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2014年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题和答案


2011 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题解答
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.某同学使用计算器求 50 个数据的平均数时,错将其中的一个数据 150 输入为 15,那么由 此求出的平均值与实际平均值的差是( ▲ ) A. 2 .7 B . ? 2.7 C. 3 D. ?0.3

( 15 ? 150) ?

50 ? ?2.7 , 选 B . 解 :求出的平均值 ? 实际平均值 ?
2.设集合 A ? {x | log 1 ( x ? 1) ? ?2} , B ? {x | 2x? x ? 1} ,则 A
2
2

B 等于( ▲ )

A. {x | x ? 0, 或1 ? x ? 3} C . {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3}

B . {x | x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 1}
B ? {x | ?1 ? x ? 0, 或1 ? x ? 3} ,

B ? {x | x ? 0, 或x ? 1} , 解: 可得 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , 所以 A

选 C. 3.已知 sin ? ? sin ? ,则 ? 与 ? 的关系是( ▲ ) A. ? ? ? 或 ? ? ? ? ? C. ? ? (2k ? 1)? ? ? , k ? Z B. ? ? 2k? ? ? , k ? Z D. ? ? k? ? (?1)k ? , k ? Z

解 :由于 sin? ? sin? , ? 与 ? 的终边位置相同或关于 y 轴对称 , 所以 ? ? 2k? ? ? , k ? Z 或

? ? (2k ? 1)? ? ? , k ? Z ,合幵得 ? ? k? ? (?1)k ? , k ? Z .选 D.
? ?? 4.下列函数中在区间 ?0, ? 上单调递增的是( ▲ ) ? 4?

? ? ? ? 1? A. y ? log 2 ?sin ? x ? ? ? ? 6 ? 2? ? ?

? ? ? ? 1? B . y ? log 2 ?sin ? 2 x ? ? ? ? 6 ? 2? ? ?
?? ? D. y ? sin 3 ? ? x ? 6 ? ?

?? 1 ? C . y ? sin ? 2 x ? ? ? 6? 2 ?

? ?? 解:将选择支中各函数用区间 ?0, ? 逐一检验知,只有 C 中函数满足要求.选 C. ? 4?

5.若 ? sin 50? ? ? ? tan 50? ? ? ? sin 50? ?
x x

?y

? ? tan 50? ? 则( ▲ )
?y

A. x ? y ? 0

B. x ? y ? 0

C. x ? y ? 0

D. x ? y ? 0
t t

解:因为 0 ? sin 50? ? 1 , tan 50? ? 1 ,可知函数 f (t ) ? ?sin50?? ? ? tan50?? 单调递减,已
高一数学竞赛试题答案 第 1 页(共 8 页)

知不等式即 f ( x) ? f (? y ) ,所以 x ? ? y ,选 A. 6.函数 f ( x) ? ln | x ? 1| ? x ? 3 的零点个数为( ▲ ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
y
3 2

解: f ( x) ? 0 ? ln | x ? 1|? x ? 3 ,所以 f ( x) 的零点 个数即函数 y ? ln | x ? 1| 与函数 y ? x ? 3 的交 点的个数,作图可知有 3 个交点,选 D. 7. 记 O 为坐标原点, 已知向量 OA ? (3,2) , OB ? (0, ?2) , 又有点 C ,满足 AC ? ( ▲ )
? ?? A. ?0, ? ? 6? ? ?? B . ?0, ? ? 3? ? ?? C . ?0, ? ? 2?
-4 -2

1

O
-1

2

4

6

x

-2

5 ,则 ?ABC 的取值范围为 2

-3

-4

?? ? ? D. ? , ? ?6 3?

解:

AC ?

5 5 ,点 C 在以点 A 为圆心, 为半 2 2


y

径的圆周上. 可得 AB ? 5 , 如图可知, 当 线 BC 与圆周相切时, ?ABC 有最大值为

C

A

? , C 三点共线时 ?ABC 有最小值为0,所以 ,当 A, B 6
? ?? ?ABC 的取值范围为 ?0, ? .选 A. ? 6?

