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浙江省浙江大学附属中学2016届高三全真模拟理科数学试卷


浙大附中 2016 年高考全真模拟试卷

数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分,考试时间为 120 分钟. 参考公式: 柱体的体积公式 V ? Sh 锥体的体积公式 V ? 1 Sh
3

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 其中 S1,S2 分别表

示台体的上,下底面积 其中 R 表示球的半径,h 表示台体的高 其中 R 表示球的半径

台体的体积公式 V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 )
3

球的表面积公式 S ? 4? R2 球的体积公式 V ? 4 ? R 3 3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.请 将你认为正确的选项答在指定的位置上) 1.设 A ? ? x | (A) 2.

? ?

1 ? ? x ? 5, x ? Z ? , B ? ?x | x ? a? ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 2 ?
(B) a ? 1 (C) a ?

a ?1

已知 a, b ? R ,下列四个条件中,使 a ? b 成立的必要而不充分的条件是 (A) a ? b ? 1 (B) a ? b ? 1 (C) | a | ? | b |
a

1 2

(D) a ?

1 2
b

(D) 2 ? 2

3. 已知 sin ? ? cos ? ?

? 2 , ? ? (0, ? ) ,则 sin(? ? ) 的值为 12 3
(B)

(A)

3?2 2 6

3?2 2 6

(C)

1? 2 6 6

(D)

1? 2 6 6

4.已知数列 {a n } 中满足 a1 ? 15 , (A) 10

a an?1 ? an ? 2 ,则 n 的最小值为 n n
(C)9 (D)
27 4

(B) 2 15 ? 1

5.若实数 a,b,c 满足 log a 2 ? logb 2 ? logc 2 ,则下列关系中不可能成立 的是 ..... (A) a ? b ? c (B) b ? a ? c (C) c ? b ? a (D) a ? c ? b

6.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中, 则 (A)存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直
-1-

(B)存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 (C)存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 (D)对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 7.如图, F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的 a2 b2
F1

y P

左、 右焦点, 经过右焦点 F2 的直线与双曲线 C 的右支交于 P, Q 两点,且 PF2 ? 2 F2 Q , PQ ? F1Q ,则双曲线 C 的离心率是

O Q

F2

x

(A)

2

(B) 3

10 (C) 2

17 (D) 3

(第 7 题图)

第 7题

8.已知从点 P 出发的三条射线 PA , PB , PC 两两成 60 ? 角,且分别与球 O 相切于 A , B , C 三点.若 球 O 的体积为 36π ,则 O , P 两点间的距离为 (A) 3 2 (B) 3 3 (C)3 (D)6

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题(本题共 7 道小题, 共 36 分;将答案直接答在答题卷上指定的位置) 9.已知首项为 1,公差不为 0 的等差数列 ?a n ? 的第 2,4,9 项成等比数列,则这个等比数列的公比 q ? ▲ ;等差数列 ?a n ? 的通项公式 an ? ▲ ;设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn = ▲ .

?2x ? y ? 2 ? 0 ? 10. 若 实 数 x , y 满 足 : ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 x , y 所 表 示 的 区 域 的 面 积 为 ? x ? 3 y ? 11 ? 0 ?
,则实数 t 的取值范围为 ( t ?? 1 ) xt ( ? 2 ) y ? t ? 0 ▲ .



,若 x,y 同时满足

11. 已知某几何体的三视图如右图所示(长度单位为: 则该几何体的体积为 ▲ cm ,表面积为 ▲ cm . 12. 已知直线 l 的方程是 x ? y ? 6 ? 0 ,A,B 是直线 l 点,且△OAB 是正三角形(O 为坐标原点) ,则△OAB 外 程是 ▲ .
?

cm ) ,

3

2

上 的 两 接圆的方
(第 11 题图)

13. 在平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 60 , AB ? 1 ,

AD ? 3 , P 为平行四边形内一点, AP ?

??? ??? ??? ? 3 ,若 AP ? ? AB ? ? AD(? ,? ? R) ,则 ? ? 3? 的最 2
-2-

大 值为 ▲



14.设 a , b 为正实数,则

a b ? 的最小值为 ▲ a ? 2b a ? b

.

