? y ? 1 的最小值为( A.
1



B.

2

C.

3

D.

4

8、 (2014,浙江) (1)解不等式: 2 x ? 2 ? x ? 1 ? 3 (2)设正数 a, b, c 满足 abc ? a ? b ? c ,求证: ab ? 4bc ? 9ac ? 36 ,并给出等号成 立条件
9、 (2016,苏州高三调研)设函数 f ? x ? ? x ? (1)证明: f ? x ? ? 2 (2)若 f ? 3? ? 5 ,求实数 a 的取值范围

1 ? x ? a ? a ? 0? a

- 11 -

习题答案: 1、解析: (1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? 2 (2)恒成立不等式为: x ? 1 ? x ? 1 ?

2b ? 1 ? 1 ? b b

? 2?

1 1 ? ?1 b b

? 1 1 ? x ?1 ? x ?1 ? ? 2 ? ? ?1 ? b b ? ?max
? 1 ?3, b ? ?1, ?? ? ? 1 1 1 ?2 设 g ? b ? ? 2 ? ? ? 1 ? ? ? 1, ? ? ?2,0 ? ? ? 0,1? b b b ?b ? 1 ??3, b ? ? ??, ?2? ?

? g ?b?max ? 3

? x ? 1 ? x ? 1? 3
3 2

当 x ? 1 时, 2 x ? 3 ? x ?

当 x ???1,1? 时, x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ? 2 ? 3 不成立 当 x ? ?1 时, ?2 x ? 3 ? x ? ?

3 2

3? ?3 ? ? ? x ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2? ?2 ? ?
1 2

2、解析: (1) a ? 1 时,不等式为 2 x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ?

?x ?1 ?

1 1 1? ?3 ? ? 或 x ? 1 ? ? ,解得 x ? ? ??, ? ? ? , ?? ? 2 2 2? ?2 ? ?

(2)问题转化为 ?x ? R ,不等式 ax ? 1 ? ax ? a ? 1恒成立

? ? ax ? 1 ? ax ? a ?min ? 1
设 f ? x ? ? ax ? 1 ? ax ? a ? ? ax ? 1? ? ? ax ? a ? ? a ? 1

? a ?1 ? 1 ? a ? 2 或 a ? 0
3、解析: (1) f ? x ? ? x ? a ? x ? b ? c ? ? x ? a ? ? ? x ? b ? ? c ? a ? b ? c

?a ? b ? c ? 4
(2) ? a 2 ?

?1 ?4

1 2 1 2 ? ?1 ? b ? c2 ? ? ? 22 ? 32 ? 12 ? ? ? a ? 2 ? b ? 3 ? c ? 1? ? ? a ? b ? c ? ? 16 9 3 ? ?2 ?
- 12 -

2

8 ? a? ? 7 1 ?1 ? b a ? 1 1 16 8 18 ? ? 3 ?c ? a 2 ? b2 ? c 2 ? = ,等号成立条件: ? 2 ? ? ?b ? 3 1 4 9 14 7 7 ? 2 ? ?a ? b ? c ? 4 2 ? ? ?c ? 7 ?
4、解析: (1) a ? b ?

c? d ?

?

a? b

? ??
2

c? d

?

2

? a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd ? ab ? cd ? ab ? cd
从而不等式得证 (2)若 a ? b ? c ? d ,则 ? a ? b ? ? ? c ? d ?
2 2

即 ? a ? b ? ? 4ab ? ? c ? d ? ? 4cd
2 2

?a ? b ? c ? d

? ab ? cd ,由(1)可得 a ? b ? c ? d
若 a? b?

c ? d ,则

?

a? b

? ??
2
2

c? d

?

2

即 a ? b ? 2 ab ? c ? d ? 2 cd ? ab ? cd ? ab ? cd

? ? a ? b ? ? 4ab ? ? c ? d ? ? 4cd ? ? a ? b ? ? ? c ? d ?
2 2

2

? a ?b ? c?d
综上所述: a ? b ?

c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件

5、解析: (1) x ? a ? b ? ?b ? x ? a ? b

?不等式解得: ?a ? b ? x ? b ? a
??a ? b ? 2 ?a ? ?3 ?? ?? ?b ? a ? 4 ?b ? 1
(2)由(1)可得: at ? 12 ? bt ? 12 ? 3t ? t ? 3 ? 4 ? t ? t 由柯西不等式可得:

?

3? 4?t ? t

?

2

?

?? 3 ?

2

? 12 ? ? ? ?

?

?