O

C

x

B

8.已知 k ? Z , AC ? (2, 2) , AB ? (k ,2) , AB ? 5 ,则 ?ABC 是直角三角形的概率是( ▲ ) A.

1 9

B.

2 9

C.

1 8

D.

1 4

解 : 由 AB ? 5 与 ABC 构 成 三 角 形 及 k ? Z 知 k ???4, ?3, ?2, ?1,0,1,3,4? , 可 得 . ; B C? ( 2? k , 0 ) AC 与 AB 垂直,则 k ? ?2 ;若 AC 与 BC 垂直,则 k ? 2 (舍去) 若 BC 与 AB 垂直 k ? 0 ,或 k ? 2 (舍去) ;综上知,满足要求的 k 有2个,所求概 率为

1 .故选 D. 4
高一数学竞赛试题答案 第 2 页(共 8 页)

9.设 S ? x2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 2x ? 1 ,其中 x ? R, y ? R ,则 S 的最小值为( ▲ ) A. 1 B . ?1 C. ?

3 4
2

D. 0

解 1: x2 ? (2 y ? 2) x ? (2 y 2 ? 1 ? S ) ? 0 ,由 ? ? ? 2 y ? 2? ? 4 2 y2 ? 1 ? S ? 0 得 S ? y 2 ? 2 y ? ? y ? 1? ? 1 ? ?1 .当且仅当 y ? 1, x ? ?2 时, Smin ? ?1 .选 B.
2

?

?

解 2 : S ? x2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 2x ? 1 ? x2 ? 2( y ? 1) x ? ( y ? 1)2 ? y 2 ? 2 y

? ? x ? y ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ? ?1 .
2 2

当且仅当 y ? 1, x ? ?2 时, Smin ? ?1 .选 B . 10.点 Q 在 x 轴上,若存在过 Q 的直线交函数 y ? 2 x 的图象于 A, B 两点,满足 QA ? AB ,则 称点 Q 为“Ω点” ,那么下列结论中正确的是 ( ▲ ) A . x 轴上仅有有限个点是“Ω点” ; B . x 轴上所有的点都是“Ω点” ; C . x 轴上所有的点都不是“Ω点” ; D . x 轴上有无穷多个点(但不是所有的点)是“Ω点” .
(a,) 0 , A x1, 解 1:设 Q 2 x1 , B x2, 2 x2 ,因为 QA ? AB ,所以 x2 ? 2 x1 ? a , 2 x2 ? 2 ? 2 x1 , (a,) 0 点, A a ?1 , 2a ?1) ( B a ? 2, 2a ? 2 ) 得 x1 ? a ? 1, x2 ? a ? 2 . 即对于 x 轴上任意 Q 总有 ( ,

?

?

?

?

满足题设要求,故选 B. 解 2: (动态想象) : 任取 x 轴上 Q 点, 将直线 l 由 x 轴位置开始绕 Q 点逆时针旋转

? ,l 与 2

函数 y ? 2 x 的图象的位置关系必将经历从不交到相切再到交于两个点 A, B (由下至 上)直到最后只交于一个点.当交于两个点时,在 | QA | ? | AB | 由正到负的过程中必 将经历零点. 当 | QA | ? | AB |? 0 时, 即有 QA ? AB , 所以 x 轴上所有的点都是 “Ω点” . 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11.同时抛掷三枚均匀的硬币,出现两个正面一个背面的概率是 ▲ .
开 始

S ? 0, i ? 1

解: 同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有8种, 其 中两个正面一个背面的情况有(正,正,背) , (正,背,正)


3 与(背,正,正)三种,故所求概率为 . 8
12.如图执行右面的程序框图,那么输出的 S 值为 ▲ 解: S ? .

i ? 10?

