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福建省福州八中2015届高考数学四模试卷(文科)(Word版含解析)


福建省福州八中 2015 届高考数学四模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 M={0,1,2,3},N={x|x ﹣3x<0},则 M∩N=() A.{0} B.{x|x<0} C.{x|0<x<3} D.{1,2} 2. (5 分)在复平面内,复

数 A.第一象限 B.第二象限 表示的点所在的象限是() C.第三象限 D.第四象限
2

3. (5 分)直线 x+2ay﹣1=0 与(a﹣1)x﹣ay+1=0 平行,则 a 的值为() A. B. 或 0 C. 0 D.﹣2 或 0

4. (5 分)已知向量 , 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A. B. 2 C. 3

,则| |=() D.4

5. (5 分)已知平面 α,β,直线 m,n,下列命题中不正确的是() A.若 m⊥α,m⊥β 则 α∥β B. 若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α C. 若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n D.若 m⊥α,m?β,则 α⊥β 6. (5 分)函数 y=2sin( A.
2 2

﹣ )sin(

+ )的一个单调递减区间为() C. D.

B.

7. (5 分)圆 x +y ﹣4x+4y+6=0 截直线 x﹣y﹣5=0 所得的弦长等于() A. B. C. 1 D.5

8. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表: 广告费用 x(万元) 4 2 3 销售额 y(万元) 49 26 39

5 54

根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 () A.63.6 万元 B.67.7 万元 C.65.5 万元 D.72.0 万元

9. (5 分)已知双曲线 C: 的方程为()

的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C

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A.

B.

C.

D.

10. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=() A.2
n﹣1

B.

C.

D.

11. (5 分) 已知椭圆 C:

+

=1, M, N 是坐标平面内的两点, 且 M 与 C 的焦点不重合. 若

M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=() A.4 B. 8 C.12 D.16 12. (5 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的集合:存在非零常数 k,对定义域 中的任意 x,等式 f(kx)= +f(x)恒成立.现有两个函数:f(x)=ax+b(a≠0) ,g(x) =log2x,则函数 f(x) 、g(x)与集合 M 的关系为() A.f(x)∈M,g(x)∈M B.f(x)?M,g(x)∈MC. f(x)∈M,g (x)?M D. f(x)?M,g(x)?M

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上. 13. (4 分)已知在△ ABC 中,∠A=120°且三边长构成公差为 2 的等差数列,则∠A 所对的 边 a=. 14. (4 分)圆心在 x 轴上,且与直线 y=x 切于(1,1)点的圆的方程为 . 15. (4 分)在直角坐标系 xOy 中,设集合 Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},在区域 Ω 内任取 一点 P(x,y) ,则满足 x+y≤1 的概率等于. 16. (4 分)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已 2 2 2 知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距 离,则实数 a=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的 客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可

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获得优惠 500 元, 选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 电信日当天参与活动的人数统计结 果如图所示,现将频率视为概率. (1)求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人,再从该 6 人中随机选出两人, 求这两人获得相等优惠金额的概率.

18. (12 分)已知函数 f(x)=

sinωx?cos(ωx+

)+2sin ωx+ ,直线 y=1﹣

2

与 f(x)

的图象交点之间的最短距离为 π. (Ⅰ)求 f(x)的解析式及其图象的对称中心; (Ⅱ)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若∠A 是锐角,且 f( + c=4,a+b=4 ,求△ ABC 的面积. )= ,

19. (12 分)已知正项数列{an}满足:a1= ,an+1= (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn?an=3(1﹣



) ,求数列{bn}的前 n 和.

20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,△ PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且平 面 PAB⊥平面 ABCD,PA=2,PC=4. (Ⅰ)若点 E 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDE; (Ⅱ)若点 F 在线段 PA 上,且 FA=λPA,当三棱锥 B﹣AFD 的体积为 时,求实数 λ 的值.

21. (12 分)已知 a 为实数,x=1 是函数

的一个极值点.

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(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(2m﹣1,m+1)上单调递减,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设函数 ,对于任意 x≠0 和 x1,x2∈,有不等式|λg(x)|﹣5ln5≥|f(x1)

﹣f(x2)|恒成立,求实数 λ 的取值范围.

22. (14 分)如图,椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B
2

两点.|AF|的最大值是 M,|BF|的最小值是 m,满足 M?m= a . (1)求该椭圆的离心率; (2)设线段 AB 的中点为 G,AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点,O 是坐 标原点.记△ GFD 的面积为 S1,△ OED 的面积为 S2,求 的取值范围.

