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19圆锥曲线一个性质的再探究


2014年第12期

在△ADP中,焉=篇,即oA=音;
在从彻中,面—‰=面‰,
sln

中学数学研究
而2sinacos9


?19?

(1

一A)sin(p+d)



(1

>


L仃一n J

sln∥

sln伊

A)(sin踟osa+cospsin仅),化简整理,得(1一 A)sinpcosa=

止毪掣,即盎=业裳器地'进
福建省宁德市高级中学
文[1]给出了圆锥曲线的一个性质,即文[1]
的定理1—8,读后颇受启发,但觉意犹未尽.本文拟

即DA=坠等掣,所以酱=

斟t~,即告=等tana.所w一,=等=

(鲁)2tan2碱e=F爵
(352100)

(1+A)cos9sina,

于是tanp=

圆锥曲线一个性质的再探究
连其秀

B为切点的抛物线的两条切线交于P,则点P在定直 线z:石=一m(m≠0)(在抛物线外部(不含焦点的
区域)的部分)上的充要条件是直线AB过定点 M(m,O).

对这一性质进一步探究,探究其变式及推广,并应用 推广性质解决原性质无法解决的问题.先把文[1] 的性质抄录如下(为节省篇幅,把原定理加以综
合):

下面先探究上述性质的变式及推广.
一、探究性质的变式

定理1.1

(综合文[1]的定理1、2)倾斜角不
.,2 .,2 o

以上定理揭示了圆锥曲线的类焦点肘(m,0)与
.2

为零的直线与椭圆%+苦=+1(口>6>o)交于A、 D
B两点,分别以A、B为切点的椭圆的两条切线交于 P,则点P在定直线z:石=生(m≠0)(在椭圆外部的
HL 一2

类准线Z:菇=生、石=一m的关联性质.如果把类焦
HL

点M(m,0)换为定点M(0,n),会得到什么相应的

结论?经探究,容易得到以上定理的变式(探究过程
略):
.,2

部分)上的充要条件是直线AB过定点M(m,0). 定理2.1

(综合文[1]的定理3、4)倾斜角不
~2 .,2

定理1.2
.?

倾斜角不为直角的直线与椭圆气+ 口

为零的直线与双曲线%一鲁=1(口>o,6>o)交 D


鲁=1(o>6>o)交于A、B两点,分别以A、曰为切 D
点的椭圆的两条切线交于P,则点P在定直线z:y=
L2

于A、曰两点,分别以A、B为切点的双曲线的两条切
一2

线交于P,则点P在定直线z:戈=竖(m≠0)(在双
Ht

生(n≠0)(在椭圆外部的部分)上的充要条件是直


曲线外部(不含焦点的区域)的部分)上且不在双
曲线的渐近线上的充要条件是直线AB过定点 M(m,0). 定理3.1
.,2

线AB过定点M(0,n).
Ⅳ2

定理2.2
.?

倾斜角不为直角的直线与双曲线与


(综合文[1]的定理5、6)点P为双

.,2

曲线与一鲁=1(口>o,6>o)的渐近线zl上一点, 口 D
过点P作双曲线的一条切线蹦(A为切点),则过点
A与渐近线Z。平行的直线过定点肘(m,O)(m≠0)
^2

一鲁=1(口>o,6>o)交于A、日两点,分别以A、B D
为切点的双曲线的两条切线交于P,则点P在定直
L2

线2:),=一生(n≠0)(在双曲线外部(不含焦点的
,‘

的充要条件是点P在定直线z:石=生(在双曲线外
,,‘

区域)的部分)上且不在双曲线的渐近线上的充要
条件是直线AB过定点M(0,n). 定理3.2

部(不含焦点的区域)的部分)上. 定理4.1

(综合文[1]的定理7、8)动直线与

点P为双曲线与一鲁=l(口>o,6

£,

抛物线广=2p菇(p>o)相交于A、B两点,分别以A、
万方数据

>0)的渐近线Z。上一点,过点P作双曲线的一条切

?20?

