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2015-2016学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷(解析版)


2015-2016 学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.sin50°cos20°﹣cos50°sin20°=( ) A. B. C.cos70° D.sin70°

2.已知等差数列{an}中首项 a1=2,公差 d=1,则

a5=( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.已知实数 a,b 满足 a>b,则下列不等式中成立的是( ) A.a3>b3 B.a2>b2 C. > D.a2>ab )

4. b∈{1, 2}, b) 若实数 a, 则在不等式 x+y﹣3≥0 表示的平面区域内的点 P (a, 共有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5. B、 C 的对边分别为 a, b, c, a=1, b= 在△ABC 中, 角 A、 A. B. C. 或 D. ) , ∠A= 则∠B 等于 (



6.若 tan(α+ A. B.﹣

)=2,则 tanα=( C.3 D.﹣3

7.已知正实数 a,b 满足 + =1,则 a+b 的最小值为( A.1 B.2 C.4 D.2



8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a+b=2,c=1,C= ( A. ) B.1 C. D.

,则 a=

9.已知{an}是一个无穷等比数列,则下列说法错误的是( ) A.若 c 是不等于零的常数,那么数列{c?an}也一定是等比数列 B.将数列{an}中的前 k 项去掉,剩余各项顺序不变组成一个新的数列,这个数列一定是等 比数列 C.{a2n﹣1}(n∈N*)是等比数列 D.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,那么 S6、S12﹣S6、S18﹣S12 也一定成等比数列 10.已知﹣ A. (﹣ , <x< ) ,0<y< B. (﹣ , ,则 x﹣y 的取值范围( ) C. (﹣ , ) ) D. (﹣ , )

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11.如图,已知两灯塔 A,D 相距 20 海里,甲、乙两船同时从灯塔 A 处出发,分别沿与 AD 所成角相等的两条航线 AB,AC 航行,经过一段时间分别到达 B,C 两处,此时恰好 B, D,C 三点共线,且∠ABD= ,∠ADC= ,则乙船航行的距离 AC 为( )

A.10 +10 海里 B.10 ﹣10 海里 C.40 海里 D.10 +10 海里 12.若关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|﹣2<x<1},则函数 f(x)=bx2+cx+a 的图 象可能为( )

A.

B.

C.

D.

13.若钝角三角形的三边长和面积都是整数,则称这样的三角形为“钝角整数三角形”,下列 选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是( ) A.2,3,4 B.2,4,5 C.5,5,6 D.4,13,15 14.已知实数 x,y 满足 x2+y2﹣xy=2,则 x2+y2+xy 的取值范围( ) A. (﹣∞,6] B.[0,6] C.[ ,6] D.[1,6]

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 15.在等差数列{an}中,若 a6=1,则 a2+a10= 16.若变量 x,y 满足约束条件

. . . .

,则 z=2x+y 的最小值为

17.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=2,Sn=an+1(n∈N*) ,则 a4= 18.已知锐角 α,β 满足 19.已知各项都不为 0 的等差数列{an},设 bn= ,则 α+β=

(n∈N*) ,记数列{bn}的前 n 项和

为 Sn,则 a1?a2018?S2017= . 20.在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=60°,∠D=150°,BC=1,则四边形 ABCD 面积的取 值范围是 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21.已知函数 f(x)= (1)比较 f(1)与 f(2)的大小关系;
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(2)求不等式 f(x)> 的解集. 22.已知{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且 a1=b1=1,a1+a2=b4,b1+b2=a2. (1)求{an}与{bn}的通项公式; (2)记数列{an+bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 23.已知函数 f(x)=sin(x+ )cosx.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(α)= ,求 sin4α 的值.

24.已知函数 f(x)=x2﹣2x+t,g(x)=x2﹣t(t∈R) (1)当 x∈[2,3]时,求函数 f(x)的值域(用 t 表示) (2)设集合 A={y|y=f(x) ,x∈[2,3]},B={y|y=|g(x)|,x∈[2,3]},是否存在正整 数 t,使得 A∩B=A.若存在,请求出所有可能的 t 的值;若不存在,请说明理由. 25.若正项数列{an}满足: =an+1﹣an(a∈N*) ,则称此数列为“比差等数列”.

(1)请写出一个“比差等数列”的前 3 项的值; (2)设数列{an}是一个“比差等数列” (i)求证:a2≥4; (ii)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:对于任意 n∈N*,都有 Sn> .

