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131021数A函数测试答案


数学 A 班测试 2(函数基本性质)参考解答
(第 I 卷)
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.函数 f ( x ) = 答案: (0, +

x+ 1

( )
x
).

2

的定义域是



ì x

- 5, x 澄6, x N; ? 2.若 f ( x) = ? 则 f (3) = í ? 1 ? x 6, x N, ? ? f ( x + 2), 答案:2.
提示: f (3) = f (5) = f (7) = 7 - 5 = 2 . 3.已知 f



( x )= x

2

+ x - 3 ,则 f (2) =



答案:17. 4.将正方形的周长 l 表示成面积 S 的函数,则 l = f (S ) = 答案: 4 S (S > 0) . 提示:注意自变量 S 的范围. 5.若 f ( x ) = x 答案: x .

1 x+ 3

, g ( x) =

1 x+ 3

-

3 - x ,则 f ( x) + g (x) =



3 - x (- 3 < x

3) .
0.


提示:为使 f ( x) 与 g ( x) 有定义, x 须满足 x + 3 > 0 ,且 3 - x 6.函数 f (x) = x +

4 (1 < x < 3) 单调递减区间为 x 4 (1 < x < 3) 时,即 x = 2 时取到. x


答案: (1, 2] (若写成 (1, 2) 也正确). 提示: f ( x) 的最小值在 x = 7.函数 y =

3+ x 图像的对称中心是 2x - 1

骣 1 1÷ , ÷. 答案: ? ? ? 桫 2 2÷
提示: y =

3+ x = 2x - 1

7 1 7 1 的图像向右、上各平移 单位得到. + ,其图像可由 y = 骣 1÷ 2 4x 2 4? x- ÷ ? ? 桫 2÷

8.若函数 f ( x) 满足:对任意实数 t ,有 f (t ) = f (2 - t ),那么 y = f ( x) 的图像一定具有的 一条对称轴的方程为 答案: x = 1 .
1



9.设函数 y = x - 3 - x + 5 的值域为 [a, b] (a < b) ,则 b - a = 答案:16. 提示:分区间讨论去绝对值,易知 ymax = 8, ymin = - 8 . 10.函数 y = 答案: (0, 1] . 提示:由于 t =



1 x + 4x + 5
2

的值域为



x2 + 4 x + 5 =

( x + 2)2 + 1 ? [1,

) ,故 y =

1 (0, 1] . t

11.函数 f ( x) = x3 + x - 20 的零点的近似值为 答案:16.

(精确到 0.1).

提示:由于 f ( x) 单调递增,且 f (2.55) = - 0.868625 < 0, f (2.6) = 0.176 > 0 ,故零点 x 0 存 在且唯一,且 2.55 < x0 < 2.6 .从而在精确到 0.1 的意义下, x0 ? 2.6 . 12.建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的长方体无盖水池,若池底与池壁的造价分别为每 平方米 120 元和 80 元,则水池的最低造价为 答案:1760. 元.

2 (2 x + 2 y) , 提示:设长与宽分别为 x, y ( x, y > 0) ,则 8 = 2 xy ,而造价 T = 120 xy + 80 鬃
故 T = 480 + 320 ?( x

y) ? 480 320 ?2 xy

1760 ,当 x = y = 2 时, Tmin = 1760 .


13.若函数 f (x) = ax2 - 4x ( x > 1) 的最小值存在,则实数 a 的取值范围是 答案: 0 < a < 2 . 提示:由条件知 a > 0 ( a = 0 与 a < 0 均不符合条件),而抛物线对称轴为直线 x =

2 ? (1, a

2 ,故 a

) ,从而 0 < a < 2 .

14.已知偶函数 f ( x) 的定义域为 (- 2, 2),在区间 [0, 2) 上单调递减,若 f (2a) < f (a - 1), 则实数 a 的取值范围是 答案: < a < 1 . 提示:由条件知 a - 1 < 2a < 2 ,解此不等式得 < a < 1 . .