中学数学研究
定理2.3

2014年第12期

线PA((A为切点),则过点A与渐近线Z,平行的直

线过定点M(0,n)(n≠o)的充要条件是点P在定
L2

不与坐标轴平行的直线与双曲线%

直线Z:),=一生(在双曲线外部(不含焦点的区域)
的部分)上. 定理4.2

一鲁=1(口>o,6>o)交于A、曰两点,分别以A、B
为切点的双曲线的两条切线交于P,则点P在定直

动直线与抛物线广=2p菇(p>o)相

交于A、8两点,分别以A、B为切点的抛物线的两条

线z:等一警=1(m≠o或n≠o)(在双曲线外部
(不含焦点的区域)的部分)上且不在双曲线的渐 近线上的充要条件是直线AB过定点M(m,n). 在定理3.1、3.2中,当点M的坐标为(m,n)时,

切线交于P,则点P在定直线z:p石一ny=0(,l≠ O)(在抛物线外部(不合焦点的区域)的部分)上的
充要条件是直线A曰过定点M(0,n). 二、探究性质的推广 上述性质揭示了圆锥曲线的类焦点M(m, 0)(m≠0)与类准线以及定点M(0,n)(n≠0)与

不妨设z。;),=冬.若点P在定直线z:写一罟=
o o—

D—

l(m≠0或n≠0)(在双曲线外部(不含焦点的区
域)的部分)上,由此及点P在f。上可解得点P的坐

定直线的内在联系,如果把类焦点肘(m,0)(m≠
0)、定点肘(0,n)(n≠0)统一推广为定点肘(m,

n)(m≠o或n≠0),那么两条切线的交点P是否在
某定直线上?

标为(i箬乓,i生).设A(戈。,),。),则切线蹦
D,n一口乃D,孔一口凡

的方程为等一等:1.把点P的坐标代入,得切线

对于椭圆与+告=1(口>6>o),设两条切线
的交点P(戈。,%),则切点弦AB所在直线的方程为

朋的方程为≥?兰一》?荸%=1,可解
口‘ D,n—on 6。

Dm—on

等+等:1①.若直线AB过定点M(m,n)(m≠o 或n≠o),则有萼+警:1.这表明点P(戈。,‰)
在定直线等+警=1上;反之,若点P(‰,%)在定
直线雩+筹=1(m≠o或凡≠o)(在椭圆外部的部

钆=坠等竺测m。,堕专塑)'进

堕—业:鱼(戈一石。),即y—n:鱼(戈一m).

一=——l戈一石1


而得过点A且与渐近线Z。平行的直线的方程为y一
J.塔H

y—n=——l戈一m

J.

这表明过点A且与渐近诚z。平行的直线过定点
M(m,n);反之,若过点A且与渐近线Z。平行的直线 过定点肘(m,n)(m≠0或n≠O),可得此直线的方

分)上,则有萼+鲁:1.代人①得直线AB的方
o D 口 D 口

程为等+等=等+.等,即竽+
此可把定理1.1、1.2统一推广为: 定理1.3


程为,,一n=告(戈一毗即),一坠等兰=
Ⅱ 8 口


塑掣:o,这表明直线A男过定点肘(m,n).由
..2

A(菇,,丝L二塑竺).则切线PA(A为切点)的方


鲁(省~).当菇:戈。帅=堕专竺,得

不与坐标轴平行的直线与椭圆与+

程为等一—≯“,即%(如一町)+
6髫,一6,n+口n ?----------------------_------—-——~

口[(6m一口n),,一062]=0.这表明切线朋经过直线
6并一口,,=0与(6m一口凡),,一062=O的交点

鲁=1(o>6>o)交于A、B两点,分别以A、B为切

点的椭圆的两条切线交于P,则点P在定直线z:警 +等=l(m≠o或n≠o)(在椭圆外部的部分)上
的充要条件是直线A曰过定点M(m,n). 类似地,可把定理2.1、2.2统一推广为;

(荔瓮,历笔),这恰为渐近线z。与定直线z:
.芋一等=1的交点坐标,故点P在zt上也在定直线
z:等一箸=1(在双曲线外部(不含焦点的区域)的
口 0

万方数据

2014年第12期

中学数学研究 点P为双曲线气一鲁=1(n>o,6


?21?

