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2009年,全国高中数学联赛,江苏赛区复赛试题


2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题
第一试(80 分钟) 一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 3n ? 4 n ? N * ,则

?

?

a1 ? a3 ? a5 ?

? a21 ? __

______.

2.若集合 A ? x

?

x ? 3 ? ax ? 1, x ? R 为空集,则实数 a 的取值范围是________.

?

3. 设 x 、 y 为实数, 2 x ? y ? 1 ,则二元函数 u ? x2 ? 4x ? y 2 ? 2 y 的最小值是 ________ 4.设 F1 、 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线左 a 2 b2

支于 A 、 B 两点,且 ?AF1B ? 120? . 双曲线的离心率的值介于整数 k 与 k ? 1 之间, 则 k ? ________. 5.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 216 ,则四面体 AB1CD1 与四面体 A1BC1D 的 重叠部分的体积等于________. 6.设 [ x ] 表示不大于 x 的最大整数,则

[log3 1] ? [log3 2] ? [log3 3] ?

? [log3 258] ? ________.

7.设方程 x2n?1 ? a2n x2n ? a2n?1x2n?1 ?

? ?a1x ? a0 ? 0 的根都是正数,且

a1 ? ? ? 2n ?1? ,则 a0 的最大值是________.
8. 2009 ? 1911 的方格棋盘的一条对角线穿过________个棋盘格.

二、 解答题(本题满分 14 分)
求函数

f ? x? ? sin4 x ? tan x ? cos4 x ? cot x 的值域.

三、解答题(本题满分 15 分)
如图,抛物线 y 2 ? 2 x 及点 P ?1,1? ,过点 P 的不重合的直线 l1 、 l2 与此抛物线分别 交于点 A ,

B , C , D .证明: A , B , C , D 四点共圆的充要条件是直线 l1 与 l2 的倾斜角互
补.

y A O D B C P x

四、解答题(本题满分 15 分)
设 a , b 是正数,且 a ? 1 , b ? 1 ,求证:

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? ? a ? 1?? b ? 1? . a 4 ? 1 b 4 ? 1 64

第二试(150 分钟) 一、(本题满分 50 分)
如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC ,△ ADE 的内切圆与 DE 切于点 M ,△ ABC 的 BC 边上的旁切圆切 BC 于点 N ,点 P 是 BE 与 CD 的交点,求证 M 、 N 、 P 三点 共线.
A

D B

M P N

E C

二、(本题满分 50 分)
设 k , n 为给定的整数, n ? k ? 2 . 对任意 n 元的数集 P ,作 P 的所有 k 元子集 的元素和,记这些和组成的集合为 Q ,集合 Q 中元素个数是 CQ ,求 CQ 的最大值.

三、(本题满分 50 分)
设M

? 2n1 ? 2n2 ?
.
n1 2

? 2ns , n1 , n2 , , ns 是互不相同的正整数,求证:

M ?2

?2

n2 2

?

?2

ns 2

? 1?

?

2

?

M

四、(本题满分 50 分)
求满足下列条件的所有正整数 x , y :(1) x 与 y ? 1 互素; (2) x2 ? x ? 1 ? y3 .

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 第一试
一、填空题(本题满分 56 分,每小题 8 分)
1 1 9 1. 268 2. (??, ? ) ( , ??) 3. ? 4. 2 5. 36 6. 932 7. 1 8. 3871 3 6 5

二、 解答题(本题满分 14 分) 解

sin x cos x sin 6 x ? cos6 x 因为 f ? x ? ? sin x ? ? cos4 x ? ? ? cos x sin x sin x cos x
4

