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2013年高中数学联赛模拟题(一试01)


2013 年高中数学联赛模拟题(01)
一 试
一、 填空题(本大题共 8 小题,每题 8 分,共 64 分) 1.已知复数 z 满足 z ?

1 1 ? 1 ,则 z 2013 ? 2013 = ________. z z

2.若 logm 2n ? logn 2m ,其中 m ? n, m ? 1, n ? 1 ,则 mn________.

3.直四棱柱的底面是边长为 2,夹角为 30°的菱形,高为 1.过底边作与底面成 60°夹角的截面,则该 截面的面积是________.

4.方程 sin|x|=|cosx|在闭区间 ? ?10? ,10? ? 内的解的个数是________.

5.集合 A、 C 满足 A ? B ? C ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10?, A ? B ? C ? ?,| A ? B |? 1,| B ? C |? 2,| A ? C |? 3, ? B、 则此时满足要求的有序三元组(A、B、C) 的个数是________.

6.已知某无穷等比数列的每项均为正数,且所有项的和为 5,首项为正整数,则公比 q 的最小可能值为 ________.

7.在长为 12,宽为 16 的矩形内部随机放入一个半径为 1 的圆.那么该圆与矩形两条对角线都不相交的 概率为___________.

2 2 8.设 F1、F2 分别为椭圆 x ? y ? 1 的左、右焦点,动点 P 在直线 5x ? 4 y ? 20 ?0 上,当 | PF1|+ | PF2|取

9

4

最小值时,

| PF1| _______. ? | PF2|

二、 解答题(本大题共 3 小题,共计 16+20+20=56 分) 9.已知数列 {an } 满足: a1 ? 1, a2 ? 通项公式.

5 an ?1 a ?1 ,且对任意正整数 n,都有 ? n ?1 ? 2 ,试求数列 {an } 的 4 an ? 2 ? 1 an

10.设实数 a、b、c 满足:b、c 为方程 x 2 ? (a ? 1) x ? (a 2 ? a) ? 0 的两实根,求 a 3 ? b3 ? c3 的最大值和最 小值.

11.已知椭圆的长轴长为 4、两焦点为 F1、F2 焦距 | F1F2 |? 2 ,A、B、C、D 为椭圆上四点,线段 AC、BD 均 过 F1 且互相垂直.若 AC+BD=7,求四边形 ABCD 的面积.


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