定理3.3

上运动时,证明直线删恒过定点.
简析:依条件得口2=25,62=9.把直线Z的方

D一

>O)的渐近线Z。上一点,过点P作双曲线的一条切

线朋(A为切点),则过点A与渐近线Z,平行的直线
过定点肘(m,n)(m≠0或n≠0)的充要条件是点

程化为簧++孚-l'据定理1.3’得m=普,凡
=一孟,即直线删恒过定点((嚣,一孟)? =一未,即直线删恒过定点((篙,一杀).
例2(2007年全国高中数学联赛湖北省预选

箜,二皇.,

P在定直线z:等一筹=1(在双曲线外部(不合焦




点的区域)的部分)上. 对于抛物线y2=印茹(p>0),设两条切线的交

题)过点Q(一l,一1)作直线z:),=知+1的平行
Ⅳ2

点P(‰,y。),则切点弦AB所在直线的方程为‰y= p(菇+戈。)②.若直线A曰过定点M(m,n)(m≠0或
n≠0),贝0有,"勺=p(m+zo),即p(石o+,孔)一n%

线交双曲线!}一),2=l于肘、Ⅳ两点.(1)证明点Q

是线段删的中点;(2)分别过点肘、Ⅳ作双曲线的
切线f。、Z:,证明三条直线2、l。、2:相交于一点;(3) 设点P是直线Z上的一动点,过点P作双曲线的两条 切线P A、船,A、8为切点,证明点Q在直线AB上. 简析:(1)略;(2)即证两切线Z。、f:的交点在定

=o.这表明点P(戈。,yo)在定直线p(戈+m)一"= 0上;反之,若点P(戈。,%)在定直线p(菇+m)一町 =O(m≠0或n≠0)(在抛物线外部(不合焦点的
区域)的部分)上,则有p(石。+m)一凡y0=0, 即

膨o=,‰一pm.代入②得直线A曰的方程为‰y=
p茗+凡‰一pm,即殉(y一,1)=p(x—m).这表明直 线A曰过定点肘(m,n).由此可把定理4.1、4.2统一 推广为: 定理4.3 动直线与抛物线),2=2p茗(p>0) 交于A、B两点,分别以A、B为切点的抛物线的两条

直线Z上.依条件得口2=4,62=1.又直线删过定
点Q(一l,一1),得m=一1,凡=一1.据定理2.3,得

直线z。、z:的交点在定直线竿一半=l即z:
),=—知+1上,故三条直线z、z。、z:相交于一点.(3)
.t.

切线交于P,则点P在定直线Z:p(菇+巩)一吖=o(巩
≠0或n≠O)(在抛物线外部(不合焦点的区域)的 部分)上的充要条件是直线A曰过定点肘(m,n). 至此,我们完成了对定理1.1、2.1、3.1、4.1的 变式及推广.特别地,当n=0且m≠0时,定理1. 3、2.3、3.3、4.3分别为定理1.1、2.1、3.1、4.1;当m =O且n≠0时,定理1.3、2.3、3.3、4.3分别为定理
1.2、2.2、3.2、4.2.


由点P在直线z:y=}+l即二与』一二{』=
1上,据定理2.3,得,m=一1,n=一1,即直线A日过

定点Q(一1,一1),亦即点Q在直线AB上. 例3(由2∞9年全国高中数学联赛湖北省预
选题11改编)已知定直线Z:戈=砂一1与抛物线c: y2=2x有公共点,点P为定直线Z上位于抛物线C 的外部的动点,过点P作抛物线c的两条切线PA、

三、推广性质的应用
应用上述推广性质可简捷解决一类原性质无法 解决的问题. 例l (2008年湖南省高中数学竞赛试题)过
Ⅳ2

朋,A、B为切点,证明直线AB恒过定点.
简析:依条件得p=1,点P在定直线Z:菇=竹一
1即p(戈+1)一后,,=0上.据定理4.3,得m=1,n= J},即直线AB恒过定点(1,I|}). 参考文献
[1]潘德党.圆锥曲线的一个性质.福建中学数学,2011(4).
.,2

直线2:5菇一7,,一70=o上一点P作椭圆轰+等=
1的两条切线P肘、尸Ⅳ,M、Ⅳ为切点,当点P在直线Z

圆锥曲线焦点弦一个性质的推广
江苏省昆山中学
文[1]曾探究、发现了圆锥曲线焦点弦的一个

(215300)

季刚祥

奇妙的性质:过圆锥曲线的一个焦点且斜率互为倒

万方数据


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