输出 S

1 S ? S ? ? i2 3

1 2 2 ?1 ? 3 ? 52 ? 72 ? 92 ? ? 55 . 3
. (其中 [ x] 表示不超过实数 x 的
第 3 页(共 8 页)

i ?i?2
(12 题图)

结 束

13. 函数 f ( x) ? 3[sin x] 的值域是 ▲

高一数学竞赛试题答案

最大整数)
?1 ? 解: ?1 ? sin x ? 1 ,所以 ?sin x? 的所有可能取值为 ?1,0,1 ,从而 f ( x) 值域为 ? ,1,3? . ?3 ?

14.已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x) 对任意 x ? R 都满足条件
f (x )+ f ( 4? x )= 0 与 f (x ? 2 ) ?f (x ? 2 )= 0 ,则对函数 y ? f ( x) ,

下列结论中必定正确的是 ▲ ① y ? f ( x) 是奇函数; ③ y ? f ( x) 是周期函数;

. (填上所有正确结论的序号) ②y ? f ( x) 是偶函数; ④y ? f ( x) 的图象是轴对称的.

(x ? 2 ) ?f (x ? 2 )= 0 知 f ( x) 有周期 T ? 4 ,于是 f (x ) ??f ( 4? x ) ? ? f (? x) ,知 解:由 f
f ( x) 为奇函数,填① ③ .

15.若 n 为整数,关于 x 的方程 ( x ? 2011)( x ? n)2011 ? 1 ? 0 有整数根,则 n ?





?x ? n ? 1 解 :设 x ? x0 为 方 程的整 数根, 则 ( x0 ? 2011)( x0 ? n)2011 ? ?1 , 必有 ? 0 或 ? x0 ? 2011 ? ?1 ? x0 ? n ? ?1 得 n ? 2009 或 n ? 2013 . ? ? x0 ? 2011 ? 1
(x) ? f ( x ? 1) ? ( f 5 ? x) (x) 16. y ? f ( x) 是定义域为 R 的函数, g ,若函数 y ? g 有且仅有 4 个

不同的零点,则这 4 个零点乊和为 ▲



(x) (4-x) ?g (x) 解: g ,y?g 有对称轴 x ? 2 ,故 4 个零点和为 8.

17.求值: sin 6? ? sin 78? ? sin 222? ? sin 294? ?





D

Y

解 1:如图,构造边长为 1 的正五边形 ABCDE ,使得

AB ? (cos6?,sin 6?) ,则依次可得 BC ? (cos78?,sin 78?) , CD ? (cos150?,sin150?) , DE ? (cos 222?,sin 222?) , EA ? (cos 294?,sin 294?) ,
由于 AB ? BC ? CD ? DE ? EA ? 0 ,

C E O X

B A (17题图)

所以 sin 6? ? sin 78? ? sin150? ? sin 222? ? sin 294? ? 0 , 从而 sin 6? ? sin 78? ? sin 222? ? sin 294? ? ? sin150? ? ? 解 2:原式 ? ? sin 6? ? sin 294?? ? ?sin 78? ? sin 222??
? 2sin150? cos144? ? 2sin150? cos 72?

1 . 2

? 2sin150? ? cos144? ? cos72?? ? 2 cos108? cos 36?
高一数学竞赛试题答案 第 4 页(共 8 页)

? ?2sin18? cos 36? ? ?

sin 36? ? cos36? cos18?

??

sin 72? 1 ?? . 2cos18? 2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分.

?? ? ?? ? 18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? . 4 4? ? ? ?
⑴求 f ( x) 的最小正周期和 f ( x) 的值域;

?? ? ⑵若 x ? x0 ? 0 ? x0 ? ? 为 f ( x) 的一个零点,求 f (2 x0 ) 的值. 2? ?

