tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高二数学 >>

高中数学竞赛训练题一


数学竞赛训练题一
一.选择题(每小题 6 分,共 36 分) 选择题( 1. 如果 x > 0, y > 0, log x y + log y x =

10 , xy = 144 , 那么 x + y 的值是 ( 3



A.20 3

B.26 3

C.24 3

D.10 3
( )

2. 设函数 f ( x) = a ?| x| ( a > 0且a ≠ 1) ,f(-2)=9,则 A. f(-2)>f(-1) C. f(1)>f(2) B. f(-1)>f(-2) D. f(-2)>f(2)

3.已知二次函数 f ( x) 满足 f (1 ? x) = f (1 + x), ?4 ≤ f (1) ≤ ?1, ?1 ≤ f (2) ≤ 5, 则

f (3) 的取值范围是(
A.

) B.

7 ≤ f (3) ≤ 26 28 25 ≤ f (3) ≤ 3 3

?4 ≤ f (3) ≤ 15

C.

?1 ≤ f (3) ≤ 32

D.

?

4.如图 1,设 P 为△ABC 内一点,且 AP = 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为 A.

uuu r

r 2 uuu 1 uuur AB + AC , 5 5

( )

1 5

B.

2 5

C.

1 4

D.

1 3

5. 设在 xoy 平面上, 0 < y ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 所围成图形的面积为

1 ,则集合 3

M = {( x, y ) || y | ? | x |≤ 1} , N = {( x, y ) || y |≥ x 2 + 1} 的交集 M ∩ N 所表示图形
的面积是( A.
1 3

)
B. 2 3 C. 1 D. 4 3

6.方程 x +
A.1 组

2006 = 2007 的正整数解 ( x, y ) 的组数是( y
C. 4 组 D. 8 组



B. 2 组

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分) 填空题( 7.函数 f ( x ) = log 1 ( x ? 5 x + 6) 的单调递增区间为
2 3

.

8.已知 5 sin 2α = sin 2 ,则
0

tan(α + 10 ) 的值是_____________________. tan(α ? 10 )

9.设 {an } 是一个等差数列,a1 = 19, a21 = 3, 记 An = an + an +1 + LL + an + 6 , An 则 的最小值为 10.函数 f ( x ) 满足 f (1) = 1003 ,且对任意正整数 n 都有

f (1) + f (2) + LL + f (n) = n 2 f (n) ,则 f (2006) 的值为

?y ≥ 0 ? 2 2 11..已知 ?3 x ? y ≥ 0 ,则 x +y 的最大值是 ?x + 3 y ≤ 0 ?
12.对于实数 x,当且仅当 n≤x<n+1(n∈N+)时,规定[x]=n,则不等式

4[ x] 2 ? 36[ x] + 45 < 0 的解集为
三.解答题(每小题 20 分,共 60 分) 解答题(

? ? ? 2a ? ? ? 13.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ≥ ?2 ? ,B= ? x > 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的 ? x?a ? ? ? 2 ? ?
取值范围.

14.三角形 ABC 的顶点 C ( x, y ) 的坐标满足不等式 x + y ≤ 8 + 2 y, y ≥ 3 .边 AB
2 2

在横坐标轴上.如果已知点 Q(0,1)与直线 AV 和 BC 的距离均为 1,求三解形 ABC 面积 的的最大值.

15.设函数 y = f ( x) 的定义域为 R,当 x < 0 时, f ( x ) > 1 ,且对任意实数 x, y , 有 f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) 成立,数列 {an } 满足 a1 = f (0) 且

f (an +1 ) =

1 (n ∈ N * ). f (?2 ? an )

(1)求 a2008 的值; (2)若不等式 (1 +

1 1 1 )(1 + ) LL (1 + ) ≥ k 2n + 1 对一切 n ∈ N * 均成立,求 a1 a2 an

k 的最大值.

数学竞赛训练题一参考答案
1.B 7. ( ?∞, ?2) 10. 2.A 3.C 8. ? 4.A 5.B 9. 6.D

3 .. 2

7 5

1 2007

11. 9

12. 2 ≤ x < 8

13. 解:a∈(-1,0)∪(0,3)

14.解:点 C 在如图的弓形区域内.设 A( a1 , 0), B ( a2 , 0), C ( x0 , y0 ) ,由点 Q 到直线 AC,BC 的距离等于 1 得

( y0 ? 2)a12 + 2 x0 a1 ? y0 = 0, ( y0 ? 2)a2 2 + 2 x0 a2 ? y0 = 0.
这说明 a1 , a2 是方程 ( y0 ? 2) a + 2 x0 a ? y0 = 0 的 2 个根.所以
2

