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2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷及答案


2014 全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
(考试时间:2014 年 7 月 5 日上午 9:00—11:30) 题号 得分 评卷人 复核人 注意: 1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 2. 3. 函数 y = x 2 + 2x + 3 ( x ∈ R ) 的值域是 x 2 + 4x +

5 . . 一 二 9 10 11 12 总分

2.请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器.

函数 y = tan(2013 x) ? tan(2014 x) + tan(2015 x) 在 [0, π ] 中的零点个数是

设定点 A(2,1) ,动点 B 在 x 轴上,动点 C 在直线 y = x 上,则 ?ABC 的周长的最小值 是 .

4.

设 P1 , P2 是平面上两点, P2 k +1 是 P2 k 关于 P1 的对称点, P2 k + 2 是 P2 k +1 关于 P2 的对称点,
k ∈ N * .若 P1 P2 = 1 ,则 P2013 P2014 =

. .

5.

已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示,则其体积是

6. 7.

设复数 z 满足 z +

1 ≤ 2 ,则 z 的取值范围是 z



设动点 P (t ,0), Q(1, t ) ,其中参数 t ∈ [0,1] ,则线段 PQ 扫过的平面区域的面积 是 . .

8.

从正 12 边形的顶点中取出 4 个顶点,它们两两不相邻的概率是

二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题 22 分,共 86 分) 9. 已知正实数 x, y, z 满足 x + y + z = 1 .求证: z?y x?z y?x + + ≥ 0. x + 2 y y + 2z z + 2x

10. 设数列 {a n } 满足 a1 = 1, a n +1

2 an +3 = , n ≥ 1 .求证: 2a n

(1) 当 n ≥ 2 时, a n 严格单调递减. (2) 当 n ≥ 1 时, a n +1 ? 3 = 2 3 r2
n n

1? r2

,这里 r = 2 ? 3 .

11. 已知平面凸四边形 ABCD 的面积为 1.求证: AB + AC + AD + BC + BD + CD ≥ 4 + 2 2 .

12. 求证 :(1)方程 x 3 ? x ? 1 = 0 恰有一个实根 ω ,并且 ω 是无理数; (2) ω 不是任何整数系数二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ Z, a ≠ 0) 的根.

填空题答案
① [ 2 ? 2 ,2 + 2 ] ⑥ [ 2 ? 1, 2 + 1] ②2014 ⑦
1 6

③ 10 ⑧
7 33

④4024



2 3

填空题解答
x 2 + 2x + 3 1. y = 2 ? 关于 x 的方程 ( y ? 1) x 2 + (4 y ? 2) x + (5 y ? 3) = 0 有实根 x + 4x + 5 ? (2 y ? 1) 2 ? ( y ? 1)(5 y ? 3) ≥ 0 ,化简得 y 2 ? 4 y + 2 ≤ 0 , 2 ? 2 ≤ y ≤ 2 + 2 .

2. y = tan(2013 x) ? tan(2014 x) + tan(2015 x)
sin( 2013 x) cos(2015 x) + cos(2013 x) sin( 2015 x) sin( 2014 x) ? cos(2013 x) cos(2015 x) cos(2014 x) sin( 4028 x) sin( 2014 x) = ? cos(2013x) cos(2015 x) cos(2014 x) 2 sin( 2014 x) cos(2014 x) sin( 2014 x) = ? cos(2013 x) cos(2015 x) cos(2014 x) =

sin( 2014 x)[2 cos 2 (2014 x) ? cos(2013 x) cos(2015 x)] cos(2013 x) cos(2014 x) cos(2015 x) sin( 2014 x)[1 + cos(4028 x) ? cos(2013 x) cos(2015 x)] = cos(2013x) cos(2014 x) cos(2015 x) sin( 2014 x)[1 ? sin( 2013 x) sin( 2015 x)] = cos(2013 x) cos(2014 x) cos(2015 x)
=

由 y 的定义域可知 sin( 2013 x) sin( 2015 x) ≠ 1 ,因此 y 的零点为
x= kπ 但 当 k=1007 时函数无定义, 因此 y 在 [0, π ] 中共有 2014 , k = 0,1, ? ,2014. 。 2014

个零点.

