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高中数学必修4(北师大版)第二章平面向量章末评估A


第二章章末评估 A
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 答题表 题号 答案 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.设 a、b、c 是非零向量,下列命题正确的是( A.(a· c=a· c) b)· (b· B.|a

-b|2=|a|2-2|a||b|+|b|2 C.若|a|=|b|=|a+b|,则 a 与 b 的夹角为 60° D.若|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 b 的夹角为 60° 解析:对于 A:数量积的运算不满足结合律,A 错误;B:|a- b|2=(a-b)2=|a|2-2|a|· |b|cos〈a,b〉+|b|2,∴B 错误;对于 C、D: 由三角形法则知|a|=|b|=|a-b|组成的三角形为等边三角形,则〈a, b〉=60° ,∴D 正确,故选 D. 答案:D 2.设向量 a 和 b 的长度分别为 4 和 3,夹角为 60° ,则|a+b|等 于( ) A.37 C. 37 D. 13 B.13 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 共 50 分)

解析:|a+b|2=(a+b)2=a2+2a· 2= b+b

1 |a|2+2|a||b|cos60° +|b|2=16+2×4×3× +9=37,|a+b|= 37, 2 故选 C. 答案:C 3.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1), → → 且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为(
? 7? A.?2,2? ? ? ? 1? B.?2,-2? ? ?

)

C.(3,2)

D.(1,3)

解析:本题主要考查平面向量的坐标运算. → 设 D(x,y),BC=(3+1,1+2)=(4,3), → 2AD=2(x,y-2)=(2x,2y-4) → → ∵BC=2AD,

? ? ?4=2x ∴? ,解得? 7 ? y= ?3=2y-4 ?
2 答案:A

x=2 ,故选 A.

4.点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 v=(4,-3),(即 点 P 的运动方向与 v 相同,且每次移动的距离为|v|个单位).设开始 时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为( A.(-2,4) C.(10,-5) B.(-30,25) D.(5,-10) )

→ 解析:由已知,可令平移到 M(x,y),有PM=5v, ∴(x,y)=(-10,10)+5(4,-3)=(10,-5),故选 C. 答案:C

5.已知 O 为原点,点 A,B 的坐标分别为(a,0),(0,a),a 是正 → → → OP → 数且已知,点 P 在线段 AB 上,且AP=tAB(0≤t≤1),则OA· 的最 大值为( A.a C.3a ) B.2a D.a2

解析: 利用向量的数量积的坐标表示, 把向量问题转化为函数问 题求最值. → → ∵AP=tAB, → → → → → → → → ∴OP=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA) =(a,0)+t[(0,a)-(a,0)]=(a-at,at) → OP → ∴OA· =a(a-at)+0· at=a2(1-t), 这个式子是关于 t 的一次函数,在 t∈[0,1]上是递减的, → OP → ∴当 t=0 时,OA· 取得最大值 a2. 答案:D
?a·? a 6.若向量 a 与 b 不共线,a、b≠0,且 c=a-?a·?· b b,则向量 a ? ?

与 c 的夹角为( A.0 π C. 3 π B. 6 π D. 2

)

解析:∵a· c=a· [a-( D. 答案:D

a· a a· a )· b]=a· a-( )(a· b)=0,∴a⊥c,故选 a· b a· b

π 7.已知向量 a=(2cosθ,-2sinθ),θ∈( ,π),b=(0,1)则向量 a 2 与 b 的夹角是( 3π A. -θ 2 C.θ- π 2 ) π B. +θ 2 D.θ

解析: 本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解. 即 cos〈a,b〉= = a· b |a|· |b|

-2sinθ =-sinθ, 2×1

3 ∵0<〈a,b〉<π,∴cos〈a,b〉=cos( π-θ), 2 3 ∴〈a,b〉= π-θ. 2 3 另用数形结合解更简捷:由题可作图,由图易知〈a,b〉= π 2 -θ. 答案:A a 8. 若向量 a≠0, b= , c=(cosθ, sinθ), b 与 c 一定满足( 则 |a| A.b=c B.b· c=0 D.以上均不对 )

C.(b+c)⊥(b-c)

解析:b2=c2?(b+c)⊥(b-c). 答案:C → → → 9.在△ABC 中,若BC=a,CA=b,AB=c,且 a· b=b· c=c· a, 则△ABC 的形状是( A.等腰三角形 ) B.直角三角形

C.等边三角形

D.A、B、C 均不正确

→ → → 解析:∵a+b+c=BC+CA+AB=0,则有 a+b=-c,(a+b)2=c2, 整理得 a2+b2+2a· 2. b=c 同理 b2+c2+2b· 2. c=a ①-②,有 a2-c2+2(a· b-b· c)=c2-a2, 由于 a· b=b· c,∴a2=c2,即|a|=|c|. 同理|a|=|b|,∴|a|=|b|=|c|. → → → 即|BC|=|CA|=|AB|.∴△ABC 是正三角形.∴选 C. 答案:C 10.在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列等式不成立 的是( ) ① ②

→ → AB → A.|AC|2=AC· → → BC → B.|BC|2=BA· → → CD → C.|AB|2=AC· → AB → → BC → → |2=?AC· ?×?BA· ? D.|CD → |AB|2 → AB → (AC → → 解析:∵AC· =AC·→ +CB) → → CB → → =AC2+AC· =AC2, → AB → → ∴|AC→2=AC· 成立; | 同理|BC → AB → BC → → → · 成立; AC· ×BA· = → | =BA BC 而 → → |AB| |BA|
2

→ |BD → |AD|·→ |=|CD|2.故选 C.