1 3

1 3

二、解答题(每题 10 分,共 30 分) 15.画出函数 f ( x) = x2 - 2 x - 3 的图像, 并写出它的所有单调递 减区间(不必证明). 解:图像如右图所示.所有单调递减区间为 (- ? , 注:单调区间允许写成开区间.

1] 和 [1, 3] .

2

ì x ? ? , ? 2 16.判断函数 f ( x ) = í x - 1 ? ? ? ? 0,

x? ( ? x ? [ 1, 1]

1)

(1, +

),

的奇偶性,并证明你的结论.

解:函数 f ( x) 的定义域是 R ,关于数轴原点对称. 任取 x ? R ,当 x ? [ 1, 1] 时, - x ? [ 1, 1] ,故 f (- x) = 0 = - f (x) ; 当 x? ( ?

1) (1, +

) 时,有 - x ? ( ?

1) (1, +

) ,故

f (- x) =

- x x =- 2 = - f ( x) . 2 (- x) - 1 x - 1

因此 f ( x) 为奇函数(另外,因为 f (- 2) = - f (2) 17.关于实数 a ,讨论函数 f (x) = x2 - 2ax(1 #x 解: f (x) = ( x - a)2 - a2 (1 #x

0 ,所以 f ( x) 不是偶函数).

2) 的最小值.

2) ,开口向上,对称轴为直线 x = a .

当 a < 1 时, f ( x) 的最小值为 f (1) = 1- 2a ; 当 1 #a

2 时, f ( x) 的最小值为 f (a) = - a2 ;

当 a > 1 时, f ( x) 的最小值为 f (2) = 4 - 4a .

(第 II 卷)
一、填空题(每题 5 分,共 20 分) 1.设 f ( x ) = 答案: (- ? , 提示: x ?

1 ,则使 f ( f (x)) 有意义的实数 x 的范围是 x+ 1



2) (- 2, - 1) (- 1, +
1 ,且进一步要求

).
1.


1 ? x+ 1

2.设函数 y = 2 答案:4. 提示:首先有 4 - x

4 - x 的单调递增区间是 [a, b] (a < b) , 则 a + b =

0 ,即 x ? [ 4, 4] .注意到 y 增加 ? 4 - x 减小 ? x 增加,故区

间 [ a, b] 恰好也是函数 f (x) = x ( x ? [ 4, 4]) 的单调递增区间,即 a = 0, b = 4 . 3.已知函数 f (2 x + 1) = x2 + x ,则 f ( x) = 答案: f ( x ) = .

x2 - 1 . 4

提示:因为 f (2 x + 1) =

(4 x 2 + 4 x + 1) - 1 (2 x + 1) 2 - 1 = ,又当 x ? R 时, 2 x + 1 取遍一切 4 4 x2 - 1 实数,所以 f ( x ) = . 4

3

4.解关于 f ( x)( x ? R) 的函数方程 xf (x) + f (2 - x) = x ,得 f ( x) =



ì ? ? ? ? 答案: f ( x) = ? í ? ? ? ? ? ?

x- 2 , x ? 1, x- 1 1 , x = 1. 2

提示:原方程中令 x = 2 - t ,得 (2 - t ) f (2 - t ) + f (t ) = 2 - t ,即

(2 - x) f (2 - x) + f (x) = 2 - x .
当 x ? 1 时,将上述方程与原方程联立,可消去 f (2 - x) ,解得 f ( x) = 当 x = 1 时,在原方程中直接令 x = 1 可得 2 f (1) = 1 ,即 f (1) =

1 . 2

x- 2 . x- 1

ì ? ? ? ? 综上可知 f ( x) = ? í ? ? ? ? ? ?

x- 2 , x ? 1, x- 1 1 , x = 1. 2

二、解答题(每题 10 分,共 30 分)

