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北师版数学必修二(3)


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? ? ? ○ ? ? ? ?

绝密★启用前

2013-2014 学年度???学校高一期中测试卷

北师版数学
考试范围:必修二;考试时间:120 分钟;命题人:范兆赋 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分

一、选择题本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的

1.如果奇函数 f ( x) 在区间[2,6]上是增函数,且最小值为 4,则 f ( x) 在[-6,-2]上 是( ) A.最大值为-4 的增函数 C.最小值为-4 的减函数 2. y ? ( ) x ? 1 的图象大致是

B.最小值为-4 的增函数 D.最大值为-4 的减函数 ( )

1 2

A.

B.

C.

D.

3.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? 1 ,且 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? x ? 1, 则不等 式 f ( x) ? A. C.

1 2 x ? x ? 1 的解集为( 2
B.



? x ?2 ? x ? 2?
? x x ? 2?
D.

? x x ? 2?

? x x ? ?2或x ? 2?
1 f [ f ( )] 8 的值为 ,那么
1 D. 27 ?

?3 x ( x ? 0) f ( x) ? ? ?log2 x( x ? 0) 4.已知函数
1 B. 27

A.

27

C. ?27

试卷第 1 页,总 4 页

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5.下列函数中是周期为 ? 的奇函数的为 (A) y ? cos 2 x (C) y ? tan (B) y ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

x 2

(D) y ? 2 sin(2 x ? ? ) )

6.已知函数 f ( x) ? 2 ? log0.5 x ( x ? 1) ,则 f ( x) 的反函数是( A. f C. f
?1

( x) ? 2 2? x ( x ? 2) B. f ?1 ( x) ? 2 2? x ( x ? 2) ( x) ? 2 x?2 ( x ? 2)
2 2 2

?1

D. f
2

?1

( x) ? 2 x?2 ( x ? 2)


7.若 x, y ? R 且 x ? y ? 2 x ,则 x ? 2 y 的取值范围是(

? 4 ? ? ? ,4? A. ? 3 ?
8.若 y ? ax 与 确的是

4 [? ,??) 3 B.
y??

C. [0,??)

D. [0,4]

b 3 x 在 ?0,??? 上都是减函数,对函数 y ? ax ? bx 的单调性描述正
( B. 在 ?0,??? 上是增函数 D. 在 ?? ?,0? 上是增函数,在 ?0,??? 上是减 )

A. 在 ?? ?,??? 上是增函数 C. 在 ?? ?,??? 上是减函数 函数

9.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? 2 ? 2x ? b ( b 为常数),则
x

f (?1) ? (
(A) 3

) (B) 1 (C)-3 (D) ?1
x

10.设 a, b, c 分别是函 f ( x) ? ( ) ? log 2 x, g ( x) ? 2 ? log 1 x, h( x) ? ( ) ? log 1 x
x x 2 2

1 2

1 2

的零点,则 a, b, c 的大小关系是(



A. b ? c ? a B. a ? b ? c C. b ? a ? c D. c ? b ? a

试卷第 2 页,总 4 页

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第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分

二、填空题本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填 在题中的横线上

?1 ? x 2 , x ? 2 ? 11.已知函数 f ( x ? 2) ? ? ? x ,则 f (1) ? ? ?2 , x ? 2

12.设 a ?

2 a 6 3 2 2 ..x 项的系数和是 ? 0(1 ? 3x )dx ? 4 ,则二项式 ( x ? x ) 展开式中不含


学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

13.已知当 x ? 1 时, 2ax 2 ? bx 的值为 3,则当 x ? ?2 时, ax 2 ? bx 的值为 14.函数 f ( x) ? 3x ? 4 x 在区间 [0, 1] 上的最大值是
3

A.1

B.

1 2

C. 0

D. ? 1

15 .函数 f ( x) 的定义域为 A ,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x 2 ,则称

f ( x) 为单函数,例如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题:
①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x ( x ? R) 是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f ( x) 为单函数,则函数 f ( x) 在定义域上具有单调性. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 评卷人 得分

三、解答题本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字 说明、证明过程或演算步骤
n n 2

16.某人 3 年底花 3 ? (n ? 1)2 + 2n 万元买了一套住房,其中首付 n ? 4 万元, 5 万 元采用商业贷款.贷款的月利率为 3 ? (n ?1)2 + 2n ?,按复利计算,每月等额还贷
n n 2

一次, n ≥ 4 年还清,并从贷款后的次月开始还贷. ⑴这个人每月应还贷多少元? ⑵为了抑制高房价,国家出台“国五条” ,要求卖房时按照差额的 20%缴税.如果这个 人现在将住房 3 ? (n ?1)2 + 2n 万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将
n n 2

获利约多少元? (参考数据: n ? 4 ) 17.本小题10分).