3.设 P (2,?1) 是 A 关于 x 轴的对称点,Q(1,2) 是 A 关于直线 y = x 的对称点,则 ?ABC 的 周长等于 PB + BC + CQ ≥ PQ = 10 .

? P2 k + 2 = 2k ( P2 ? P1 ) + P2 ? P2 k +1 = 2 P1 ? P2 k 4. ? . ? P2 k + 2 = 2( P2 ? P1 ) + P2 k ? ? ? P2 k +1 = 2k ( P1 ? P2 ) + P2 ? P2 k + 2 = 2 P2 ? P2 k +1 从而, P2 k +1 P2 k + 2 = 4k P1 P2 .特别, P2013 P2014 = 4024 .

5.以图示坐标系为 Oxy 平面,建立空间直角坐标系.根据展开图及其对称性,可设 A(3, y, z ) , B(3,4,0) , C (2,2,0) , D(4,2,0) . ? 5 = AB = ( y ? 4) 2 + z 2 S ?z 2 ?y = 2 ? 由? ,解得 ? .因此, V ABCD = BCD = . 2 2 z = ± 1 3 3 ? ? ? 2 = AC = 1 + ( y ? 2) + z

6.设 z = r ,则有 1 ? r 2 ≤ 1 + z 2 ≤ 2r ,即 (1 ? r 2 ) 2 ≤ 4r 2 . 由此解得 3 ? 2 2 ≤ r 2 ≤ 3 + 2 2 , 2 ? 1 ≤ r ≤ 2 + 1 .

7.直线 PQ 的方程为 y =

t ( x ? t ) .固定 x ∈ [0,1] ,当 t ∈ [0, x] 变化时, 1? t

? ?1? x y = 2? x?? + 1 ? t ? 的取值范围是 0 ≤ y ≤ 2 ? x ? 2 1 ? x . ? ? 1? t

所求平面区域的面积 = ∫ 2 ? x ? 2 1 ? x dx =
0

1

(

)

1 . 6

4 8.从 12 个顶点中取出 4 个顶点的取法总数为 C12 .把正 12 边形的顶点依次编号 1~12,

设被取出的 4 个顶点的编号从小到大为 a, b, c, d .若它们两两不相邻,则有
x = b ? a ? 2 ≥ 0,y = c ? b ? 2 ≥ 0,z = d ? c ? 2 ≥ 0
3 当 a = 1 时,满足 d ≤ 11 即 x + y + z ≤ 4 的 ( x, y, z ) 共有 C 7 = 15 个; 3 当 a ≥ 2 时,满足 d ≤ 12 即 x + y + z ≤ 6 ? a 的 ( x, y, z ) 共有 C 9 ? a 个.

3 3 3 3 3 3 C7 + C7 + C6 + C5 + C4 + C3 105 7 因此,两两不相邻的概率为 . = = 4 495 33 C12

9-12 题解答
9.根据均值(或柯西)不等式 ? 1 1 1 ? (( x + 2 y ) + ( y + 2 z ) + ( z + 2 x))? ? x + 2 y + y + 2z + z + 2x ? ? ? ?