福建省福州八中 2015 届高考数学四模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 2 1. (5 分)已知集合 M={0,1,2,3},N={x|x ﹣3x<0},则 M∩N=() A.{0} B.{x|x<0} C.{x|0<x<3} D.{1,2} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 求出 N 中不等式的解集确定出 N,再找出两集合的交集即可. 解答: 解:由 N 中的不等式变形得:x(x﹣3)<0, 解得:0<x<3,即 N=(0,3) , ∵M={0,1,2,3}, ∴M∩N= 解答: 解: A、∵m⊥α,m⊥β,
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∴α∥β,故 A 正确; B、∵m∥n,m⊥α, ∴n⊥α, 由平行线中的一条直线垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面可知, B 正确; C、m∥α,α∩β=n,则 m 与 n 可能平行,可能垂直,也可能异面,故 C 错误; D、m⊥α,m?β,由面面垂直的判断定理可知 α⊥β,故 D 正确. 故选:C. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,突出考查线面垂直、线面平行、面面垂直的判断 与性质,掌握这些判断定理与性质定理是关键,属于中档题.

6. (5 分)函数 y=2sin( A. B.

﹣ )sin(

+ )的一个单调递减区间为() C. D.

考点: 二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 先化简函数,可得函数的单调递减区间,即可得出结论. 解答: 解:y=2sin( ﹣ )sin( + )=2sin( ﹣ )cos( ﹣ )=sin( ﹣x)

=cosx, ∴函数的单调递减区间为(k∈Z) , ∴是函数 y=2sin( ﹣ )sin( + )的一个单调递减区间,

故选 B. 点评: 本题考查三角函数的化简,考查三角函数的性质,属于基础题. 7. (5 分)圆 x +y ﹣4x+4y+6=0 截直线 x﹣y﹣5=0 所得的弦长等于() A. B. C. 1 D.5
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 已知圆 x +y ﹣4x+4y+6=0,易得圆心和半径.再利用几何性质,只要计算出圆心 到直线的距离,再用勾股定理即可算出弦长. 2 2 解答: 解:已知圆 x +y ﹣4x+4y+6=0,易得圆心为(2,﹣2) ,半径为 . 圆心为(2,﹣2)到直线 x﹣y﹣5=0 易得为 .

利用几何性质,则弦长为 2

=



故选 A. 点评: 计算直线和圆的相交弦长的通性通法就是, 利用几何性质, 只要计算出圆心到直线 的距离,再用勾股定理即可. 8. (5 分)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如表:
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广告费用 x(万元) 销售额 y(万元)

4 49

2 26

3 39

5 54

根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 () A.63.6 万元 B.67.7 万元 C.65.5 万元 D.72.0 万元

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 根据表中所给的数据,广告费用 x 与销售额 y(万元)的平均数,得到样本中心点, 代入样本中心点求出 的值,写出线性回归方程.将 x=6 代入回归直线方程,得 y,可以预 报广告费用为 6 万元时销售额. 解答: 解:由表中数据得: 又回归方程 = x+ 中的 为 9.4, 故 =42﹣9.4×3.5=9.1, ∴ =9.4x+9.1. 将 x=6 代入回归直线方程,得 y=9.4×6+9.1=65.5(万元) . ∴此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 65.5(万元) . 故选:C. 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用, 解题的关键是正确应用最小二乘法求出线性 回归方程的系数的运算,是一个中档题目. =3.5, = =42,

9. (5 分)已知双曲线 C: 的方程为() A.

的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C

B.

C.

D.

考点: 双曲线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用双曲线 C: 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,建立方

程组,求出 a,b 的值,即可求得双曲线的方程.

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解答: 解:∵双曲线 C:
2 2

的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,

∴a +b =25, ∴b= ,a=2

=1,

∴双曲线的方程为



故选:A. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于 基础题. 10. (5 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=() A.2
n﹣1

B.

C.

D.

考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 直接利用已知条件求出 a2,通过 Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出 Sn. 解答: 解:因为数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2=

所以 Sn﹣1=2an,n≥2,可得 an=2an+1﹣2an,即:



所以数列{an}从第 2 项起, 是等比数列, 所以 Sn=1+

=

, n∈N+.

故选:B. 点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,前 n 项和的求法,考查计算能力.