试卷第 3 页,总 4 页

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1 log 2 25 ? log 3 4 ? log 5 9 ? lg 0.001 ? ( ) ? 2 3 计算
18.心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念 和描述问题所用的时间,上课 开始时,学生的兴趣激增,中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态, 随后学生的注意力开始分散,并趋于稳定.分析结果和实验表明,设提出和讲述概念的 时 间为 x (单位:分) ,学生的接受能力为 f ( x) ( f ( x) 值越大,表示接受能力越强) ,

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 44,0 ? x ? 10 ? ,10 ? x ? 15 ?60 f ( x) ? ? ,15 ? x ? 25 ?? 3x ? 105 ? ,25 ? x ? 40 ?30
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力以及 12 分钟时间,老师能否及时在学生一 直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题? 19. (14 分)一船由甲地逆水驶至乙地,甲、乙两地相距 S (km),水的流速为常量 a (km/h),船在静水中的最大速度为 b (km/h) (b>2a),已知船每小时的燃料费用(单 位:元)与船在静水中的速度 v(km/h) 的平方成正比,比例系数为 k ,问: (1)船在静水中的航行速度 v 为多少时,全程燃料费用最少? (2)若水速 a = 8.4 km/h,船在静水中的最大速度为 b=25 km/h,要使全程燃料费用 不超过 40 k S 元,求船在静水中的航行速度 v 的范围。 20.已知某公司生产品牌服装的年固定成本为 10 万元,每生产千件,须另投入 2.7 万 元,设该公司年内共生产品牌服装 x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为 R?x ? 万

1 2 ? 10.8 ? x , ? ? 30 元,且 R? x ? ? ? ?108 ? 1000, ? 3x 2 ? x

0 ? x ? 10


x ? 10

(1)写出年利润 W (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大? 21. (本小题满分 12 分)已知曲线 一点,又函数有极小值-4,求 的值。 的图象与 x 轴相切于不同于原点的

试卷第 4 页,总 4 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析: 因为 f ( x) 在区间[2, 6]上是增函数, 且最小值为 4, 所以 f ?2? ? 4 , 又因为 f ( x) 是奇函数,所以 f ( x) 在[-6,-2]上是单调递增,且最大值为 f ?- 2? ? - f ?2? ? -4 。 考点:函数的性质:奇偶性、单调性和最值。 点评: 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同; 偶函数在关于原点对称的区间上单调性 相反。 2.B 【解析】函数 y ? ( ) x ? 1 3.B 【解析】 试题分析:令 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? x ? 1)
2

1 2

是减函数,又

x?0

时,

y ? 0.

故选 B

1 2

则原不等式为 g ( x) ? 0

g ?( x) ? f ( x) ? ( x ? 1)
因为 f ( x) ? x ? 1 所以 g ' ( x) ? f ' ( x) ? x ? 1 ? 0 于是 g ( x) 单调增

1 g (2) ? f (2) ? [ * 4 ? 2 ? 1] ? 0 2
于是当 x ? 2 时 g ( x) ? 0 解集为 {x | x ? 2} 考点:导数,不等式解法,构造函数的思想。 点评:本题难度较大,构造函数,利用导数的性质,借助函数的单调性是解题的关键。 4.B 【解析】 f ( ) ? log 2 5.D 【解析】略 6.A 【 解 析 】 解 : 因 为 f ( x) ? 2 ? log0.5 x ( x ? 1) , 故 f(x) 的 反 函 数 即 为

1 8

1 1 1 ? ?3 ,所以 f [ f ( )] ? f (?3) ? 3?3 ? ,故选 B 8 8 27

y ? 2 ? log 0.5 x ? y ? 2 ? log 0.5 x ? x ? 22? y ? y ? 22 ? x
答案第 1 页,总 7 页

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再结合原函数的值域得到反函数的定义域,选 A 7.A 【解析】本题考查函数思想和转化思想及二次函数的性质. 含有两个变量的问题常用一个变量表示另一个变量代入消去一个变量,转化为函数问题. 由 x 2 ? y 2 ? 2 x 得 y 2 ? 2 x ? x 2 ;于是 x2 ? 2 y 2 ? x2 ? 2(2x ? x2 ) ? 3x2 ? 4x ;又

