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集合与常用逻辑用语 2014高考数学试题集锦



A 单元 集合与常用逻辑用语


)

A1 集合及其运算 1.[2014· 北京卷] 已知集合 A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则 A∩B=(

A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2} 1.C [解析] ∵A={0,2},∴A∩B={0,2}∩{0,1,

2}={0,2}. 15. 、[2014· 福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a, b,c,d)的个数是________. 15.6 [解析] 若①正确,则②③④不正确,可得 b≠1 不正确,即 b=1,与 a=1 矛盾, 故①不正确; 若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得 d=4;由 a≠1,b≠1,c≠2,得满足条 件的有序数组为 a=3,b=2,c=1,d=4 或 a=2,b=3,c=1,d=4. 若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得 d=4;由②不正确,得 b=1,则满足条 件的有序数组为 a=3,b=1,c=2,d=4; 若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得 b=1,由 a≠1,c≠2,d≠4,得满足条 件的有序数组为 a=2,b=1,c=4,d=3 或 a=3,b=1,c=4,d=2 或 a=4,b=1,c= 3,d=2; 综上所述,满足条件的有序数组的个数为 6. 1.[2014· 广东卷] 已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2,},则 M∪N=( )

A.{0,1} B.{-1,0,2} C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1} 1.C [解析] 本题考查集合的运算.因为 M={-1,0,1},N={0,1,2},所以 M∪N ={-1,0,1,2}. 3.[2014· 湖北卷] U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是 “A∩B=?”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.C [解析] 若存在集合 C 使得 A?C,B??UC,则可以推出 A∩B=?;若 A∩B=?, 由维思图可知, 一定存在 C=A, 满足 A?C, B??UC, 故“存在集合 C 使得 A?C, B??UC” 是“A∩B=?”的充要条件.故选 C. 1. [2014· 辽宁卷] 已知全集 U=R, A={x|x≤0}, B={x|x≥1}, 则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 1.D [解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0 或 x≥1},所以?U(A∪B)={x|0<x<1}.

2. 、[2014· 全国卷] 设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( ) A.(0,4] B.[0,4) C.[-1,0) D.(-1,0] 2.B [解析] 因为 M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以 M∩N ={x|-1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}. 1.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知集合 A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B =( )

A.[-2,-1] B.[-1,2) B.[-1,1] D.[1,2) 1.A [解析] 集合 A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以 A∩B=[-2,-1]. 1. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设集合 M={0, 1, 2}, N={x|x2-3x+2≤0}, 则 M∩N=(

)

A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 1.D [解析] 集合 N=[1,2],故 M∩N={1,2}. 2. ,[2014· 山东卷] 设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 2. C [解析] 根据已知得, 集合 A={x|-1<x<3}, B={y|1≤y≤4}, 所以 A∩B={x|1≤x <3}.故选 C. 1.[2014· 陕西卷] 设集合 M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则 M∩N=( )

A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1) 1. B [解析] 由 M={x|x≥0, x∈R}, N={x|x2<1, x∈R}={x|-1<x<1, x∈R}, 得 M∩N =[0,1). 1.[2014· 四川卷] 已知集合 A={x|x2-x-2≤0},集合 B 为整数集,则 A∩B=( ) A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1} C.{0,1} D.{-1,0} 1. A [解析] 由题意可知, 集合 A={x|-1≤x≤2}, 其中的整数有-1, 0, 1, 2, 故 A∩B ={-1,0,1,2},故选 A. 19. 、 、 [2014· 天津卷] 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数. 设集合 M={0, 1, 2, ?, q-1}, - 集合 A={x|x=x1+x2q+?+xnqn 1,xi∈M,i=1,2,?,n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A. - - (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,其中 ai,bi∈M,i=1, 2,?,n.证明:若 an<bn,则 s<t. 19.解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,xi∈M,i=1, 2,3},可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. - - (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+?+anqn 1,t=b1+b2q+?+bnqn 1,ai,bi∈M,i =1,2,?,n 及 an<bn,可得 - - s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+?+(an-1-bn-1)qn 2+(an-bn)qn 1 - - ≤(q-1)+(q-1)q+?+(q-1)qn 2-qn 1