3 2 ? sin 2 2 x 2 . sin 2 x
…………

……8 分 令 t ? sin 2 x ,则 t ???1,0?
g ?t ? ? 2 3 ? t t 2

3 2 ? t2 2 3 ?0,1? , f ? x ? ? 2 ? ? t . 易知函数 t t 2

1 1 在区间 ? ?1,0? 与 ? 0,1? 上都是减函数,所以 g ? t ? 的值域为 (??, ? ] [ , ??) ,故 2 2

f ? x ? 的值域
1 1 为 (??, ? ] [ , ??) . 2 2

………………14 分

三、解答题(本题满分 15 分) 解 设 l1 、 l2 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,由题设知

? 、 ? ? ? 0, ? ? . 易知直线 l1 的参数方程为
? x ? 1 ? t cos ? , ? ? y ? 1 ? t sin ?
代入抛物线方程可化得

t 2 sin2 ? ? 2 ?sin ? ? cos? ? t ?1 ? 0 .

设上述方程的两根为 t1 、 t 2 ,则 t1t2 ?
A P? B P ? 1 . 2 sin ?

?1 . 由参数 t 的几何意义,得 sin 2 ?

…………………5 分

同理
C P? D P ? 1 . 2 sin ?

…………………7

分 若 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AP ? BP ? CP ? DP ,即 sin 2 ? ? sin 2 ? . 因为 ? 、 ? ? ? 0, ? ? ,所以 sin ? ? sin ? . 又由 l1 、 l2 不重合,则 ? ? ? . 所以 ? ? ? ? ? . 分 反过来,若 ? ? ? ? ? ,则因 ? 、 ? ? ? 0, ? ? ,故 sin ? ? sin ? ,且 ? ? 0 , …………………11

? ? 0.
所以
1 1 ? ,即 AP ? BP ? CP ? DP . 2 sin ? sin 2 ?

故 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆. 15 分

…………………

四、解答题(本题满分 15 分) 解 因为
a5 ? 1 a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 ? , 且 a4 ?1 a3 ? a 2 ? a ? 1

8 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? 5 ? a 3 ? a 2 ? a ? 1? ? a ? 1?

? 3a4 ? 2a3 ? 2a 2 ? 2a ? 3 ? ? a 4 ? 2a 2 ? 1? ? 2 ? a 4 ? a 3 ? a 2 ? 1?
? ? a 2 ? 1? ? 2 ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? ? 0
2 2

( a ? 1 ), …………………

a 4 ? a3 ? a 2 ? a ? 1 5 a5 ? 1 5 ? ? a ? 1? . ? ? a ? 1? ,即 4 所以 a ?1 8 a3 ? a 2 ? a ? 1 8

10 分

同理可证 于是,

b5 ? 1 5 ? (b ? 1) . b4 ? 1 8

a5 ? 1 b5 ? 1 25 ? ? (a ? 1) ? b ? 1? . a4 ? 1 b4 ? 1 64

…………………15 分

2009 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案与评分标准 加 试

一、(本题满分 50 分) 证 设 BE 与 MN 交于点 P ' . BP BC BP ' BN ? ? 因为 DE ∥ BC ,所以 , . PE DE P ' E EM 故只需证明 BC BN BN EM ? ? ,或 . ……………… DE EM BC DE 10 分 如图, 设 O1 、 O2 分别为三角形的内切圆与旁切圆的圆

A

D B

M P N

E C

心, F 、 G 、 H 、 I 为切点,则 1 EM ? ? AE ? DE ? AD ? , AH ? AB ? BH ? AB ? BN , 2 1 1 AH ? AI ? ? AB ? BC ? AC ? , BN ? AH ? AB ? ? AC ? BC ? AB ? . 2 2 ………… ……30 分 又 ?ADE ∽ ?ABC , 故可设 AB BC AC ? ? ?k, AD DE AE 则 1 ( AC ? BC ? AB) BN 2 ? BC BC
(k ? AE ? k ? DE ? k ? AD ) 2k ? DE ( AE ? DE ? AD) EM ? ? 2 DE DE ?

A G E

F O 1 M D B H O2 P N

C I

故结论成立. 二、(本题满分 50 分)
k 解 CQ 的最大值为 Cn .