答案:C 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,请把答案 填写在题中横线上) 11.已知 a=(5,4),b=(3,2),则与 2a-3b 平行的单位向量为 ________. a 解析:与 a 平行的单位向量有:同向的 e1= ; |a| 反向的 e1= -a . |a|

∵2a-3b=2(5,4)-3(3,2)=(1,2), ∴|2a-3b|= 5, 所以与 2a-3b 平行的单位向量为 2a-3b ± ?1,2? e=± = |2a-3b| 5 =± ( 1 2 5 2 5 , )=± , ( ). 5 5 5 5
? 5 2 5? ? 5 2 5? ?或?- ,- ? , 5 ? ? 5 5 ? ? 5

答案:?

12.(2011· 重庆理,12)已知单位向量 e1,e2 的夹角为 60° ,则|2e1 -e2|=________. 解析:本题主要考查向量的模及数量积等基础知识. ∵|e1|=|e2|=1, 1,e2〉=60° 〈e , 1 ∴e1·2=|e1||e2|cos60° . e = 2 ∴|2e1-e2|= ?2e1-e2?· 1-e2? ?2e = 4|e1|2+|e2|2-4e1·2= 4+1-2= 3. e 答案: 3

13.(2009· 辽宁文,13)在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点 的坐标为________. 解析:考查向量相等的定义. → → 设 D(x,y),∵AB=DC,∴(8,8)=(8-x,6-y), ∴x=0,y=-2,∴D(0,-2). 答案:(0,-2) 14.(2009· 天津文,15)若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一

→ 1 → 2 → → MB → 点 M 满足CM= CB+ CA,则MA· =__________. 6 3
解析:本小题考查平面向量的运算,主要考查了向量的加法、减 法和数量积.

→ 1→ 2→ → → → 1→ 1→ ∵CM= CB+ CA,∴MA=CA-CM= CA- CB, 6 3 3 6 → → → 5→ 2→ MB=CB-CM= CB- CA. 6 3
2→ 5 → 7 2 5 → MB → → ∴MA· =- CA2- CB2+ C→· =- ×12- ×12+ A CB 9 36 18 9 36 7 1 ×12× =-2. 18 2 答案:-2 15.已知在同一平面上的三个非零向量 a、b、c 夹角两两相同, 且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|2a-b+3c|的值为________. 解析:由题意知 a、b、c 任意两向量夹角为 2π . 3

由两向量的数量积,得 a· b=-1,b· c=-3, 3 c· a=- . 2

所以|2a-b+3c|= ?2a-b+3c?2= 4|a|2+|b|2+9|c|2-4a· b-6b· c+12c· a = 93. 当 a、b、c 任意两向量夹角为 0 时, |2a-b+3c|=||2a|-|b|+|3c||=9. 综上,得|2a-b+3c|的值为 93或 9. 故填 93或 9. 答案: 93或 9 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)(2010· 江苏理, 15)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长; → → OC → (2)设实数 t 满足(AB-tOC)· =0,求 t 的值. → → 解:(1)AB=(3,5),AC=(-1,1), → → → → 两条对角线长分别是|AB+AC|与|AB-AC|, → → → → AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4), → → ∴|AB+AC|= 4+36=2 10, → → |AB-AC|= 16+16=4 2. → (2)OC=(-2,-1), → → OC → OC → → → ∵(AB-tOC)· =AB· -tOC2=0, 11 ∴-6-5-5t=0,∴t=- . 5

?1 3? 17.(本小题满分 12 分)设 a=( 3,-1),b=? , ?,若存在 2? ?2

不同时为零的实数 k 和 t,使 x=a+(t-3)b,y=-ka+tb,且 x⊥y. (1)试求函数关系式 k=f(t); (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围. 解:(1)∵a· b=0,x⊥y,|a|=2,|b|=1, ∴[a+(t-3)b]· [-ka+tb]=0, 即-ka2+[t-k(t-3)]a· b+t(t-3)b2=0, 1 ∴-4k+t2-3t=0.∴k= (t2-3t). 4 1 (2)由 f(t)>0,即 (t2-3t)>0, 4 解得 t>3 或 t<0. 18.(本小题满分 12 分)已知 ABCD 为正方形,BE∥AC,AC= CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求证:AF=AE. 解:如图所示,以 C 点为原 点,以正方形 ABCD 的 DC 边 所在的直线为 x 轴,CB 边所在 直线为 y 轴,建立直角坐标系, 设正方形的边长为 1,则 A、B 的坐标分别为(-1,1), (0,1), E 点的坐标为(x, 设 y)(x>0), → =(x, 则BE → → → y-1),AC=(-1,1).因为BE∥AC 所以 x· 1-(-1)· (y-1)=0,即 x+y-1=0 → → 又因为|CE|=|AC|,所以 x2+y2=2
?1+ 3 1- 3? ?, 联立①②解得 E 点的坐标为? , 2 ? ? 2