轾 3 4 5.已知函数 f ( x) 的值域是 犏, ,求函数 y = g ( x) = f ( x) + 1- 2 f ( x) 的值域. 犏 8 9 臌
轾 轾 1- t 2 1 1 1 1 解:由已知得 1 - 2 f ( x) 犏, ,设 t = 1- 2 f ( x) ,则 t ? 犏, ,而 f ( x ) = ,故 犏 犏 2 9 4 3 2 臌 臌 1- t 2 1 2 y = g ( x) = + t = - (t - 1) + 1 . 2 2 轾 1 1 因此当 t ? 犏, 时, y 关于 t 单调递增. 犏 3 2 臌

4 3 7 7 1 ) 时,(g (x)) = ; 当 t = (即 f ( x) = ) 时,(g (x)) = . max min 9 8 8 9 2 轾 7 7 综上所述, g ( x) 的值域为 犏, . 犏 9 8 臌
当 t = (即 f ( x) = 6.已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的奇函数,当 x > 0 时, f ( x ) = (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若方程 f ( x) = c 恰有四个不同的实根,求实数 c 的取值范围. 解:(1)由 f ( x) R 上的奇函数知 f (0) = - f (0) ,即 f (0) = 0 . 当 x < 0 时, f ( x ) = - f (- x ) = -

1 3

x 2 - 3x + 1 . x

x 2 + 3x + 1 1 = x+ + 3. - x x

因此

ì ? ? x+ ? ? ? ? f ( x) = í ? ? ? ? x+ ? ? ? ?

1 + 3, x < 0, x 0, x = 0, 1 - 3, x > 0. x
4

(2)当 x > 0 时, f (x) = x +

1 - 3 ? 2 3 = - 1 ,等号在 x = 1 时取到. x

当 x < 0 时,同理可知 f ( x) ? 1 ,等号在 x = - 1 时取到. 考虑水平直线 y = c 与曲线 y = f ( x) 的交点个数. 当 c = 0 时,易知交点个数为 5,不符合题意,因此 c ? 0 . 此时直线 y = c 不通过曲线 y = f ( x) 上的点 (0, 0) ,由于 y = f (x ) 恰有 4 个单调区间, 故直线 y = c 与这 4 个单调区间所对应的图像各恰有一个交点(且两两不重合) ,从而

c ? ( 1, 0) (0, 1) .
7.设函数 f ( x) 的定义域是 (0, + 当 x > 1 时,恒有 f ( x) < 0 . (1)判断 f ( x) 的单调性,并予以证明;

),对任意正实数 x, y ,都有 f ? ? ?

骣 x÷ ÷= f ( x) - f ( y ),且 ÷ y÷ 桫

骣 1÷ (2)若 f ? ÷= 1 ,解关于 x 的不等式 f (x) + f (4 - x) ? ? ? 桫 2÷
解: (1) f ( x) 在 (0, +

1.

)上单调递减,证明如下:
骣 x2 x ÷< 0 .证毕. > 1 ,由条件知 f ( x2 )- f ( x1 ) = f ? ? 2÷ ÷ ? x1 x1 ÷ 桫

任取 0 < x1 < x2 ,注意到

骣 x ÷ (2)在 f ? ? ÷ ÷= f ( x) - f ( y )中令 x = y = 1 ,得 f (1) = f (1)- f (1) = 0 . ? y÷ 桫 骣 1÷ 1 又令 x = 1, y = ,得 f (2) = f (1) - f ? ÷= 0 - 1 = - 1 . ? ? 桫 2÷ 2
因此原不等式等价于 f (x) + f (4 - x)

f (2) ,即 x > 0, 4 - x > 0 ,且

骣2 ÷ f (4 - x ) = f ? ÷. ? ? 桫 4- x÷ 2 根据(1)的结论,上式转化为 0 < x ,即 0 < x < 4 且 x2 - 4 x + 2 4- x f ( x ) ? f ( 2)
解得 x ? (0, 2

0.

2] [2 + 2, 4) .

5


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