………………50 分 …………………10 分 …………………20 分

k k 因 P 共有 Cn 个 k 元子集,故显然有 CQ ? Cn .

下面我们指出,对集合 P ? {2, 22 , 意两个不同的 k

k ,即 P 的任 , 2n },相应的 CQ 等于 Cn

k 元子集的元素之和不相等. 从而 CQ 的最大值为 Cn .

事实上,若上述的集合 P 有两个不同的 k 元子集

A ? {2r1 , 2r2 ,

, 2rk } ,

B ? {2s1 , 2s2 ,

, 2sk } ,

使得 A 与 B 的元素之和相等,则
2r1 ? 2r2 ? ? 2rk ? 2s1 ? 2s2 ? ? 2sk ? M (设).



因①可视为正整数 M 的二进制表示,由于 ri 互不相同, si 互不相同,故由正整 数的二进制表示的唯一性,我们由①推出,集合 {r1 , r2 , 相同,从而子集 A ? B ,矛盾. 这就证明了我们的断言. 三、(本题满分 50 分) 证 对 s 归纳. (1) 当 s ? 1 时,结论显然成立.

, rk } 必须与 {s1 , s2 ,

, sk }

…………………50 分

…………………10 分

(2) 假设 s ? k 时结论成立,当 s ? k ? 1 时,不妨设 n1 ? n2 ? 由归纳假设可知, 2 2 ?
n2

? nk ? nk ?1 .

?2

nk ?1 2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ,则
n2

22 ? 22 ?
n1
1

n1

?22 ?2

nk

nk ?1 2

? (1 ? 2) M ? 2n1 ? 2 2 .

n1

所以只要证明: (1 ? 2) M ? 2n ? 2 2 ? (1 ? 2) M , 此即 因为正整数 n1 ? n2 ?
( 1?
n1 2 2) 2

M ? M ? 2n1

? 1.

…………………30 分

? nk ? nk ?1 ,所以
2n1 ? 2n2 ?1 ? 2n2 ? 2n2 ?1 ? ?2 ?2 ?
n2 n3

? 2 ?1

?2 .
nk ?1

.


M ? 2n1 ? 2n2 ? ? 2nk ? 2nk ?1 ? 2 ? 2n1 , ? 2nk ?1 ? 2n1 .

M ? 2n1 ? 2n2 ?

所以
(1 ? 2)2 2
n1

M ? M ? 2n1

?

(1 ? 2)2 2

n1

2 ? 2n1 ? 2n1

?1,

即 s ? k ? 1 时,命题成立. 因此,由数学归纳法可知,命题对所有正整数 s 成立.…………………50 分

四、(本题满分 50 分) 解 显然 x ? 1 , y ? 1 满足要求.…………………10 分

对于 x ? 1 , y ? 1 , 方程可化为

? y ? 1? ? y 2 ? y ? 1? ? x ? x ? 1? .

显然 x ? y . 因为 ? x, y ?1? ? 1,故 x 一定是 y 2 ? y ? 1 的一个因子. 设

y 2 ? y ? 1 ? kx
( k 为正整数),从而 x ?1 ? k ? y ?1? . 由 x ? y 可知 k ? 2 .…………………20 分 消去 x ,得 y2 ? y ? 1 ? k 2 ? y ?1? ? k , 即 由此推得 y ?1 ? k ? 3? .

?y

2

? 1? ? ? y ? 1? ? k 2 ? y ? 1? ? k ? 3 .

…………………40 分

若 k ? 3 ,则 y ? 1 ? k ? 3 ,即 k ? y ? 2 ,从而

k 2 ? y ?1? ? k ? y2 ? y ?1 ? k 2 ? ? k ? 2? ?1 ,
故必有 y ? 1 ? 0 ,矛盾.所以 k ? 3 ,从而 k ? 2 , 3 . 验证知 y ? 7 , x ? 19 . 综上, ? x, y ? ? ?1,1? , ?19,7 ? . …………………50 分


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