(q-1)(1-qn 1) n-1 -q 1-q


=-1<0, 所以 s<t. 1.[2014· 浙江卷] 设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x2≥5},则?UA=(

)

A.? B.{2} C.{5} D.{2,5} 1.B [解析] ?UA={x∈N|2≤x< 5}={2},故选 B. 11.[2014· 重庆卷] 设全集 U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5, 7,9},则(?UA)∩B=________. 11.{7,9} [解析] 由题知?UA={4,6,7,9,10}, ∴(?UA)∩B={7,9}. A2 命题及其关系、充分条件、必要条件 2.[2014· 安徽卷] “x<0”是“ln(x+1)<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. B [解析] ln(x+1)<0?0<1+x<1?-1<x<0, 而(-1, 0)是(-∞, 0)的真子集, 所“x<0” 是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件. 5. [2014· 北京卷] 设{an}是公比为 q 的等比数列, 则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.D [解析] 当 a1<0,q>1 时,数列{an}递减;当 a1<0,数列{an}递增时,0<q<1.故选 D. 6. 、[2014· 福建卷] 直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1” 1 是“△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 6. A [解析] 由直线 l 与圆 O 相交, 得圆心 O 到直线 l 的距离 d= 1 <1, 解得 k≠0. k +1
2

)

当 k=1 时,d=

1 1 1 1 ,|AB|=2 r2-d2= 2,则△OAB 的面积为 × 2× = ; 2 2 2 2

1 1 当 k=-1 时,同理可得△OAB 的面积为 ,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分 2 2 不必要条件. 3.[2014· 湖北卷] U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C 使得 A?C,B??UC”是 “A∩B=?”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 3.C [解析] 若存在集合 C 使得 A?C,B??UC,则可以推出 A∩B=?;若 A∩B=?, 由维思图可知, 一定存在 C=A, 满足 A?C, B??UC, 故“存在集合 C 使得 A?C, B??UC” 是“A∩B=?”的充要条件.故选 C. 8.[2014· 陕西卷] 原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|” ,关于其逆命题,否 命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 8.B [解析] 设 z1=a+bi,z2=a-bi,且 a,b∈R,则|z1|=|z2|= a2+b2,故原命题 为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当 z1=2+i,z2=-2+i 时,满足|z1|=|z2|,此时 z1,z2 不是共轭复数,故原命题的逆命题为假. 7.[2014· 天津卷] 设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7. C [解析] 当 ab≥0 时, 可得 a>b 与 a|a|>b|b|等价. 当 ab<0 时, 可得 a>b 时 a|a|>0>b|b|; 反之,由 a|a|>b|b|知 a>0>b,即 a>b. 2. 、 [2014· 浙江卷] 已知 i 是虚数单位, a, b∈R, 得“a=b=1”是“(a+bi)2=2i” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ?a2-b2=0, ?a=1, ? ? 2.A [解析] 由 a,b∈R,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i, 得? 所以? 或 ?2ab=2, ?b=1 ? ? ? ?a=-1, ? 故选 A. ?b=-1. ? 6.[2014· 重庆卷] 已知命题 p:对任意 x∈R,总有 2x>0,q:“x>1”是“x>2”的充分不必 要条件,则下列命题为真命题的是( ) A.p∧q B.綈 p∧綈 q C.綈 p∧q D.p∧綈 q 6.D [解析] 根据指数函数的图像可知 p 为真命题.由于“x>1”是“x>2”的必要不充分 条件,所以 q 为假命题,所以綈 q 为真命题,所以 p∧綈 q 为真命题. A3 基本逻辑联结词及量词 5.[2014· 湖南卷] 已知命题 p:若 x>y,则-x<-y,命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命 题①p∧q;②p∨q;③p∧(綈 q);④(綈 p)∨q 中,真命题是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 5.C [解析] 依题意可知,命题 p 为真命题,命题 q 为假命题.由真值表可知 p∧q 为 假,p∨q 为真,p∧(綈 q)为真,(綈 p)∨q 为假. 5. 、[2014· 辽宁卷] 设 a,b,c 是非零向量,已知命题 p:若 a· b=0,b· c=0,则 a· c=0, 命题 q:若 a∥b,b∥c,则 a∥c,则下列命题中真命题是( ) A.p∨q B.p∧q C.(綈 p)∧(綈 q) D.p∨(綈 q) 5. A [解析] 由向量数量积的几何意义可知, 命题 p 为假命题; 命题 q 中, 当 b≠0 时, a,c 一定共线,故命题 q 是真命题.故 p∨q 为真命题.
? ?x+y≥1, 9. 、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组? 的解集记为 D,有下面四个命题: ?x-2y≤4 ?

