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广东省华南师大附中2015届高三5月综合测试(三模)数学文试题


2015 年综合测试(三)



学(文科)
2015.5

本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线 内. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液. 不 按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卷和答题卡一并收回. 第一部分 选择题(共 50 分) 一、 选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.)
2 1.设 i 为虚数单位,若复数 z ? m ? 2m ? 8 ? ? m ? 2 ? i 是纯虚数,则实数 m ? (***)

?

?

A. ? 4

B. ?4 或 2

C.- 2 或 4
2

D.2

2.已知命题 p : ?? ? R, cos(? ? ? ) ? cos? ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? 0 .则下面结论正确的是 (***) A.?q 是真命题 B.p 是假命题 C.p∧q 是假命题 D.p∨q 是真命题 3. 设{ an } 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,且 a1a2a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 等于 (***) A.120 B. 105 C. 90 D.75

4.函数 f ( x) ? log2 ( x ?1) 的图象大致是(***)

5. 如图,大正方形的面积是 34,四个全等直角三角形围成一个小正方 角三角形的较短边长为 3,向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵,则 落在小正方形内的概率为(***) 1 A. 17 2 B. 17 3 C. 17 4 D. 17

形,直 小花朵

6. 某三棱锥的三视图如下图所示,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是(***)
·1 ·

A.2

B. 3

C. 7

D.1

?2 x ? 2 y ? 1 ? ? 7.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ,且向量 a ? (3,2) , ?2 x ? y ? 1 ?
?

b ? ( x, y ) ,则 a ? b 的取值范围是(***)
5 4
B. [ , 5]

? ?

A. [ , 5]

8 .同时具有性质“①最小正周期是 ? ;②图象关于直线

7 2

C. [ , 4]

5 4

D. [ , 4]

7 2

x?

?

3

对称; ③在 [ ?

? ?

A. y ? sin(

x ? ? ) 2 6

, ] 上是增函数”的一个函数是 6 3
B. y ? cos( 2 x ?

(***)

?

3

)

C. y ? sin( 2 x ?

?
6

)

D. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

9. 已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 的一个焦点与抛物线 y2 ? 4 10x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2 a b

10 ,则双曲线的方程为(***) 3
A. x ?
2

y2 ?1 9
?
?

B. x 2 ? y 2 ? 1 5
?

C.

x2 y 2 ? ?1 9 9
?
?

D.
?

x2 ? y2 ? 1 9
? ?

10. 称 d( a , b ) = a ? b 为两个向量 a , b 间距离,若 a , b 满足① b ? 1 ; ② a ? b ;
?
?

?

?

?

③ 对任意实数 t,恒有 d( a , t b ) ? d( a , b ) ,则(***) A. ( a ? b ) ? ( a- b ) 第二部分
? ? ? ?

?

?

B . b ? ( a- b )

?

?

?

C . a ? b

?

?

D . a ? ( a- b )

?

?

?

非选择题(共 100 分)

开始 S=0, n=1 否 分, 满

二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分 20 分) (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ( x) ? 2 ln x ? x 在 x ? 1 处的切线方程是
2

n≤6 是 S = S-n n=n+2

*** . 12. 右图是一个算法的流程图,则最后输出的 *** . 13. 由 直 线 y ? x ? 1 上 的 一 点 向 圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引 切
2 2

输出 S 结束 线, 则

·2 ·

切线长的最小值为 *** . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题.) 14. (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? 4cos ? ( ? 是参数, a ? 0 ),直 y ? 1 ? 4sin ? ?
C A
O D·

线 l 的极坐标方程为 3? cos ? ? 4? sin ? ? 5 , 若曲线 C 与直线 l 只 个公共点,则实数 a 的值是 *** . 15. (几何证明选讲选做题)如图,⊙ O 上一点 C 在直径 AB 上的射

有 一 B

影 为

D ,且 CD ? 4 , BD ? 8 ,则⊙ O 的半径等于 *** .
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边,且 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 A 的值. 17. (本题满分 12 分) 某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平 均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的 日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组, 再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组: [50, 60) , [60, 70) , [70,80) , [80,90) , [90,100) 分 别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图. (1) 从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组” 工人的频率. (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成 2? 2 的列联表, 并判断是否有 90% 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

?
3



附表: P( K ? k )
2

0.100

0.010

0.001

·3 ·

n(ad ? bc)2 , K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

k

2.706

6.635

10.828

(其中 n ? a ? b ? c ? d ) 18. (本题满分 14 分) 如图, ABCDEF ? A1 B1C1 D1 E1 F1 是底面半径为 1 的圆柱的内接 柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面) ,过 FB 作圆柱的截面交 于 C1 E1 ,已知 FC1 ? 13 . (1)证明:四边形 BFE1C1 是平行四边形; (2)证明: FB ? CB1 ; (3)求三棱锥 A ? A1 BF 的体积. 19. (本题满分 14 分) 已知 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足 Sn ? Sn?1 ? tan (其中 t 为常数, t ? 0 , n ? 2 ),已和
2

正六棱 下底面

a1 ? 0 ,且当 n ? 2 时, an ? 0 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
(2)若对于 n ? 2 ,n ? N ,不等式
*

1 1 1 1 ? ? ?? ? ? 2 恒成立,求 t 的取值范围. a2 a3 a3a4 a4 a5 an an ?1

20. (本题满分 14 分) 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
21. (本题满分 14 分) 如图, O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1 : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点,且抛物线 C1 上点 P 处的切线 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 1 相切于点 Q . (1)当直线 PQ 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 时,求抛物线 C1 的方程; (2)当正数 p 变化时,记 S1 , S 2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求

S1 的最小值. S2

·4 ·

·5 ·

·6 ·

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·8 ·

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