① ②

设 F 点的坐标为(x′,1), → → ?1+ 3,1- 3?共线得: ? 由CF=(x′,1)和CE=? 2 ? ? 2 1- 3 1+ 3 x′- =0,x′=-(2+ 3), 2 2 即点 F 的坐标为(-2- 3,1), → → ?3+ 3,-1- 3?, ? 所以AF=(-1- 3,0),又AE=? 2 ? 2 ? → 所以|AF|=1+ 3, → |AE|=
?3+ 3? 2 ?-1- 3? 2 ? ? +? ? =1+ 3,即 AF=AE. 2 ? 2 ? ? ?

→ → 点拨:用向量的坐标法证明,只要求出AF与AE的坐标,利用两 点间的距离公式就可得证, 问题的关键在于如何建立坐标系, 考虑到 四边形 ABCD 为正方形,故可以以 C 点为原点,DC 边所在直线为 x 轴,CB 边所在直线为 y 轴,建立坐标系. 19.(本小题满分 13 分)设 0<|a|≤2,且函数 f(x)=cos2x-|a|sinx -|b|的最大值为 0,最小值为-4,且 a 与 b 的夹角为 45° ,求|a+b|. 解:要求|a+b|需知道|a|、|b|,故可利用函数的最值确定|a|、|b| 的值. f(x)=1-sin2x-|a|sinx-|b|
? |a|? |a|2 ?sinx+ ? + -|b|+1. =- 2? 4 ?
2

∵0<|a|≤2, |a| 1 ∴当 sinx=- 时, |a|2-|b|+1=0; 2 4 当 sinx=1 时,-|a|-|b|=-4.

?1|a|2-|b|+1=0, 由?4 ?|a|+|b|=4

?|a|=2, ? ?? ?|b|=2. ?

∴|a+b|2=8+4 2,即|a+b|=2 2+ 2.
?1 3? 20.(本小题满分 13 分)已知向量 a=( 3,-1),b=? , ?, 2? ?2

存在非零实数 k 和 t,使得向量 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且 x k+t2 ⊥y,问 t 是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,说 明理由. 解:由已知得,|a|=2,|b|=1,a· b= 3 3 - =0. 2 2

由 x⊥y 得,[a+(t2-3)b]· (-ka+tb)=0, 即-ka· a+(t3-3t)b· b+(t-kt2+3k)a· b=0. 所以-k|a|2+(t3-3t)|b|2=0,所以-4k+t3-3t=0, t3-3t 所以 k= . 4 k+t2 1 2 1 7 所以 t = (t +4t-3)= (t+2)2- , 4 4 4 k+t2 7 所以当 t=-2 时, t 有最小值- . 4 点拨:要善于挖掘隐含条件 x⊥y,并利用 x· y=0 进行化简,从 而得出实数 k 与 t 间的关系式. 对含有两个或两个以上参数的代数式的最值问题, 一般先利用已 知条件寻求这几个参数间的关系式, 再将所求式化为只含有一个参数 的代数式,最后再求最值. 21. (本小题满分 13 分)如图所示, Rt△ABC 中, 在 已知 BC=a, → → 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问PQ与BC的夹角 θ 取何值时,

→ CQ → BP· 的值最大?并求出这个最大值. → → 解:解法一:∵AB ⊥AC ,∴ → AC → AB· =0. → → BP → → ∵AP=-AQ,→ =AP-AB, → → → CQ=AQ-AC, → CQ → → → (AQ ∴BP · =(AP -AB )· → - → AC) → AQ → AC → AQ → AC → → → → =AP· -AP· -AB· +AB· → AC → AP → → =-a2-AP· +AB· → (AB → =-a2+AP·→ -AC) 1→ → =-a2+ PQ· BC 2 =-a2+a2cosθ. → CQ → 当 θ=0° 时,BP· 最大,其最大值为 0. 解法二:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标 轴建立如图所示的平面直角坐标系.

→ → 设|AB|=c,|AC|=b,则 A(0,0),B(c,0),C(0,b), → → 且|PQ|=2a,|BC|=a,设 P 点的坐标为(x,y), → 则 Q(-x,-y).∴BP=(x-c,y), → → → CQ=(-x,-y-b),BC=(-c,b),PQ=(-2x,-2y). → CQ → ∴BP· =-x(x-c)-y(y+b)=-x2-y2+cx-by, → PQ 2cx-2by cx-by → BC· cosθ= = = , 2a2 a2 → ||PQ| → |BC 即 cx-by=a2cosθ. → CQ → ∴BP· =-a2+a2cosθ. → CQ → 故当 cosθ=1 时,即 θ=0° → 与BC同向)时,BP· 最大,其最 (PQ → 大值为 0.


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