≥ 9 ? 3 ( x + 2 y )( y + 2 z )( z + 2 x) ? 3
从而

1 1 1 =9 x + 2 y y + 2z z + 2x

-----10 分

? 1 1 1 ? ( x + y + z )? + + ? x + 2 y y + 2z z + 2x ? ? ≥ 3. ? ?
因此

-----15 分

z?y x?z y?x x+ y+z x+ y+z x+ y+z + + = + + ? 3 ≥ 0. . x + 2 y y + 2z z + 2x x + 2y y + 2z z + 2x (注:本题条件 x + y + z = 1 是多余的) 。

-----21 分

10. (1)当 n ≥ 2 时,根据平均不等式, a n = 由于 a n 都是有理数,故 a n > 3 . 从而 a n +1 ? a n =

2 an ?1 + 3 ≥ 3. 2a n ?1

-----5 分

2 3 ? an < 0 ,即 a n 严格单调递减. 2a n
2

-----10 分

(2)由 a n +1

a2 + 3 a ? 3 ? an ? 3 ? ? . 可得 n +1 = n =? ? 2a n a n +1 + 3 ? a 3 + ? n ?

-----16 分

由此得

a n +1 ? 3 a n +1 + 3

= r 2 ,其中 r =
n

n

a1 ? 3 a1 + 3

= 2? 3. r2
n

解得 a n +1 = 3

1+ r2 1? r2

n

, a n +1 ? 3 = 2 3

1? r2

n



-----21 分

11.假设凸四边形 ABCD 满足

L = AB + AC + AD + BC + BD + CD 最小.此时
ABCD 一定是菱形,否则如图所示,可固定两对角

点(不妨设是 B, D ) ,过 A,C 分别做 BD 的平行线, 调整另外两点 A, C 的位置,使它们分别位于两平行 线上,则 ?ABD 和 ?CBD 的面积都不变,但 L 变大.从而 AB=AD, BC=CD.类似地, AB=BC, CD=DA. 即 ABCD 是菱形-----12 分

设菱形 ABCD 的两条对角线长度分别是 x, y ,则 xy = 2 , L = x + y + 2 x 2 + y 2 .根 据平均不等式, L = x + y + 2 x 2 + y 2 ≥ 2 xy + 2 2 xy = 4 + 2 2 . 当 x = y = 2 时, L 取得最小值 4 + 2 2 . -----22 分

? 1 ? 1 12. (1)设 f ( x) = x 3 ? x ? 1 ,则 f ′( x) = 3 x 2 ? 1 . f ( x) 在 ? ? ? ? ∞, ? ? 单调增,在 x = ? 3? 3 ? 处取得极大值 2 ? 1 1 ? 1 处取得极小值 , ? ? 1 < 0 ,在 ? ?? ? 单调减,在 x = 3 3? 3 3 3 ? 2

?

? 1 ? ? ? 1 < 0 ,在 ? ? ? ∞, ? ? 单调增.再由 f (1) = ?1 < 0,f (2) = 5 > 0 知, 3? 3 3 ? -----8 分

方程 f ( x) = 0 有唯一的实根 ω ∈ (1,2 ) . 假设 ω =

m ,其中 m, n 是互素的正整数,则 m 3 = n 2 (m + n) ? n 2 | m 3 ? n = 1 ,即 ω n -----13 分

是整数,这与 ω ∈ (1,2 ) 矛盾.因此, ω 是无理数. (2)假设 ω 还满足 aω 2 + bω + c = 0 (a, b, c ∈ Z, a ≠ 0) ,则有
2 ? ?aω + bω + c = 0 (1) . 将第(1)式乘 ω 减去第(2)式乘 a 得 ? 3 ? ? ? 1 = 0 ( 2 ) ω ω ?
2 ? (3) ? aω + bω + c = 0 .将第(4)式乘 a 减去第(3)式乘 b 得 ? 2 ? + ( + ) + = 0 ( 4 ) b a c a ω ω ?

(a 2 + ac ? b 2 )ω + (a 2 ? bc) = 0. 由于 ω 为无理数,故

2 2 ? ?a + ac ? b = 0 ? 2 ? ?a ? bc = 0

由 a ≠ 0 知 bc ≠ 0 .把 b = 这与 ω 是无理数矛盾.

a3 a a2 a 代入 a 2 + ac ? b 2 = 0 ,得 3 = + 1 ,从而 ω = , c c c c -----22 分


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