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2015-2016 学年浙江省台州市高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.sin50°cos20°﹣cos50°sin20°=( ) A. B. C.cos70° D.sin70°

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】由已知及两角差的正弦函数公式,特殊角的三角函数值即可化简求值得解. 【解答】解:sin50°cos20°﹣cos50°sin20° =sin(50°﹣20°) =sin30° = . 故选:B. 2.已知等差数列{an}中首项 a1=2,公差 d=1,则 a5=( A.5 B.6 C.7 D.8 )

【考点】等差数列的通项公式. 【分析】利用等差数列的通项公式能求出该数列的第 5 项. 【解答】解:∵等差数列{an}中首项 a1=2,公差 d=1, ∴a5=2+4×1=6. 故选:B. 3.已知实数 a,b 满足 a>b,则下列不等式中成立的是( A.a3>b3 B.a2>b2 C. > D.a2>ab )

【考点】不等式的基本性质;不等式的综合. 【分析】根据已知,结合幂函数的单调性可判断 A,举出反例可判断 B,C,D,进而得到 答案. 【解答】解:若 a>b,则 a3>b3,故 A 正确; 当 a=1,b=﹣1 时,满足 a>b,但 a2=b2,故 B 错误; 当 a=2,b=1 时,满足 a>b,但 < ,故 C 错误; 当 a=0,b=﹣1 时,满足 a>b,但 a2=ab,故 D 错误; 故选:A 4. b∈{1, 2}, b) 若实数 a, 则在不等式 x+y﹣3≥0 表示的平面区域内的点 P (a, 共有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】二元一次不等式(组)与平面区域. 【分析】根据题意,写出满足不等式 x+y﹣3≥0 的点的坐标即可.
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【解答】解:∵a,b∈{1,2}, ∴P(a,b)共有 2×2=4 个,分别是(1,1) , (1,2) , (2,1)和(2,2) ; 满足不等式 x+y﹣3≥0 的点是(1,2) , (2,1)和(2,2)共 3 个. 故选:C.

5. B、 C 的对边分别为 a, b, c, a=1, b= 在△ABC 中, 角 A、 A. B. C. 或 D.

, ∠A=

则∠B 等于 (



【考点】正弦定理. 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【解答】解:在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,a=1,b= ,∠A= ,

由正弦定理可知:sinB=

=

=



B=





故选:C.

6.若 tan(α+ A. B.﹣

)=2,则 tanα=( C.3 D.﹣3



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由条件利用两角和的正切公式,求得 tanα 的值. 【解答】解:∵tan(α+ 故选:A. )= =2,则 tanα= ,

7.已知正实数 a,b 满足 + =1,则 a+b 的最小值为( A.1 B.2 C.4 D.2



【考点】基本不等式. 【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵正实数 a,b 满足 + =1, 则 a+b=(a+b) ∴a+b 的最小值为 4. 故选:C. =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当 a=b=2 时取等号.

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8.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a+b=2,c=1,C= ( A. ) B.1 C. D.

,则 a=

【考点】余弦定理. 【分析】由已知及余弦定理可求 ab=1,结合 a+b=2,联立即可解得 a 的值. 【解答】解:∵a+b=2,c=1,C= ,

∴由余弦定理 c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:1=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=4﹣3ab, ∴解得:ab=1, ∴a(2﹣a)=1,整理可得:a2﹣2a+1=0, ∴解得:a=1. 故选:B. 9.已知{an}是一个无穷等比数列,则下列说法错误的是( ) A.若 c 是不等于零的常数,那么数列{c?an}也一定是等比数列 B.将数列{an}中的前 k 项去掉,剩余各项顺序不变组成一个新的数列,这个数列一定是等 比数列 C.{a2n﹣1}(n∈N*)是等比数列 D.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,那么 S6、S12﹣S6、S18﹣S12 也一定成等比数列 【考点】等比关系的确定. 【分析】利用等比数列的定义,分析 4 个选项,即可得出结论. 【解答】解:对于 A,若 c 是不等于零的常数,那么数列{c?an}也一定是等比数列,首项为 a1,公比为 cq,正确; 对于 B,将数列{an}中的前 k 项去掉,剩余各项顺序不变组成一个新的数列,这个数列一定 是等比数列,首项为 ak+1,公比为 q,正确; 对于 C,等比数列的奇数项仍是等比数列,正确; 对于 D,设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,那么 S6、S12﹣S6、S18﹣S12 也一定成等比数列,不 正确,比如 1,﹣1,1,﹣1,…. 故选:D.