?? ? ?? ? 解:⑴ f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4? ? 4? ? ? 2 ?? 2 ? 1 ? cos 2 x 2 2 ? ? 3 sin 2 x ? ? sin x ? cos x sin x ? cos x ?? ? ? 2 ?? 2 ? 2 2 2 ? ?? ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ?? 1 ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? .…………………………………………………..4 分 6? 2 ?
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? ? ;……………………………..……….…..5 分

?? ? ? 3 5? 由 ?1 ? sin ? 2 x ? ? ? 1 ,得 f ( x) 的值域为 ? ? , ? .…………………..7 分 6 ? ? ? 2 2? ?? 1 ?? 1 ? ? ⑵ f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? ,由题设知 f ( x0 ) ? 0 ? sin ? 2 x0 ? ? ? ? ,….8 分 6 2 6 4 ? ? ? ?
由 0 ? x0 ?

?
2

??

?
6

? 2 x0 ?

?
6

?

?? 5? ? ? ? ,结合 sin ? 2 x0 ? ? ? 0 知 ? ? 2 x0 ? ? 0 , 6? 6 6 6 ?

?? 15 ? 可得 cos ? 2 x0 ? ? ? .…………………………………………………..10 分 6? 4 ?
?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? sin 2 x0 ? sin ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? sin ? 2 x0 ? ? cos ? cos ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ??
1 3 15 1 15 ? 3 ?? ? ? ? ? ,………………………...………..12 分 4 2 4 2 8 ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? cos 2 x0 ? cos ? ? 2 x0 ? ? ? ? ? cos ? 2 x0 ? ? cos ? sin ? 2 x0 ? ? sin 6? 6 6? 6 6? 6? ? ? ?? ? 15 3 1 1 3 5 ?1 ? ? ? ? ,……………………………..………..14 分 8 4 2 4 2

高一数学竞赛试题答案

第 5 页(共 8 页)

?? ?? ?? ? ? ? ? sin ? 4 x0 ? ? ? sin 2 x0 cos ? 2 x0 ? ? ? cos 2 x0 sin ? 2 x0 ? ? 6? 6? 6? ? ? ? 15 ? 3 15 3 5 ? 1 ? 1 ? 7 ? 3 5 ? ? ? ??? ? ? 8 4 16 8 ? 4?
7 ? 3 5 1 11 ? 3 5 ?? 1 ? ? ? ? f (2 x0 ) ? 2sin ? 4 x0 ? ? ? ? 2 ? .……….……..16 分 16 2 8 6? 2 ?

19. (本题满分 17 分)设函数 f ( x) ? x2 ? bx ? 3 ,对于给定的实数 b , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上 有最大值 M (b) 和最小值 m(b) ,记 g (b) ? M (b) ? m(b) . ⑴求 g (b) 的解析式; ⑵问 b 为何值时, g (b) 有最小值?幵求出 g (b) 的最小值.
b? b2 b ? 解:⑴ f ( x) ? ? x ? ? ? 3 ? ,抛物线开口向上,其对称轴方程为 x ? ? ,下面就对称轴与区间 2? 4 2 ?
2

?b ? 2, b ? 2? 端点的相对位置分段讨论:……………….………………………..1 分
①当 0 ? b ?
b 4 b ? b? 时, b ? 2 ? ? ? b ? 2 且 (b ? 2) ? ? ? ? ? ? ? (b ? 2) , 2 3 2 ? 2?

此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? ?3 ?

9 b2 . g (b) ? b2 ? 6b ? 4 .…3 分 4 4

b 4 b ? b? ②当 ? ? b ? 0 时, b ? 2 ? ? ? b ? 2 且 (b ? 2) ? ? ? ? ? ? ? (b ? 2) , 2 2 3 2 ? ?

此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? ?3 ?

b2 9 . g (b) ? b2 ? 6b ? 4 .…5 分 4 4

③当 b ?

4 b 时, ? ? b ? 2 , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上递增, 3 2

此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 . g (b) ? 12b .…7 分

4 b ④当 b ? ? 时, ? ? b ? 2 , f ( x) 在区间 ?b ? 2, b ? 2? 上递减, 3 2
此时 M (b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 , m(b) ? f (b ? 2) ? 2b2 ? 6b ? 1 . g (b) ? ?12b .…9 分

高一数学竞赛试题答案

第 6 页(共 8 页)

? ? ?12b, ? ? 9 b 2 ? 6b ? 4, ?4 综上所得 g (b) ? ? ? 9 b 2 ? 6b ? 4, ?4 ? ? 12b, ?

