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球的切接问题 ----高考,自招,竞赛专用


A. 3

B. 2 3
3

C. 21
3

D.

球的问题1.正四面体与球: 2.正方体与球: 3.正三棱柱(锥)与球: 4 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球: 5.各面均为直角三角形的三棱锥与球: 1.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与四个面相

切。求球 的表面积和体积。 2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的外接球的表面积为 A. 2 3? C. 4 3

7

3

7.已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球, ,则正三棱柱的侧面积取得最大值时, 其底面边长为( ) A. 6 B.3 C. 3 D. 2 8.已知三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA ? 2, SB ? SC ? 4 ,则该三棱锥 的外接球的半径为 A.3 B.6 C.36 D.9 9.已知球 O 为棱长为 1 的正方体 ABCD--A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的 截面面积为(D) A. 3 π
3

B. π
3

C. 6 π
6

D. π
6

10.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD,两两垂直, ΔABC , ΔACD , ΔABD 的
2 面积分别为, ) ( B 2 3 2 6 2

则该三棱锥的外接球的表面积为(



8? B. 3 16? D. 3

A. 2? B. 6? C. 4 6? D. 24? 11.[2011·辽宁卷] 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3, ∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥 S-ABC 的体积为( A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 )

3.点 ABCD 均在一个球面上,其中是 ΔABD 正三角形, AD ? 平面 ABC , AD=2AB=6,则该球的体积为( ) A. 32 3π B 48π C 64 3π D 16 3π

12.已知长方体从同一个顶点出发的三条棱的长分别为 1,2,3,则这个长方体的外 接球的表面积为_____________. 13.三棱锥 P--ABC 中, pA ? 底面 ABC ,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正方形, 则三棱锥 P--ABC 的体积等于_____________. 14. 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 3 若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积 16 较大者的高的比值为________.

4.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的 表面积为 . 5.求 O 的一个截面面积为 A.

π ,球心到该截面的距离为
C. 8π D.

3, 则球的表面积是 (





B.



16 π

6.若棱长均为 2 的正三棱柱内接于一个球,则该球的半径为( )

15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则

棱锥 O-ABCD 的体积为________. 16.一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径 为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A.

24. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



3 π 2

B. 2 π

C. 3 π

D. 4 π 25.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? , 则正三棱柱的体积为 D.48 ? .

17.在正三棱锥 S-ABC 中, 侧面 SAB、 侧面 SAC、 侧面 SBC 两两垂直, 且侧棱 SA= 2 3 , 则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为( A.12 ? B.32 ? ) C.36 ?

26.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 ( A. ) 2 ? 3 B. ?

18.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球 面上,则这个球的面积为
7 A. ? 2

B. 56?

C.

14?

D.

64?

1 3

C. ?

2 3

D.

2 2 ? 3

19.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ,则四面体 A ? B1CD1 的外接球的体积为 20.半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改 圆柱的侧面积之差是 _____________. 21.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC= 2 3 , 则棱锥 O-ABCD 的体积为_____________. 22.体积为 4 3? 的球的内接正方体的棱长为 (A) 2 (B)2 (C)

27.已知正方体外接球的体积是

32 ? ,那么正方体的棱长等于( 3
C.



A.2 2

B.

2 3 3

4 2 3
)

D.

4 3 3

28.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

D. 1∶

9 29. ( 2008 海 南 、 宁 夏 理 科 ) 一 个 六 棱 柱 的 底 面 是 正 六 边

3

(D)

5

形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的 体积为

23.(陕西理?6)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三 个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( ) A.
3 3 4

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8



30.(2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上 的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 .

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

31.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。 如果正四棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 cm2.

E 为 AB 的中点,将 ?ADE 与 ?BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合
于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( ). A.

32.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则 此正六棱锥的侧面积是________.

4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

6 ? 24

P

37.(2008 浙江高考题)已知球 O 的面上四点 A、B、C、D, DA ? 平面ABC ,

AB ? BC , DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于
C B A F D E 38. 2008 年安徽高考题) ( 已知点 A、 C、 在同一个球面上,AB ? 平面BCD , B、 D

BC ? DC ,若 AB ? 6, AC=2 13,AD=8 ,则球的体积等于
39.(2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上,

33.棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面 如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .

则此球的表面积为( A. 3? B. 4?

) C. 3 3? D. 6?

34. (2012 新课标理) 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 , SC 为 球 O 的 直 径 , 且 SC ? 2 ; 则 此 棱 锥 的 体 积 为 ( A. )

2 6

B.

3 6

C.

2 3

D.

2 2

35. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 36.(2006 年山东高考题)在等腰梯形 ABCD 中, AB=2DC=2 , ?DAB=60 ,
0

5.求 O 的一个截面面积为 A.

π ,球心到该截面的距离为
C. 8π D.

则球的表面积是 ( 3,





B.



16 π

6.若棱长均为 2 的正三棱柱内接于一个球,则该球的半径为( ) A. 3
3

B. 2 3
3

C. 21
3

D.

7

高一提高班(简单几何体与球的综合问题)

1.正四面体与球: 4.正方体与球: 5.正三棱柱(锥)与球: 4 三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球: 5.各面均为直角三角形的三棱锥与球: 1.正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 ,正三棱锥内有一个球与四个面相切。求球 的表面积和体积。 2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的外接球的表面积为 A. 2 3? C. 4 3

7.已知正三棱柱内接于一个半径为 2 的球, ,则正三棱柱的侧面积取得最大值时, 其底面边长为( ) A. 6 B.3 C. 3 D. 2 8.已知三棱锥 S ? ABC 的三条侧棱两两垂直,且 SA ? 2, SB ? SC ? 4 ,则该三棱锥 的外接球的半径为 A.3 B.6 C.36 D.9 9.已知球 O 为棱长为 1 的正方体 ABCD--A1B1C1D1 的内切球,则平面 ACD1 截球 O 的 截面面积为(D) A. 3 π
3

B. π
3

C. 6 π
6

D. π
6

10.在三棱锥 A-BCD 中,侧棱 AB,AC,AD,两两垂直, ΔABC , ΔACD , ΔABD 的 面积分别为, 2 2 ( B )
3 2 6 2

则该三棱锥的外接球的表面积为(



8? B. 3 16? D. 3

3.点 ABCD 均在一个球面上,其中是 ΔABD 正三角形, AD ? 平面 ABC , AD=2AB=6,则该球的体积为( ) A. 32 3π B 48π C 64 3π D 16 3π

A. 2? B. 6? C. 4 6? D. 24? 11.[2011· 辽宁卷] 已知球的直径 SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB= 3,∠ ASC=∠BSC=30° ,则棱锥 S-ABC 的体积为( ) A.3 3 B.2 3 C. 3 D.1 12.已知长方体从同一个顶点出发的三条棱的长分别为 1,2,3,则这个长方体的外 接球的表面积为_____________. 13.三棱锥 P--ABC 中, pA ? 底面 ABC ,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正方形, 则三棱锥 P--ABC 的体积等于_____________.

4.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的 表面积为 .

14. 已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上, 3 若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积 16 较大者的高的比值为________. 15.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC=2 3,则 棱锥 O-ABCD 的体积为________. 16.一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直径 为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 A.

(A) 2

(B)2

(C)

3

(D)

5

1. (陕西理?6) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的 三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是( ) A.
3 3 4

B.

3 3

C.

3 4

D.

3 12

答案 B 2. 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的各顶点都在同一球面上,若

3 π 2

B. 2 π

C. 3 π

D. 4 π

AB ? AC ? AA1 ? 2 , ?BAC ? 120? ,则此球的表面积等于



17.在正三棱锥 S-ABC 中, 侧面 SAB、 侧面 SAC、 侧面 SBC 两两垂直, 且侧棱 SA= 2 3 , 则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为( A.12 ? B.32 ? ) C.36 ? D.48 ? 解:在 ?ABC 中 AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? ,可得 BC ? 2 3 ,由正弦定理,可 得 ?ABC 外接圆半径 r=2,设此圆圆心为 O? ,球心为 O ,在 RT ?OBO? 中,易得球半径 ( )

18.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球 面上,则这个球的面积为 A.
7 ? 2

B. 56?

C.