10.已知﹣ A. (﹣ ,

<x< )

,0<y< B. (﹣ ,

,则 x﹣y 的取值范围( ) C. (﹣ , )

) D. (﹣ , )

【考点】不等式的基本性质;不等式的综合. 【分析】根据已知结合不等式的基本性质,可得 x﹣y 的取值范围. 【解答】解:∵0<y< ∴﹣ 又∵﹣ <﹣y<0, <x< ,
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∴﹣ 即﹣



<x﹣y< ,



<x﹣y< ,

∴x﹣y∈(﹣ 故选:D

) ,

11.如图,已知两灯塔 A,D 相距 20 海里,甲、乙两船同时从灯塔 A 处出发,分别沿与 AD 所成角相等的两条航线 AB,AC 航行,经过一段时间分别到达 B,C 两处,此时恰好 B, D,C 三点共线,且∠ABD= ,∠ADC= ,则乙船航行的距离 AC 为( )

A.10

+10 海里 B.10 ﹣10 【考点】解三角形的实际应用. 【分析】求出∠ACD= 【解答】解:∵∠ABD= ∴∠BAD= ∴∠ACD= =∠CAD,

海里 C.40 海里

D.10

+10

海里

,△ACD 中,由正弦定理可得乙船航行的距离 AC. ,∠ADC= ,

△ACD 中,由正弦定理可得 ∴AC=10 +10 故选:A. 海里,



12.若关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|﹣2<x<1},则函数 f(x)=bx2+cx+a 的图 象可能为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象;二次函数的性质. 【分析】根据韦达定理和不等式的解集得到 b=a,c=﹣2a,a<0,即 f(x)=a(x﹣1)2, 故可判断.
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【解答】解:关于 x 的不等式 ax2+bx+c>0 的解集为{x|﹣2<x<1}, ∴a<0 且﹣ =﹣2+1, =﹣2×1,

即 b=a,c=﹣2a,a<0, ∴f(x)=bx2+cx+a=ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2, 故 f(x)=bx2+cx+a 的图象开口向下,且最大值为 0,关于 x=1 对称, 故选:C. 13.若钝角三角形的三边长和面积都是整数,则称这样的三角形为“钝角整数三角形”,下列 选项中能构成一个“钝角整数三角形”三边长的是( ) A.2,3,4 B.2,4,5 C.5,5,6 D.4,13,15 【考点】正弦定理. 【分析】设三角形的最大角为 θ,则利用余弦定理可求 cosθ,利用同角三角函数基本关系式 可求 sinθ,利用三角形面积公式可求三角形面积,逐一判断各个选项即可. 【解答】解:设三角形的最大角为 θ,则: cosθ= 对于 A, 不能; cosθ= 对于 B, 不能; 对于 C,cosθ= 对于 D,cosθ= 符合条件; 故选:D. 14.已知实数 x,y 满足 x2+y2﹣xy=2,则 x2+y2+xy 的取值范围( A. (﹣∞,6] B.[0,6] C.[ ,6] D.[1,6] ) = ,故三角形为锐角三角形,不符合条件; =﹣ ,sinθ= = ,S= ×4×13× =24, =﹣ sinθ= , = S= ×2×4× , = , =﹣ , sinθ= = S= ×2×3× , = ,

【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】设 x2+y2+xy=A,分别求得 x2+y2 和 2xy,分别构造(x+y)2≥0 及(x﹣y)2≥0, 解关于 A 的不等式,即可求得 A 的取范围. 【解答】解:设 x2+y2+xy=A, ∵x2+y2﹣xy=2, 两式相加可得,2(x2+y2)=2+A (1) 两式相减得得:2xy=A﹣2 (2) 1 2 2 ( )+( )× 得: 2(x2+y2)+4xy=2(x+y)2=3A﹣2≥0 ∴A≥ , (1)﹣(2)×2 得:
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2(x﹣y)2=﹣A+6≥0, ∴A≤6 综上: ≤A≤6, 故选:C. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分 15.在等差数列{an}中,若 a6=1,则 a2+a10= 2 . 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由已知条件利用等差数列通项公式能求出 a2+a10. 【解答】解:∵在等差数列{an}中,a6=1, ∴a2+a10=a1+d+a1+9d=2(a1+5d)=2a6=2. 故答案为:2.

16.若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小值为 4 .