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,

p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2, p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3, p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1. 其中的真命题是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p1,p4 D.p1,p3 9.B [解析] 不等式组表示的区域 D 如图中的阴影部分所示,设目标函数 z=x+2y, 根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点 A(2,-1)处取得最小值,且 zmin=2-2=0, 即 x+2y 的取值范围是[0,+∞),故命题 p1,p2 为真,命题 p3,p4 为假.

A4 单元综合 2.[2014· 福州期末] 已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B=[3,+∞),则图 X1?1 中阴影部分所表示的集合为( )

图 X1?1 A.{0,1,2} B.{0,1} C.{1,2} D.{1} 2.C [解析] 由题意,阴影部分表示 A∩(?UB).因为?UB={x|x<3},所以 A∩(?UB)= {1,2}. 4.[2014· 湖南十三校一联] 下列说法正确的是( ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 B.命题“?x0∈R,x2 0+x0-1<0”的否定是“?x∈R,x +x-1>0” C.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D.若“p 或 q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 4.D [解析] A 中否命题应为“若 x2≠1,则 x≠1”;B 中否定应为“?x∈R,x2+x -1≥0” ;C 中原命题为真命题,故逆否命题为真命题;易知 D 正确. 6.[2014· 郑州质检] 已知集合 A={x|x>2},B={x|x<2m},且 A?(?RB),则 m 的值可 以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.A [解析] 易知?RB={x|x≥2m},要使 A?(?RB),则 2m≤2,∴m≤1,故选 A. ? ?y-3=3? ?, 9. [2014· 湖北八市联考] 已知集合 M=?(x,y)? N={(x, y)|ax+2y+a=0}, ?x-2 ? ? 且 M∩N=?,则 a=( ) A.-6 或-2 B.-6 C.2 或-6 D.-2 9.A [解析] 易知集合 M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为 3 的直线上除(2,3)

点外的所有点.要使 M∩N=?,则 N 中的元素表示的是斜率为 3 且不过(2,3)点的直线, a 或过(2,3)点且斜率不为 3 的直线,∴- =3 或 2a+6+a=0,∴a=-6 或 a=-2. 2 ?1? 11. [2014· 吉林实验中学模拟] 已知集合 A={1, 2a}, B={a, b}. 若 A∩B=?2?, 则 A∪B ? ? =____________. 1? 1 1 1 1 ? 11.{-1, ,1} [解析] ∵A∩B= ,∴2a= ,∴a=-1,∴b= ,∴A=?1,2?,B 2 2 2 2 ? ? 1 1 =-1, ,∴A∪B={-1, ,1}. 2 2 12 . [2014· 杭州一模 ] “λ<0”是“数列 {an}(an = n2 - 2λn , n∈N*) 为递增数 列”的 ____________条件. 12.充分不必要 [解析] ∵{an}为递增数列?an+1>an?2n+1-2λ >0?2n+1>2λ?3>2 3 λ ?λ < ,∴“λ<0”是“数列{an}(an=n2-2λn,n∈N*)为递增数列”的充分不必要条件. 2


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