11. (5 分) 已知椭圆 C:

+

=1, M, N 是坐标平面内的两点, 且 M 与 C 的焦点不重合. 若

M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=() A.4 B. 8 C.12 D.16 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据已知条件,作出图形,MN 的中点连接椭圆的两个焦点,便会得到三角形的中 位线,根据中位线的性质及椭圆上的点到两焦点的距离和为 2a 即可求出|AN|+|BN|. 解答: 解:设 MN 的中点为 D,椭圆 C 的左右焦点分别为 F1,F2,如图,连接 DF1,DF2, ∵F1 是 MA 的中点,D 是 MN 的中点,∴F1D 是△ MAN 的中位线;
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,同理



∴|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|) ,∵D 在椭圆上,∴根据椭圆的标准方程及椭圆的定义知: |DF1|+|DF2|=4,∴|AN|+|BN|=8. 故选:B. 点评: 考查三角形的中位线,椭圆的定义:|PF1|+|PF2|=2a,a>0. 12. (5 分)已知集合 M 是满足下列性质的函数 f(x)的集合:存在非零常数 k,对定义域 中的任意 x,等式 f(kx)= +f(x)恒成立.现有两个函数:f(x)=ax+b(a≠0) ,g(x) =log2x,则函数 f(x) 、g(x)与集合 M 的关系为() A.f(x)∈M,g(x)∈M B.f(x)?M,g(x)∈MC. f(x)∈M,g (x)?M D. f(x)?M,g(x)?M 考点: 函数恒成立问题;元素与集合关系的判断. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 分别对两个函数,利用存在非零常数 k,对定义域中的任意 x,等式 f(kx)= +f (x)恒成立,即可得出结论. 解答: 解: (1) 若f (x) =ax+b∈M, 则存在非零常数 k, 对任意 x∈D 均有 f (kx) =akx+b= +f (x) , 即 a(k﹣1)x= 恒成立,得 无解,所以 f(x)?M.

(2)log2(kx)= +log2x,则 log2k= ,k=4,k=2 时等式恒成立,所以 f(x)=log2x∈M. 故选:B. 点评: 本题考查函数恒成立问题,考查新定义,正确理解新定义是关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在答题纸上. 13. (4 分)已知在△ ABC 中,∠A=120°且三边长构成公差为 2 的等差数列,则∠A 所对的 边 a=7.
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考点: 等差数列的通项公式;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由三边长构成公差为 2 的等差数列设三角形的三边分别为 x﹣2,x,x+2,利用余 弦定理表示出 cosA,将设出三边长及 cosA 的值代入求出 x 的值,即可确定出 a. 解答: 解:根据题意设三角形的三边分别为 x﹣2,x,x+2, 由余弦定理得 cos120°=
2

=﹣ ,

整理得:x ﹣5x=0,即 x(x﹣5)=0, 解得:x=5 或 x=0(舍去) , 则∠A 所对的边 a=5+2=7, 故答案为:7 点评: 此题考查了余弦定理,以及等差数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 14. (4 分)圆心在 x 轴上,且与直线 y=x 切于(1,1)点的圆的方程为 (x﹣2) +y =2. 考点: 圆的标准方程. 分析: 根据题意,不难求出圆心坐标(2,0)求出半径即可. 解答: 解:圆心在 x 轴上,且与直线 y=x 切于(1,1)点的圆的圆心坐标(2,0) ,半径 为 R, 则 R =2 2 2 圆的方程为(x﹣2) +y =2 2 2 故答案为: (x﹣2) +y =2 点评: 本题考查圆的标准方程,直线与圆的位置关系,是基础题. 15. (4 分)在直角坐标系 xOy 中,设集合 Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},在区域 Ω 内任取 一点 P(x,y) ,则满足 x+y≤1 的概率等于 .
2 2 2

考点: 几何概型. 分析: 本题是一个几何概型, 试验包含的所有事件对应的集合 Ω={ (x, y) |0≤x≤1, 0≤y≤1}, 满足条件的事件 A={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1},算出两个集合对应的面积,面积之 比就是要求的概率. 解答: 解:本题是一个几何概型, ∵试验包含的所有事件对应的集合 Ω={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}, ∴SΩ=1×1=1, ∵满足条件的事件 A={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1,x+y≤1}, ∴SA= ,

∴由几何概型公式得到 P= = ,

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故答案为: . 点评: 本题考查几何概型,几何概型和古典概型是高中必修中学习的 2015 届高考时常以 选择和填空出现,有时文科会考这种类型的解答题目. 16. (4 分)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离,已 知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距 离,则实数 a= .
2 2 2

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;点到直线的距离公式. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先根据定义求出曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离,然后根据曲线 C1: 2 y=x +a 的切线与直线 y=x 平行时,该切点到直线的距离最近建立等式关系,解之即可. 2 2 解答: 解:圆 x +(y+4) =2 的圆心为(0,﹣4) ,半径为 , 圆心到直线 y=x 的距离为
2 2 2 2

=2

, ﹣ = .