2 4 y 2 ? 2 x ? x2 ? 0 解 得 0 ? x ? 2; 设 f ( x) ? 3x 2 ? 4 x ? 3( x ? ) 2 ? , x ? [0, 2]; 二 次 函 数 3 3 2 2 2 4 f ( x) 在 [0, ] 上是减函数,在 [ , 2] 上是增函数; f (0) ? 0, f (2) ? 4, f ( ) ? ? , 所以函 3 3 3 3 4 数 f ( x ) 的值域为 [ ? , 4], 即为 x 2 ? 2 y 2 的取值范围.故选 A 3
8.C 【解析】略 9.C
0 【 解 析 】 由 f ( x ) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 可 知 f (0)? 2 ,于是 ? b ? 1?b ? 0, b ? ?1

f (? 1)? ? f (1) ? ? (? 2 ? 2 1) ?? 。 3
10.A 【解析】本题考查函数零点的含义,指数函数与对数函数的图像,数形结合的思想.

1 y ? ( )x 2

y ? 2x

y ? log2 x
1 a

b c

1

y ? log 1 x
2

1 1 a, b, c 分别是函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x, g ( x) ? 2 x ? log 1 x, h( x) ? ( ) x ? log 1 x 的零点, 2 2 2 2
则 a, b, c 分别是方程 ( ) ? log 2 x =0, 2 ? log 1 x=0, ( ) ? log 1 x=0 的根;即 a 是指数函
x x x 2 2
x x 数 y ? ( ) 与对数函数 y ? log 2 x 图像交点的横坐标; b 是指数函数 y ? 2 与对数函数

1 2

1 2

1 2

1 y ? log 1 x 图像交点的横坐标;a 是指数函数 y ? ( ) x 与对数函数 y ? log 1 x 图像交点的横 2 2 2

答案第 2 页,总 7 页

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x 坐标; 在同一坐标系内做出函数 y ? ( ) ,y ? 2x ,y ? log 2 x ,y ? log 1 x 的图像, 如图,

1 2

2

由图可知: a ? c ? b. 故选 A 11.10 【解析】 试题分析:取 x ? 3, 则 f (1) ? 32 ? 1 ? 10 . 考点:分段函数 12.161 【解析】
2 试题分析: (1 ? 3x )dx ? ( x ? x ) 0 ? ?6 , 所以 a ? ?6 ? 4 ? ?2 , 二项式为 ( x ?

?

2

2

3

2

0

2 6 ) , x

k 2 6? k k k 12 ?3 k (?2) k ,令 12 ? 3k ? 3 ,即 k ? 3 ,所 展开式的通项为 Tk ?1 ? C 6 ( x ) (? ) ? C 6 x
3 3 3 以 T4 ? C6 ? ?160,令 x ? 1 ,得所有项的系数和为1 , x (?2) 3 ,所以 x 的系数为 ? 23 C6

2 x

3

所以不含 x 项的系数和为 1 ? (?160) ? 161
3

考点:本题考查了定积分的求解及二项式展开式的运用 点评: 能直接利用二项式系数的性质求各个系数的和或差时则利用, 否则有时候根据需要可 以辅值 1、0、-1 等使得问题更简单 13.6 【解析】
2 试题分析:因为当 x ? 1 时, 2ax ? bx 的值为 3,所以代入可得 2a ? b ? 3, 将 x ? ?2 代入

ax2 ? bx 可得 4a ? 2b ? 2(2a ? b) ? 6.
考点:本小题主要考查函数值的计算.
2 2 点评:将 x ? 1 代入 2ax ? bx 可得 a,b 的关系式,再代入 ax ? bx 即可得解.