4 b?? ; 3 4 ? ? b ? 0; 3 ………………………………………………10 分 4 0?b? ; 3 4 b? . 3

4 ? 4? ⑵当 b ? ? 时, g (b) ? ?12b ? g ? ? ? ? 16 ;…………………………………………11 分 3 ? 3? 4 9 当 ? ? b ? 0 时, g (b) ? b2 ? 6b ? 4 递减, g (b) ? g (0) ? 4 ;…………..….……13 分 3 4
当0?b?

4 9 时, g (b) ? b2 ? 6b ? 4 递增, g (b) ? g (0) ? 4 ;…………....………15 分 3 4

当b ?

4 ?4? 时, g (b) ? 12b ? g ? ? ? 16 .……………………………………..………16 分 3 ?3?

综上所述,当 b ? 0 时, ? g (b)?min ? 4 .…………..…………………………………17 分 20.(本题满分 18 分)定义在正实数集上的函数 f ( x) 满足下列条件:

(0 ? a ? 1 ) ①存在常数 a ,使得 f (a) ? 1;②对任意实数 m , 当 x ? R? 时,有 f ( xm ) ? mf ( x) .
⑴求证:对于任意正数 x, y , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ; ⑵证明: f ( x) 在正实数集上单调递减;
8 ⑶若不等式 f log2 ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围. a ? 4 ? x ? ? 2 ? f loga (4 ? x)

?

?

?

?

⑴证明:

x, y 均 为 正 数 , 且 0 ? a ? 1 , 根 据 指 数 函 数 性 质 可 知 , 总 有 实 数 m, n 使 得

x ? a m , y ? a n ,于是 f ?xy? ? f a m a n ? f a m?n ? ?m ? n? f ?a? ? m ? n ,..…2 分
又 f ? x ? ? f ? y ? ? f (am ) ? f (an ) ? mf (a) ? nf (a) ? m ? n , ? f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ..5 分 ⑵证明:任设 x1 , x2 ? R , x1 ? x2 ,可令 x1 ? x2 t ?t ? 1? , t ? a? (? ? 0) .…………….7 分
?

?

?

?

?

则由⑴知 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 t ? ? f ?x2 ? ? f ?x2 ? ? f ?t ? ? f ?x2 ?

? f ?t ? ? f ? a? ? ? ? f ? a ? ? ? ? 0 ,………………………………………………………..9 分
即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? .? f ( x) 在正实数集上单调递减;..……………………………..10 分 ⑶解:令 loga (4 ? x) ? t ,原不等式化为 f t 2 ? 2 ? f ?8t ? ? 3 ,其中 t ? 0 .
高一数学竞赛试题答案 第 7 页(共 8 页)

?

?

? x? f ( x) ? f ( y) ? f ( x) ? f ( y ?1 ) ? f ? ? 且 f (a) ? 1(0 ? a ? 1) , ? y? ? t2 ? 2 ? 3 不等式可进一步化为 f ? ? ? f ? a ? ,……………………….……..12 分 8 t ? ?

又由于单调递减,?

t2 ? 2 ? a3 对于 t ? 0 恒成立.……………………..13 分 8t

2 ? ? t2 ? 2 1 ? 2? ? ? ? 1 ,………………….……….…..15 分 ? ? t ? ? 2 2 而 ? ? ? ? 2 2 8t 8 ?? t ? ? ?

? t2 ? 2 ? 1 且当 t ? 2 时 ? .……………………………………..16 分 ? ? ? 8t ?min 2 2

? a3 ?

1 2 2

,又 0 ? a ? 1 ,终得 0 ? a ?

2 .…………………………..18 分 2

高一数学竞赛试题答案

第 8 页(共 8 页)


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