【考点】简单线性规划. 【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,平移直线结合图象求出 z 的最小值即 可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得 A(1,2) ,

由 z=2x+y 得:y=﹣2x+z, 结合图象直线 y=﹣2x+z 过 A(1,2)时,z 最小,z 的最小值是 4, 故答案为:4. 17.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,若 a1=2,Sn=an+1(n∈N*) ,则 a4= 8 . 【考点】数列递推式. 【分析】分别令 n=1,2,3,由数列递推公式能够依次求出 a2,a3,a4. 【解答】解:∵a1=2,an+1=Sn(n∈N*) , ∴a2=S1=2, a3=S2=2+2=4,
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a4=S3=2+2+4=8. 故答案为:8.

18.已知锐角 α,β 满足 【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】由 α、β∈(0,

,则 α+β=



) ,利用同角三角函数的关系算出 cosα、sinβ 的值,进而根据两 ,结合 α+β∈(0,π)可得 α+β 的值. , = ? ﹣ . ? = .

角和的余弦公式算出 cos(α+β)= 【解答】解:∵α、β∈(0, ∴cosα= =

) ,满足 ,sinβ=

由此可得 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ= 又∵α+β∈(0,π) ,∴α+β= 故答案为: .

19.已知各项都不为 0 的等差数列{an},设 bn= 为 Sn,则 a1?a2018?S2017= 2017. . 【考点】数列的求和. 【分析】利用裂项求和,代入计算,即可得出结论. 【解答】解:设 an=kd+b(k≠0,d≠0) ,则 bn= ∴Sn= ( ﹣ ) , ﹣ )=a1?a2018?

(n∈N*) ,记数列{bn}的前 n 项和

= (



) ,

∴a1?a2018?S2017=a1?a2018? ( 故答案为:2017.

?

=2017,

20.在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=60°,∠D=150°,BC=1,则四边形 ABCD 面积的取 值范围是 ( , ) .

【考点】解三角形. 【分析】把 AB 长度调整,两个极端分别为 C,D 重合,A,D 重合分别计算两种极限前提 下 AB 的长度,利用割补法求出四边形 ABCD 面积的取值范围. 【解答】解:平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=60°,∠D=150°,∴∠C=90°. 当把 AB 长度调整,两个极端分别为 C,D 重合时,AB=BC=1; 当 A,D 重合时,由正弦定理得 = ,解得 AB=2;

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故 AB 的取值范围是(1,2) , 设 AD=x,则 AO=x,∠OAD=120°四边形 ABCD 面积 S= = ﹣ , , ) . ﹣

∵OB=2,∴x∈(0,1) ,∴S∈( 故答案为: ( , ) .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21.已知函数 f(x)= (1)比较 f(1)与 f(2)的大小关系; (2)求不等式 f(x)> 的解集. 【考点】分段函数的应用. 【分析】 (1)分别算出 f(1)和 f(2)的值,比较大小即可得出答案; (2)当 x>1 时,解出 x 的范围;当 x≤1 时,解出 x 的范围,两者取并集. 【解答】解: (1)∵f(1)=﹣3,f(2)= , ∴f(1)<f(2) ; (2)当 x>1 时,f(x)= > ,∴1<x<2, 当 x≤1 时,f(x)=﹣x﹣2> ,∴x<﹣ , ∴不等式 f(x)> 的解集为{x|1<x<2 或 x<﹣ }.

22.已知{an}是等比数列,{bn}是等差数列,且 a1=b1=1,a1+a2=b4,b1+b2=a2. (1)求{an}与{bn}的通项公式; (2)记数列{an+bn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)设出公比和公差,根据等差、等比数列的通项公式,列出方程组求出公比和公 差,再求出 an、bn;
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(2)由(1)求出 an+bn,利用分组求和法、等比、等差数列的前 n 项和公式求出 Tn. 【解答】解: (1)设等比数列{an}的公比为 q,等差数列{bn}的公差为 d, 由 a1=b1=1 得,an=1×qn﹣1,bn=1+(n﹣1)d, 由 a1+a2=b4,b1+b2=a2 得, ,

解得 d=1,q=3, 所以 an=3n﹣1,bn=n; (2)由(1)得,an+bn=n+3n﹣1, ∴Tn=(1+30)+(2+32)+…+(n+3n﹣1) =(1+2+…+n)+(30+32+…+3n﹣1) = = .

23.已知函数 f(x)=sin(x+

)cosx.