15.设函数 f ( x) ? x2 (0 ? x ? 1) ,记 H ( a, b) 为函数 f ( x ) 图象上点到直线 y ? ax ? b 距离的最大值,则

H (a, b) 的最小值是





三、解答题: (本大题共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 16. (本题 15 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且 (Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若角 B ?

2b ? 3c cos C ? . cos A 3a

π , BC 边上的中线 AM ? 7 ,求 ?ABC 的面积. 6

-3-

17. (本题 15 分)如图,在底面为平行四边形的四棱

P



P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且
PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.
D
C (第 17 题图)

E

A

B

18. (本题 15 分)已知函数 f ?x ? ?

1 ? kx ? b ,其中 k , b 为实数且 k ? 0 x?2

(Ⅰ)当 k ? 0 时,根据定义证明 f ?x ? 在 ?? ?,?2? 单调递增; (Ⅱ)求集合 M k ? { b | 函数 f ( x) 由三个不同的零点}.

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左,右顶点, a 2 b2 B(2,0),过椭圆 C 的右焦点 F 的直线交于其于点 M, N, 交直线 x ? 4 于点 P , 且直线 PA , PF , PB 的斜率成等差数列.
19. (本题 15 分)已知 A, B 是椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

y M A O N
(第 19 题图)

P

S (Ⅱ)若记 ?AMB, ?ANB 的面积分别为 S1 , S 2 求 1 的取值范围. S2

F B l

x

20. (本题 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 1 ? an ? n ? N *? . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ?

1 1 1 ? ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn ? 2n ? . 1 ? an 1 ? an ?1 5

数学(理科)答案
一、AAAD,ABDB 5 n(3n ? 1) 二、9、 ,3n-2, ; 2 2 12、 ( x ? 2)2 + ( y ? 2)2 =8; 10、 13、1;
?4 ? 5 ? , ? ?2, ? ; 3? 2 ?

11、16,34+6 5 ; 15、
2 。 16

14、2 2 -2;

-4-

16. 解析: (1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , 由正弦定理得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin Acos C , 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A ? 3sin ? A ? C ? . 因为 B=?-A-C ,所以 sinB ? sin ? A ? C ? , 所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B ? (0,? ) ,所以 sinB ? 0, ?????2 分 ?????4 分

? 3 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 6 2 2? π (2)由(1)知 A ? B ? ,所以 AC ? BC , C ? . 3 6 1 设 AC ? x ,则 MC ? x ,又 AM ? 7. 2 在 ? AMC 中,由余弦定理 得 AC 2 ? MC 2 ? 2 AC ? MC cos C ? AM 2 , x 2 x 2 o 2 2 即 x ? ( ) ? 2 x ? ? cos120 ? ( 7) , 解得 x=2.? 2 2 1 2? S?ABC ? x2 sin ? 3. 2 3 故
所以 cos A ?

?????7 分 ?????.8 分

17. 解: (Ⅰ)连接 BD 交 AC 于点 F , 因为 ABCD 是平行四边形,对角线互相平分, 所以 F 是 BD 中点, 点 E 是 PD 中点,所以 EF // PB , 又 PB ? 平面 AEC ,所以 PB // 平面 AEC ;----7 分 (Ⅱ)取 AD 中点 G ,连接 EG , PA ? 平面 ABCD , EG // PA , EG ? 平面 ABCD , ? EG ? AC ,-----------9 分 连接 GF ? GF // AB , AB ? AC , ? GF ? AC ,? EF ? AC ----------------------------------11 分 ? 二面角 E ? AC ? D 的平面角就是 ?EFG ,------------------12 分 令 PA ? AB ? 2 , 在 Rt ?EFG 中 EG ? 1 , FG ? 1 ,? ?EFG ?

?

4 又二面角 E ? AC ? B 的大小与二面角 E ? AC ? D 的大小互补 3 --------------------15 分 ? 二面角 E ? AC ? B 的大小为 ? 4
18. 解: (1)证明:当 x ? (??, ?2) 时, f ( x ) ? ? 任取 x1 , x2 ? (??, ?2) ,设 x2 ? x1 .

,------------14 分

1 +kx ? b .……1 分 x?2

? ? ? ? 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? ? x ? 2 ? kx1 ? b ? ??? ? ? x ? 2 ? kx2 ? b ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? ( x1 ? x2 ) ? ? k? . ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 1 ? 0 ,又 k ? 0 , 由所设得 x1 ? x 2 ? 0 , ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
-5-

∴ f ( x) 在 (??,?2) 单调递增. (2)解法一:函数 f ( x ) 有三个不同零点,即方程 方程化为: ?

