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选修4-2矩阵变换(理科)


第8讲
【知识梳理】
1.线性变换与二阶矩阵

矩阵变换(理科)

? ?x′=ax+by, 在平面直角坐标系 xOy 中,由? (其中 a,b,c,d 是常数)构成的变换称为线性变 ?y′=cx+dy, ? ?a b?称为________, 换. 由四个数 a, b, c, d 排成的正方形数表? 其中 a, b, c, d 称为矩阵的________, ? ?c d ? 矩阵通常用大写字母 A,B,C,…或(aij)表示(其中 i,j 分别为元素 aij 所在的行和列). 2.矩阵的乘法 ?b11? ?b11? ?a b?与列矩阵 行矩阵[a11a12]与列矩阵? ?的乘法规则为[a11a12]? ?=[a11b11+a12b21], 二阶矩阵? ? ?b21? ?b21? ?c d ? ?x?的乘法规则为?a b??x?=?ax+by?.矩阵乘法满足结合律,不满足交换律和消去律. ?? ? ?? ? ? ? ?y? ?c d??y? ?cx+dy ? 3.几种常见的线性变换 ?1 0?; (1)恒等变换矩阵 M=? ? ?0 1? (2)旋转变换 Rθ 对应的矩阵是 M=_____________________________________________; ?1 0 ? (3)反射变换要看关于哪条直线对称.例如若关于 x 轴对称,则变换对应矩阵为 M1=? ?; ?0 -1? 若关于 y 轴对称,则变换对应矩阵为 M2=__________;若关于坐标原点对称,则变换对应矩阵 M3= ____________; ?k1 0?,表示将每个点的横坐标变为原来的________倍,纵坐 (4)伸压变换对应的二阶矩阵 M=? ? ?0 k2? 标变为原来的________倍,k1,k2 均为非零常数; (5)投影变换要看投影在什么直线上,例如关于 x 轴的投影变换的矩阵为 M=__________; (6)切变变换要看沿什么方向平移,若沿 x 轴平移|ky|个单位,则对应矩阵 M=__________,若沿 y ?1 0?.(其中 k 为非零常数). 轴平移|kx|个单位,则对应矩阵 M=? ? ?k 1 ? 4.线性变换的基本性质 ?x? ?x1? ?x2? 设向量 α=? ?,规定实数 λ 与向量 α 的乘积 λα=__________;设向量 α=? ?,β=? ?,规定向 ?y? ?y1? ?y2? 量 α 与 β 的和 α+β=__________. (1)设 M 是一个二阶矩阵,α、β 是平面上的任意两个向量,λ 是一个任意实数,则 ①M(λα)=__________,②M(α+β)=______________________________. (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点). 5.逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵 A、B,若有 AB=BA=E,则称 A 是可逆的,B 称为 A 的逆矩阵; (2)若二阶矩阵 A、B 均存在逆矩阵,则 AB 也存在逆矩阵,且(AB) =_________. 6.特征值与特征向量 设 A 是一个二阶矩阵,如果对于实数 λ,存在一个非零向量 α,使 Aα=λα,那么 λ 称为 A 的一个 特征值,而 α 称为 A 的属于特征值 λ 的一个特征向量.
-1

1

【考点讲解】
1.矩阵 ?
?0 ? 1? ? 的逆矩阵是 ?1 0 ?

2.已知矩阵 A ? ?

?2 1 ? a 2 ? ? 是不可逆矩阵,则实数 a 的值是 ?1 a ? 1 ?

?1 3.已知矩阵 A=? ?0

0? ?0 ?,B=? 2? ?1

-1? ?,求(AB)-1. 0?

4.点先通过矩阵 M 1 ? ?0 1 ? 后通过矩阵 M 2 ? ?0 1 ? 的变换效果相当于另一变换矩阵是 ? ? 3? 2? ? ? ? ?

?1

0?

?1

0?

? 2? ? ?1 4 ? 5.已知 M ? ? , N ? ? ? ,求满足 MX ? N 的二阶方阵 X . ? ? 1 ?3? ? 4?

2

6.将点(2,4)先经过矩阵?

?1 0?变换后,再绕原点逆时针旋转 90° 角所得的点坐标为________ ? ?0 2?

7.已知矩阵 A=?

?1 1?,向量 β=?1?.求向量 α,使得 A2α=β. ? ? ? ?2 1? ?2?

8.在平面直角坐标系 xOy 中, 设椭圆 4x2+y2=1 在矩阵 A=? 的方程.

?2 0?对应的变换下得到曲线 F, 求曲线 F ? ?0 1?

1 9.已知矩阵 M=? ?b

a? ?c 1?,N=?0

2? ? 2 d?,且 MN=?-2

0? 0?.

(1)求实数 a、b、c、d 的值; (2)求直线 y=3x 在矩阵 M 所对应的线性变换作用下的像的方程.

3

? 1 2? 10.矩阵 A=? ?的特征值为_______. ?-1 4?

? 3 11.已知矩阵 M=?-1

-1? 3 ?,求 M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量.

?2 12.已知矩阵 M=? ?2 求: (1)实数 a 的值;

a? ?, 其中 a∈R, 若点 P(1, -2)在矩阵 M 的变换下得到点 P′(-4,0), 1?

(2)矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量.

4

?1 13.已知 M=? ?2

2? ?1? ?,β=? ?,计算 M5β. ?7? 1?

? 1 14.已知矩阵 A=? ?-1 (1)求矩阵 A;

a? ?2? ?,A 的一个特征值 λ=2,其对应的特征向量是 α1=? ?. ?1? b?

?7? (2)若向量 β=? ?,计算 A5β 的值. ?4?

5

【巩固提升】
1.将图形绕原点逆时针旋转 60 ? 的矩阵是__________ 2. 表示 x 轴的反射变换的矩阵是

1? 3.已知矩阵 A 将点(1,0)变换为(2,3),且属于特征值 3 的一个特征向量是? ?1?,求矩阵 A.

?1 4.已知矩阵 A=? ?3

-2? ?.(1)求逆矩阵 A-1; -7?

?3? (2)若矩阵 X 满足 AX=? ?,试求矩阵 X. ?1?

5.设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变换. (1)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (2)求逆矩阵 M
-1

x2 y2 以及椭圆 4 + 9 =1 在 M-1 的作用下的新曲线的方程.

?2 6.已知矩阵 M=? ?3

1? ?. 4? (2)求矩阵 M 的特征值及特征向量.

(1)求矩阵 M 的逆矩阵;

6


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