14?

D.

64?

R ? 5 ,故此球的表面积为 4? R2 ? 20? .
3.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内接于半径为 2 的球,若 A, B 两点的球面距离为 ? , 则正三棱 柱的体积为 答案 8 .

19.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2 3 ,则四面体 A ? B1CD1 的外接球的体积为 20.半径为 R 的球 O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改 圆柱的侧面积之差是 _____________. 21.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=6,BC= 2 3 , 则棱锥 O-ABCD 的体积为_____________. 22.体积为 4 3? 的球的内接正方体的棱长为

4.表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为

2 A. ? 3

1 B. ? 3

2 C. ? 3

2 2 D. ? 3

如果正四 棱柱的底面边长为 1 cm,那么该棱柱的表面积为 答案

cm2.

答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形,所以由

2? 4 2

3a ? 2 3 知, 4 a ? 1 ,则此球的直径为 2 ,故选 A。 32 5.已知正方体外接球的体积是 ? ,那么正方体的棱长等于( 3 8?
A.2 2

2

10.(2006 辽宁)如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 P ? ABCDEF ,则 此正六棱 P 锥的侧面积是________. C B



D E F

2 3 B. 3

4 2 C. 3
)

4 3 D. 3
答案

A

答案 D 6.(2006 山东卷)正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A. 1∶ 3 B. 1∶3 C. 1∶3 3

6 7

11.(辽宁省抚顺一中 2009 届高三数学上学期第一次月考) D. 棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案

1∶9 答案 C 7. ( 2008 海 南 、 宁 夏 理 科 ) 一 个 六 棱 柱 的 底 面 是 正 六 边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的

2

9 体积为 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8 4? 答案 3



12.(2009 枣庄一模)一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面 积为 ( ) A. 3? B. 2? C. 答案 C

8. (2007 天津理?12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上 的三条棱 的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 14π 9.(2007 全国Ⅱ理?15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。

16? 3

D.以上都不对

2 3 13.(吉林省吉林市 2008 届上期末)设正方体的棱长为 ,则它的外接球的表面积 3 为( ) A. ?

8 3

B.2π

C.4π

D. ?

4 3

答案 C 1 . (2012 新课标理) 已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为 ( )

2 A. 6

3 B. 6

2 C. 3

2 D. 2

例 8 ( 2008 年 浙 江 高 考 题 ) 已 知 球 O 的 面 上 四 点 A 、 B 、 C 、 D ,

DA ? 平面ABC ,AB ? BC ,DA=AB=BC= 3 ,则球 O 的体积等于
故球 O 的体积等于 ? .(如图 4)

.

25. (2012 辽宁文)已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. (2006 年山东高考题) 在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2 ,?DAB=60 ,
0

9 2

E 为 AB 的中点,将 ?ADE 与 ?BEC 分布沿 ED 、 EC 向上折起,使 A、B 重合
于点 P ,则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为( ). A.

4 3 ? 27

B.

6 ? 2

C.

6 ? 8

D.

6 ? 24
0

解析: (如图 3) 因为 AE=EB=DC=1 , ?DAB=?CBE=?DEA=60 , 所以

AD ? AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥 P-DCE 为正四面体,至此,这
与例 6 就完全相同了,故选 C.

D

C

P

A

E

B

D

C

2、构造长方体 例 9 ( 2008 年 安 徽 高 考题 ) 已 知 点 A 、 B 、C、 D 在 同 一 个 球 面 上,

AB ? 平面BCD , BC ? DC ,若 AB ? 6, AC=2 13,AD=8 ,则 B、C 两点间
的球面距离是 .

故 B、C 两点间的球面距离是 ? .(如图 5)

4 3

(2003 年全国卷)一个四面体的所有棱长都为 2 ,四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为( A. 3? 故选 A. ) B. 4? C. 3 3? D. 6?


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