14.A 【解析】解:因为函数 f ( x) ? 3x ? 4x ? f '( x) ? 3 ?12x ? 3(1 ? 2 x)(1 ? 2 x) ,故在区间
3 2

[0, 1] 上先增后减,那么最大值在 x=1/2 处取得,且为 1
15.②③④ 【解析】 试题分析:这类问题,就是要读懂新定义的知识,能用我们已学的知识理解新知识,并加以 应用.如①中

f (?1) ? 1 ? f (1) ,但 ?1 ? 1 ,故 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 不是单函数;②指数函

数 f ( x) ? 2 x ( x ? R) 是单调函数, 是单函数, ②正确; ③若 f ( x) x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 为单函数,则命题“ x1 , x2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ”与命题“若 x1 , x2 ? A 且
答案第 3 页,总 7 页

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x 2 ”是互为逆否命题,同为真,③正确;对④来讲,根据单调
函数的定义, x1 ? x2 时一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) (或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ) ,故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总 有 x1 ? x 2 ,因此④正确;⑤若 f ( x) 为单函数,但函数 f ( x) 在定义域上不具有单调性,如

f ( x) ? (?2) x , x ? N 是单函数,不是单调函数.故正确的有②③④.
考点:理解新知识,函数的单调性. 16. (1) 3n ? (n ?1)2n + 2n2 元 (2)卖房人将获利约 3n ? (n ?1)2n + 2n2 元. 【解析】 试题分析: .⑴设每月应还贷 n ? k + 1 元,共付款 n ≥ 4 次,则有

3n ? (n ?1)2n + 2n2 ,
所以 n ? 1 (元) .

4分 6分 7分

答:每月应还贷 3n ? (n ?1)2n + 2n2 元. ⑵卖房人共付给银行 n ? 2 元, 利息 3 (元) ,

10 分 12 分

缴纳差额税 3n ? (n ?1)2n + 2n2 (元) ,

n ≥ 4 (元) .
答:卖房人将获利约 3 ? (n ?1)2 + 2n 元.
n n 2

14 分

考点:等比数列 点评:主要是考查了等比数列在实际生活中的运用,求解和以及通项公式的运用,属于中档 题。 【答案】-4 【解析】略 18.解:(Ⅰ)由题意可知:

0 ? x ? 10

f ( x) ? ?0.1?x ? 13? ? 60.9
2

所以当 X=10 时, f ( x) 的最大值是 60, 又 10 ? x ? 15 , f ( x) =60

????????????????2 分 ????????????????3 分

所以开讲后 10 分钟,学生的接受能 力最强,并能维持 5 分钟. ????????4 分 (Ⅱ)由题意可知: f (5) ? 54.5, f (20) ? 45, f (35) ? 30 ????????????5 分 所以开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的学生的接受能力从大小依次是 开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的接受能力;???????????????6 分
答案第 4 页,总 7 页

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(Ⅲ)由题意可知: 当 0 ? x ? 10 解得: 5 ? x ? 10 当 10 ? x ? 15

f ( x) ? ?0.1?x ? 13? ? 60.9 ? 0
2

??????????????????7 分

f ( x) =60>56,满足要求; ???????????????8 分

当 15 ? x ? 25 , ? 3x ? 105 ? 56 解得: 15 ? x ? 16

1 3

?????????????????9 分

因此接受能力 56 及以上的时间是 10

1 分钟小于 12 分钟 3

【解析】略 19. (1)船在静水中速度 v = 2a (km/h)时,全程燃料费最少。 (2)当 12≤ v ≤ 25 时,全程燃料费不超过 40kS 元. 【解析】本试题主要是考查了函数在物理中的运用。 (1)根据已知中的条件可知设设全程燃料费用为 y,故全程所需时间为 ,那么 y =

S v?a

S 2 kv v?a



进而得到解析式, ,分析定义域和不等式的思想得到最值。

Skv 2 ? 40kS ,得到得 v2 ? 40v ? 336 ? 0 (2)由以知得 v ? 8.4
解不等式得到范围进而得到最值。 解:(1)设全程燃料费用为 y . ?? 1 分 ∵ 全程所需时间为 ∴ y =

即(v-12)(v-28)? 0 ,

S v?a
??2 分

S 2 kv v?a

(v ? a ) 2 ? 2 a (v ? a ) ? a 2 = kS v?a
= kS[(v ? a) ?

??3 分

a2 ? 2a ] v?a

v∈( a , b ] ?? 5 分

??4 分

∵ v – a > 0 ∴ y≥ 4akS , 当且仅当 v ? a ?

a2 , 即 v = 2a 时取等号,??6 分 v?a
∴ 当 v = 2a 时,全程燃料费最少. ??8 分 ??10 分

∵ 2a ∈ ( a, b ] ( 7 分)

Skv 2 ? 40kS (2) 由以知得 v ? 8.4
得 v ? 40v ? 336 ? 0
2

即(v-12)(v-28)? 0

12 ≤ v ≤ 28 .