1 +kx+b ? 0 有三个不同的实根. x?2

? x ? ?2 ? x ? ?2 与 . ? 2 2 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0 ?kx ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) ? 0

记 u( x) ? kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ? 1) , v( x) ? kx2 ? (b ? 2k ) x ? (2b ?1) . ⑴当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向上. 由 v(?2) ? ?1 ? 0 知 v( x) 在 (??,?2) 有唯一零点. 为满足 f ( x ) 有三个零点, u ( x) 在 (?2,??) 应有两个不同零点.

? ? u ( ?2) ? 0 ? 2 ∴ ?(b ? 2k ) ? 4k ( 2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 k . ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ? ⑵当 k ? 0 时, u( x), v( x) 开口均向下. 由 u(?2) ? 1 ? 0 知 u ( x) 在 (?2,??) 有唯一零点.为满足 f ( x ) 有三个零点, v( x) 在 (??,?2) 应有两个不同零点.
? ? v ( ?2 ) ? 0 ? 2 ∴ ?(b ? 2k ) ? 4k ( 2b ? 1) ? 0 ? b ? 2k ? 2 ? k . ? b ? 2k ? ? ?2 ? 2k ?
综合⑴⑵可得 M k ? b | b ? 2k ? 2 | k | .

?

?

19.解: (Ⅰ)令 P(4, y0 ), F (c,0), 由题意可得 a ? 2, A(?2,0), B(2,0). ?????2 分

? 2k PF ? k PA ? k PB ,

?

2 y0 y y ? 0 ? 0 , 4?c 4?2 4?2

?????4 分

? c ? 1.
? 椭圆方程为

?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3.
x2 y2 ? ? 1. 4 3
?????6 分

(Ⅱ) 令M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, 由方程组 ? ? x ? my ? 1,

消 x, 得

(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0,
? y1 ? y 2 ? ? 6m , 3m 2 ? 4


-6-

?9 , ② 3m 2 ? 4 y1 y 2 ? 4m 2 2 ① /②得 ? ?2? , y 2 y1 3m 2 ? 4 y1 y2 ?
2

?????9 分

令t ?

16 1 1 10 m ? 8 10 3 , 则t ? ? t ? ? ? ? 2 2 t t 3m ? 4 3 3m ? 4

y1 , y2

????11 分

?2 ? t ?

1 10 1 ? ,即 ? t ? 3. t 3 3

????? 13 分

1 AB y1 S ?AMB 2 ? ? ? t, S ?ANB 1 AB y 2 2 S 1 ? ?AMB ? ( ,3) S ?ANB 3

?????15 分

20.【解析】⑴ ∵ Sn ? 1 ? an ? n ? N *? ,∴ Sn?1 ? 1 ? an?1 ,作差得: an ?1 ?

1 an ? n ? N *? , 2

1 1 ,故 an ? n ? n ? N *? . 2 2 1 ⑵ 由已知得:当 n ? 1 时, P ,结论成立, 1 ? 2 ? 2? 5
又当 n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, Pn ? ?

? 1 ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? 1 ? a1 1 ? a2 ? ? 1 ? a2 1 ? a3 ? ? 1 ? an 1 ? an?1 ?

?

n ? 1 ? 1 ? ? 1 1 1 ? 1 ? 1 2 1 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 1 2 ? 1 ? a1 ? 1 ? a2 1 ? a2 ? i ? 2 ? 1 ? ai ? 1 ? n ?1 ? 1 ? an 1 ? an ? 1 ? an ?1 3 2

n n ? 4i ? 2 2n?1 2 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2? ? i ? ? n?1 ? ? 2? ?1 ? i ? ? ??? n ?1 ? 3 2 ?1 3 4 ?1 ? ? 2 ?1 ? i ?2 ? 4 ? 1 ? i ?2 ?

?

2 2 1 ? 2 2 1 ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? ??? n?1 ? ? ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? 1 ? 2n ? ,结论也成立, 3 4 ?1 ? 2 ?1 ? 3 4 ?1 5
1 都成立. 5

综上知,对 ?n ? N * , Pn ? 2n ?

-7-


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