4?t

? 16 ? ?? t? ? ? ?
2 2

? 3? 4?t ? t ? 4
6、解析: (1) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? x ? 1? ? ? x ? 2 ? ? 3

- 13 -

?a ? 3
(2)由柯西不等式可得:

?p

2

? q 2 ? r 2 ??12 ? 12 ? 12 ? ? ? p ? q ? r ? ? 3 ? p 2 ? q 2 ? r 2 ? ? ? p ? q ? r ?
2

2

?p?q?r ?3

? p 2 ? q2 ? r 2 ? 3

7、答案:C 解析: x ? 1 ? x ? y ? 1 ? y ? 1 ? ? x ? 1? ? x ? ? y ? 1? ? ? y ? 1? ? 3 8、解析: (1)当 x ? 2 时, 2 ? x ? 2? ? ? x ? 1? ? 3解得 x ? 8 当 ?1 ? x ? 2 时, 2 ? 2 ? x ? ? ? x ? 1? ? 3解得 x ? 0 当 x ? ?1 时。 2 ? 2 ? x ? ? ? x ? 1? ? 3 解得 x ? 2 综上所述:解集为 ? ??,0? ? ?8, ??? (2)由 abc ? a ? b ? c 可得:
1 1 1 ? ? ?1 bc ac ab
??1 ? x ? 0
?x ? ? 1

?由柯西不等式可得:
1 1 1 ? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ab ? ? 4bc ? ? 9ac ? ? ab ? 4bc ? 9ac ? ? ? ? ? 36 ? ? ab bc ac ? ? ab bc ac ? ?
2

等号成立条件: a ? 2, b ? 3, c ? 1
9、解析: (1) f ? x ? ? f ? x ? ? x ?

1 1? 1 ? ? a ? x ? ? x ? ? ? ?a ? x? ? a ? ? 2 a a? a ?

(2)? f ? 3? ? 5 即 3 ?

1 ? 3? a ? 5 a
1 ? 3 ? a ? 5 ? a 2 ? 5a ? 1 ? 0 a

a ? 3 时,不等式转化为: f ? 3? ? 3 ?
解得: 3 ? a ?

5 ? 21 2
1 ? 5 ? a2 ? a ? 1 ? 0 a

当 0 ? a ? 3 时, f ? 3? ? 6 ? a ?

解得:

1? 5 ?a?3 2

- 14 -

综上所述:不等式的解集为: ?

? 1 ? 5 5 ? 21 ? ? 2 , 2 ? ? ? ?

- 15 -


推荐相关:

71东北师大附属中学高三第一轮复习教案-不等式选讲(2)

71东北师大附属中学高三第一轮复习教案-不等式选讲(2)_数学_高中教育_教育专区。东北师大附中 2014-2015 高三数学(理)第一轮复习导学案 071 一、 基本知识点:...


选修4-5 《不等式选讲》全册教案

选修4-5 《不等式选讲》全册教案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。renjiaoban...2 五、教学总体建议 1、回顾并重视学生已学知识 学习本专题,学生已掌握的知识...


不等式选讲

选修4--5 不等式选讲 一、课程目标解读 选修系列 4-5 专题不等式选讲,内容...2.含有绝对值的不等式 理解绝对值的几何意义,理解绝对值三角不等式,会解绝对值...


2015年高考数学(文科)第二轮复习专题二、三选一 不等式选讲

2015年高考数学(文科)第二轮复习专题二、三选一 不等式选讲_数学_高中教育_教育...2015 年高考文科数学专题复习导学案专题二 选修系列第二节一、知识归纳总结: 2...


不等式选讲导学案

不等式选讲导学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。选修4-5 不等式选讲 ...理解并掌握不等式的性质,能灵活运用实数的性质 2. 掌握比较两个实数大小的一般...


不等式选讲课后题答案

不等式选讲课后题答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学 A 版 4-5 课后题答案 高中数学 A 版 4-5 课后题答案 今日推荐 81...


选修4-5 不等式选讲

选修4-5 不等式选讲 隐藏>> 【2013 年高考会这样考】 1.考查含绝对值不等式的解法. 2.考查有关不等式的证明. 3.利用不等式的性质求最值. 【复习指导】...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修4-5 不等式选讲

选修4-5 不等式选讲 1.两个实数大小关系的基本事实 a>b?___;a=b?___;ab,那么___;如果___,那么 a>b.即 a>b?___. (2)传递性:如果 a>b,b>...


2016年高考文科数学—不等式选讲

若定义在某区间上的函数 f ( x ) ,对于定义域中任意两点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ), 有 2 2015 年高考文科数学——不等式选讲 f( x1 ? x2 f ( x1...


高三数学 选修系列不等式选讲

高三数学 选修系列不等式选讲_高三数学_数学_高中教育_教育专区。选修系列 第二...2.热点提示 (1)以选择题的形式考查绝对值不等式,同时与不等式的性质相结合;...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com