答案第 5 页,总 7 页

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∵v ≤ b 12≥a ∴ 12 ≤ v ≤ 25 ??13 分 答 (1)船在静水中速度 v = 2a (km/h)时,全程燃料费最少。 (2)当 12≤ v ≤ 25 时,全程燃料费不超过 40kS 元. ……14 分

1 ? 8.1x ? x 3 ? 10, ? 30 ? 20. (1) W ? ? 1000 ? ?98 ? ? ? 2.7 x ?, ? ? ? 3x ? ?
【解析】

0 ? x ? 10
; (2)9.

x ? 10

试题分析: (1)年利润=销售总收入-总成本,所以 W ? xR ? 10 ? 2.7 x ,由于 R ( x) 是分 段函数,所以 W ( x ) 也是分段函数; (2)这是一个求分段函数最大值的问题,通常要先求出 各段中 W 的最大值, 然后再比较这两个值, 其中较大的一个即为所求, 在各段求最大值时, 要根据函数特点,适当选择方法,如利用基本不不等式,配方,导数等.

?? 1 2? ??10.8 ? 30 x ? x ? 2.7 x ? 10,0 ? x ? 10 ?? ? 试题解析: (1)由题意得 W ? ? , 108 1000? ?? ? ? ? x ? 2.7 x ? 10, x ? 10 ? 3x 2 ? ?? x
1 ? 8.1x ? x 3 ? 10, ? 30 ? 即W ? ? 1000 ? ?98 ? ? ? 2.7 x ?, ? ? ? 3x ? ? 0 ? x ? 10


x ? 10
1 3 x ? 10 30

(2)①当 0 ? x ? 10 时, W ? 8.1x ? 则 W ? ? 8.1 ?

1 2 81 ? x 2 ?9 ? x ??9 ? x ? x ? ? 10 10 10

∵ 0 ? x ? 10 ,∴当 0 ? x ? 9 时,W ? ? 0 ,则 W 递增;当 9 ? x ? 10 时,W ? ? 0 ,则 W 递减; ∴当 x ? 9 时, W 取最大值 ②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? 当且仅当

193 ? 38.6 万元. 5

1000 ? 1000 ? ? 2.7 x ? 38. ? 2.7 x ? ? 98 ? 2 3x ? 3x ?

1000 100 ? 2.7 x ,即 x ? ? 10 取最大值 38. 3x 9

综上,当年产量为 9 千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大. 考点:函数在实际问题中的应用. 21. y? ? 3x 2 ? 2 px ? q ,设其二根为 x1 , x2 3x1 ? 2 px1 ? q ? 0 ①,3x 2 ? 2 px2 ? q ? 0
2 2

②,又 y 有极小值,所以 y? 必有二根,所以在 x 2 处取极小值,即
答案第 6 页,总 7 页

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x 2 ? px2 ? qx2 ? ?4 ③ x1 ? px1 ? qx1 ? 0 ④,由①②③④得 p=6,q=9
【解析】略

3

2

3

2

答案第 7 页,总 7 页


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北师大版数学必修二1.2.4第2课时 (7)

北师大版数学必修二1.2.4第2课时 (7)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1...(3)连结 A′B′,C′D′,D′E′,F′A′,并擦去辅助线 x′轴和 y′...


北师大版数学必修二1.2.4第2课时 (6)

北师大版数学必修二1.2.4第2课时 (6)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1...这条边都叫做母线. 思考 3 对圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形...


北师大版高一数学必修二《1.1.5 三视图》教案

北师大版高一数学必修二《1.1.5 三视图》教案_数学_高中教育_教育专区。“三视图”(第 1 课时)教学设计 教学任务分析 教学目标 知识技能 1.会从投影角度深刻...


高中数学目录——北师大版

北师大版高中数学必修一 · 第一章 集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 · 第二 章函数 · 1、生活中的变量关系 ...


【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 2.2.3.2 第二章解析几何初步]

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,必修二)课时作业 2.2.3.2 第二章解析几何初步]_数学_高中教育_教育专区。【步步高 学案导学设计】2014...


北师大版必修二数学7.3球的表面积和体积

北师大版必修二数学7.3球的表面积和体积_数学_高中教育_教育专区。别指望看第一遍书就能记住和掌握什么---请看第二遍、第三遍。 安边中学 高一 年级 1 学期...


北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修) 2

北师大版高中数学必修 1 全书目录: 第一章 集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料 康托与集合论 第二章 函数 §1 ...

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