(1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 f(α)= ,求 sin4α 的值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)由两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简解析式,由正弦函数的增区间求 出 f(x)的增区间; (2)由(1)化简 f(α)= 出 sin4α 的值. 【解答】解: (1)由题意得 f(x)=sin(x+ = = 由 , ∴函数 f(x)的单调递增区间是 (2)由(1)得,f(α)= ∴ ∴ , =﹣[1﹣ ] = , ; , 得, = )cosx ,由角之间的关系、诱导公式、二倍角余弦公式的变形求

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=



24.已知函数 f(x)=x2﹣2x+t,g(x)=x2﹣t(t∈R) (1)当 x∈[2,3]时,求函数 f(x)的值域(用 t 表示) (2)设集合 A={y|y=f(x) ,x∈[2,3]},B={y|y=|g(x)|,x∈[2,3]},是否存在正整 数 t,使得 A∩B=A.若存在,请求出所有可能的 t 的值;若不存在,请说明理由. 【考点】二次函数的性质;函数的值域. 【分析】 (1)通过配方求出 f(x)的值域; 2 ( )求出集合 A,通过讨论 t 的范围,求出集合 B,解不等式求出 t 的值即可. 【解答】解: (1)∵f(x)=(x﹣1)2+t﹣1,x∈[2,3], 对称轴 x=1,f(x)在[2,3]递增, ∴x=2 时,f(x)最小,f(2)=t, x=3 时,f(x)最大,f(3)=t+3, ∴f(x)的值域是[t,t+3]; (2)由(1)得:A=[t,t+3],B 即为|g(x)|的值域, ∵A∩B=A,∴A? B, ∵g(x)=x2﹣t,x∈[2,3], 假设存在正整数 t 符合要求, ①当 1≤ ≤2 时,即 1≤t≤4 时, |g(x)|的值域是 B=[4﹣t,9﹣t], 由 4﹣t≤t<t+3≤9﹣t, ∴2≤t≤3, ∴t=2 或 3, ②当 2< <3 时,即 4<t<9 时: |g(x)|的值域 B=[0,M],其中 M=max{﹣f(2) ,f(3)}=max{t﹣4,9﹣t}, 显然当 4<t<9 时,t+3>t﹣4 且 t+3>9﹣t,不符舍去, ③当 ≥3 即 t≥9 时, |g(x)|的值域是 B=[t﹣9,t﹣4], 由 t﹣9≤t+3≤t﹣4,解集为空, 综上 t=2 或 3.

25.若正项数列{an}满足:

=an+1﹣an(a∈N*) ,则称此数列为“比差等数列”.

(1)请写出一个“比差等数列”的前 3 项的值; (2)设数列{an}是一个“比差等数列” (i)求证:a2≥4; (ii)记数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证:对于任意 n∈N*,都有 Sn> 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)根据“比差等数列”的定义,写出一个“比差等数列”的前 3 项即可; .

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(2) (i)当 n=1 时可得 利用基本不等式证明 a2≥4; (ii)由 an>0 得 an+1﹣an=

,求出 a2 利用分离常数法化简,由 an>0 可得 a1>1,

≥0,得 an+1≥an>0 从而得到 an+1﹣an=

,列出 n

﹣1 个不等式并相加得 an≥n+2(n≥2) ,当 n≥2 时利用放缩法和等差数列的前 n 项和公式 化简后,得到 Sn 的不等式再验证 n=1 时是否成立即可. 【解答】 (1)解:一个“比差等数列”的前 3 项可以是:2,4, ;

(2) (i)证明:当 n=1 时,





=

=

=



∵an>0,∴

,则 a1﹣1>0,即 a1>1,



≥2

+2=4,

当且仅当 则 a2≥4 成立;

时取等号,

(ii)由 an>0 得,an+1﹣an=

≥0,

∴an+1≥an>0,则 an+1﹣an=



由 a2≥4 得,a3﹣a2≥1,a4﹣a3≥1,…,an﹣an﹣1≥1, 以上 n﹣1 个不等式相加得,an≥(n﹣2)+4=n+2(n≥2) , 当 n≥2 时,Sn=a1+a2+a3+…+an ≥1+4+(3+2)+…+(n+2)≥(1+2)+(2+2)+…+(n+2)﹣2 = ﹣2= ,

当 n=1 时,由(i)知 S1=a1>1≥



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综上可得,对于任意 n∈N*,都有 Sn>



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2016 年 8 月 6 日

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