AB = (a1 + a2 )2 ? 4a1a2 =

4[ x0 2 + y0 ( y0 ? 2)] , ( y0 ? 2)2

这里 y0 ∈ [3, 4] .首先固定 y0 ,欲使 AB 最大,需

x 2 = 9 ? ( y0 ? 1) 2 .
因此当 y0 ∈ [3, 4] 为某一定值时,点 C 应位于弓形弧上.所以

S ?ABC =

1 1 4 2 AB ? y0 ≤ y0 ≤ 6 2( y0 = 3 时取等号) 2 2 y0 ? 2

15.解:(1)令x = ?1, y = 0, 得f (?1) = f (?1) f (0), f (0) = 1.∴ 当x>0时,-x<0,f(0)=f(x)f(-x)=1, ∴ 0<f(x)<1. 设x1,x2 ∈ R,且x1<x2 ,则x2 -x1>0,f(x2 -x1 )<1, f(x1 )-f(x2 )=f(x1 )-f(x1 +x2 -x1 )=f(x1 )[1-f(x2 -x1 )]>0. ∴ f(x1 )>f(x2 ),函数y=f(x)在R上是单调递减函数. 由f(an+1 )= 1 得f (an+1 ) f (?2 ? an ) = 1. f(-2-an )

a1 = f (0) = 1

∴ f (an +1? an ? 2) = f (0), an+1 ? an ? 2 = 0.即an+1 ? an = 2 ∴an = 2n ?1, a2008 = 4015 1 1 1 (2)由(1+ )(1+ )LL(1+ ) ≥ k 2n +1恒成立,知 a1 a2 an k≤ 1 1 1 (1+ )(1+ )LL(1+ ) a1 a2 an

恒成立. 2n +1 1 1 1 (1+ )(1+ )LL(1+ ) a1 a2 an 设F(n)= ,则 2n +1 F (n) > 0 1 1 1 (1+ )(1+ )LL(1+ ) a1 a2 an+1 且F (n +1) = 2n + 3 2(n +1) F (n +1) 又 = > 1,即F (n +1) > F (n) 2 F (n) 4(n +1) ?1 ∴ F (n) ≥ F (1) = 所以,k ≤ 2 3 3

2 2 3,即k的最大值为 3. 3 3



推荐相关:

高一数学竞赛试题及答案

高一数学竞赛试题及答案 - 高一数学竞赛试题及答案 时间: 2016/3/18 注意:本试卷均为解答题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.总分 150 分, 考试时间 ...


高中数学竞赛训练题(201408)(答案不全)

高中数学竞赛训练题(201408)(答案不全) - 高中数学竞赛训练题 1、已知向量 a 、 b 满足 a ? b ? 1 ,则 a ? b 的最大值为 ___。 2、半径...


高中数学竞赛练习—几何—题目1-10

高中数学竞赛练习—几何—题目1-10_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学竞赛练习—几何—题目1-10高中数学奥林匹克训练题 —— 专题部分 —— 几何部分 —...


高中数学竞赛(预赛)训练试题(1)

高中数学竞赛(预赛)训练试题(1) - 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 7 分。 ) ...


2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试、二试(加试...

2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试、二试(加试)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016高中数学来赛试题与解答 加试 文档贡献者 nmbtxz 贡献于2016-09-12 ...


高中数学竞赛训练题二 推荐

高中数学竞赛训练题二 姓名:___ (训练时间 80 分钟) 得分:___ 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。 ) 1.已知复 高中数学竞赛训练题二 姓名:__...


清北学堂数学联赛考前练习题一套

清北学堂数学联赛考前练习题一套_学科竞赛_高中教育_教育专区。2012 年高中数学奥林匹克模拟真题(六)一、填空题(每题 8 分,共 8 题) 1.若 1 ? cos ? 1...


全国高中数学竞赛二试模拟训练题1

全国高中数学竞赛二试模拟训练题1 - 竞赛试卷 加试模拟训练题(70) 1、在△ABC 的大边 AB 上取 AN=AC,BM=BC,点 P 为△ABC 的内心,求证:∠MPN=∠A+∠...


高中数学竞赛典型题目(一)

高中数学竞赛典型题目(一) - 数学竞赛典型题目(一) 1.(2004 美国数学竞赛)设 a1 , a2 ,?, an 是整数列,并且他们的最大公因子是 1. 令 S 是一个整数...


高中数学竞赛训练试题2

高中数学竞赛训练试题2 - 竞赛试卷 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分。直接将...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com