广东省华南师大附中2015届高三5月综合测试(三模)数学文试题

2015 年综合测试（三）

数

学（文科）
2015.5

本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线 内. 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不 按以上要求作答的答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回. 第一部分 选择题（共 50 分） 一、 选择题： （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.）
2 1．设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? (***)

?

?

A． ? 4

B． ?4 或 2

C．- 2 或 4
2

D．2

2．已知命题 p : ?? ? R, cos(? ? ? ) ? cos? ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? 0 .则下面结论正确的是 (***) A．?q 是真命题 B．p 是假命题 C．p∧q 是假命题 D．p∨q 是真命题 3. 设{ an } 是公差为正数的等差数列，若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ，且 a1a2a3 ? 80 ，则 a11 ? a12 ? a13 等于 (***) A．120 B． 105 C． 90 D．75

4．函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的图象大致是(***)

5. 如图，大正方形的面积是 34，四个全等直角三角形围成一个小正方 角三角形的较短边长为 3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则 落在小正方形内的概率为(***) 1 A． 17 2 B． 17 3 C． 17 4 D． 17

形，直 小花朵

6. 某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是(***)
·1 ·

A．2

B． 3

C． 7

D．1

?2 x ? 2 y ? 1 ? ? 7．若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ,且向量 a ? (3,2) ， ?2 x ? y ? 1 ?
?

b ? ( x, y ) ，则 a ? b 的取值范围是(***)
5 4
B． [ , 5]

? ?

A． [ , 5]

8 ．同时具有性质“①最小正周期是 ? ；②图象关于直线

7 2

C． [ , 4]

5 4

D． [ , 4]

7 2

x?

?

3

对称； ③在 [ ?

? ?

A． y ? sin(

x ? ? ) 2 6

, ] 上是增函数”的一个函数是 6 3
B． y ? cos( 2 x ?

(***)

?

3

)

C． y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D． y ? cos( 2 x ?

?
6

)

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 2 a b

10 ，则双曲线的方程为(***) 3
A． x ?
2

y2 ?1 9
?
?

B． x 2 ? y 2 ? 1 5
?

C．

x2 y 2 ? ?1 9 9
?
?

D．
?

x2 ? y2 ? 1 9
? ?

10. 称 d（ a , b ) = a ? b 为两个向量 a , b 间距离，若 a , b 满足① b ? 1 ； ② a ? b ；
?
?

?

?

?

③ 对任意实数 t，恒有 d（ a , t b ) ? d（ a , b ) ，则(***) A． （ a ? b ） ? （ a- b ） 第二部分
? ? ? ?

?

?

B . b ? （ a- b ）

?

?

?

C . a ? b

?

?

D . a ? （ a- b ）

?

?

?

非选择题（共 100 分）

开始 S=0, n=1 否 分， 满

二、填空题： （本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分 20 分） （一）必做题（11～13 题） 11. 函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 在 x ? 1 处的切线方程是
2

n≤6 是 S = S－n n=n+2

*** . 12. 右图是一个算法的流程图，则最后输出的 *** ． 13. 由 直 线 y ? x ? 1 上 的 一 点 向 圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引 切
2 2

输出 S 结束 线， 则

·2 ·

切线长的最小值为 *** ． （二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题.） 14. （坐标系与参数方程选做题）设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? ( ? 是参数， a ? 0 )，直 y ? 1 ? 4sin ? ?
C A
O D·

线 l 的极坐标方程为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 5 ， 若曲线 C 与直线 l 只 个公共点，则实数 a 的值是 *** ． 15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙ O 上一点 C 在直径 AB 上的射

有 一 B

影 为

D ，且 CD ? 4 ， BD ? 8 ，则⊙ O 的半径等于 *** ．
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16． （本题满分 12 分） 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边，且 c ? 2 ， C ? （1）若 ?ABC 的面积等于 3 ，求 a , b ； （2）若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ，求 A 的值． 17． （本题满分 12 分） 某工厂有 25 周岁以上（含 25 周岁）工人 300 名，25 周岁以下工人 200 名．为研究工人的日平 均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了 100 名工人，先统计了他们某月的 日平均生产件数，然后按工人年龄在“25 周岁以上（含 25 周岁）”和“25 周岁以下”分为两组， 再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组： [50, 60) ， [60, 70) ， [70,80) ， [80,90) ， [90,100) 分 别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图． （1） 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人， 求至少抽到一名“25 周岁以下组” 工人的频率． （2）规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成 2? 2 的列联表， 并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？

?
3

．

附表： P（ K ? k ）
2

0.100

0.010

0.001

·3 ·

n(ad ? bc)2 ， K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

k

2.706

6.635

10.828

(其中 n ? a ? b ? c ? d ) 18． （本题满分 14 分） 如图， ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 是底面半径为 1 的圆柱的内接 柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面） ，过 FB 作圆柱的截面交 于 C1 E1 ，已知 FC1 ? 13 . （1）证明：四边形 BFE1C1 是平行四边形； （2）证明： FB ? CB1 ； （3）求三棱锥 A ? A1 BF 的体积. 19． （本题满分 14 分） 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和，且满足 Sn ? Sn?1 ? tan (其中 t 为常数， t ? 0 ， n ? 2 )，已和
2

正六棱 下底面

a1 ? 0 ，且当 n ? 2 时， an ? 0 . （1）求数列 ?an ? 的通项公式；
（2）若对于 n ? 2 ，n ? N ，不等式
*

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 恒成立，求 t 的取值范围． a2 a3 a3a4 a4 a5 an an ?1

20． （本题满分 14 分） 已知 a，b 是实数，1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点． （1）求 a 和 b 的值； （2）设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ，求 g ( x) 的极值点；

2] ，求函数 y ? h( x) 的零点个数． （3）设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ，其中 c ? [?2 ，
21． （本题满分 14 分） 如图， O 为坐标原点，点 F 为抛物线 C1 ： x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点，且抛物线 C1 上点 P 处的切线 与圆 C2 ： x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q ． （1）当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时，求抛物线 C1 的方程； （2）当正数 p 变化时，记 S1 , S 2 分别为△FPQ，△FOQ 的面积，求

S1 的最小值． S2

·4 ·

·5 ·

·6 ·

·7 ·

·8 ·

·9 ·

·10·

·11·

·12·