∴曲线 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离为 2 2 则曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 , 令 y′=2x=1 解得 x= ,故切点为( , +a) , 切线方程为 y﹣( +a)=x﹣ 即 x﹣y﹣ +a=0, 由题意可知 x﹣y﹣ +a=0 与直线 y=x 的距离为 ,



解得 a= 或﹣ .
2

当 a=﹣ 时直线 y=x 与曲线 C1:y=x +a 相交,故不符合题意,舍去. 故答案为: . 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及点到直线的距离的计算, 同时考查了分析求解的能力,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分)每年 5 月 17 日为国际电信日,某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的 客户进行优惠,优惠方案如下:选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户可 获得优惠 500 元, 选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 电信日当天参与活动的人数统计结 果如图所示,现将频率视为概率. (1)求某人获得优惠金额不低于 300 元的概率; (2)若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出 6 人,再从该 6 人中随机选出两人, 求这两人获得相等优惠金额的概率.

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考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)利用古典概型的概率公式,即可得出结论; (2)由题意按分层抽样方式选出的 6 人中,获得优惠 200 元的 1 人,获得优惠 500 元的 3 人,获得优惠 300 元的 2 人,列举基本事件,即可求这两人获得相等优惠金额的概率. 解答: 解: (1)设事件 A=“某人获得优惠金额不低于 300 元”,则 . (6 分) (2)设事件 B=“从这 6 人中选出两人,他们获得相等优惠金额”,由题意按分层抽样方式选 出的 6 人中,获得优惠 200 元的 1 人,获得优惠 500 元的 3 人,获得优惠 300 元的 2 人,分 别记为 a1,b1,b2,b3,c1,c2,从中选出两人的所有基本事件如下:a1b1,a1b2,a1b3,a1c1, a1c2,b1b2,b1b3,b1c1,b1c2,b2b3,b2c1,b2c2,b3c1,b3c2,c1c2,共 15 个,其中使得事 件 B 成立的为 b1b2,b1b3,b2b3,c1c2,共 4 个,则 . (12 分)

点评: 本小题主要考查学生对概率知识的理解, 通过考查随机抽样, 对学生的数据处理能 力提出较高要求.
2

18. (12 分)已知函数 f(x)=

sinωx?cos(ωx+

)+2sin ωx+ ,直线 y=1﹣

与 f(x)

的图象交点之间的最短距离为 π. (Ⅰ)求 f(x)的解析式及其图象的对称中心; (Ⅱ)设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若∠A 是锐角,且 f( + c=4,a+b=4 ,求△ ABC 的面积. )= ,

考点: 三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用三角恒等变换可得 f(x)= 心; (Ⅱ)依题意,易得 A= ,再利用余弦定理,得 a =
2

sin(2ωx﹣

)+1,于是易得其对称中

=b +16﹣4

2

b,可求

得 b,由 S△ ABC= bcsinA 可求得答案.

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解答: 解: (Ⅰ)f(x)= sin2ωx﹣ cos2ωx+1= 由题可知,T=π,2ω= ∴f(x)= sin(2x﹣ ?ω=1, )+1…5 分

sin(2ωx﹣

)+1…3 分

对称中心为( (Ⅱ)∵f( + ∴sinA=

,1) ,k∈Z…6 分 )= , sinA= , ) ,A=
2

,又 A∈(0,

…9 分 =b +16﹣4
2

∵c=4,a+b=4

,由余弦定理得,a = × =4…13 分

b?b=2

…11 分

∴S△ ABC= bcsinA= ×4×2

点评: 本题考查三角恒等变换,着重考查正弦函数的周期性、对称性,考查余弦定理及三 角形面积公式的应用,属于中档题.

19. (12 分)已知正项数列{an}满足:a1= ,an+1= (Ⅰ)求通项 an; (Ⅱ)若数列{bn}满足 bn?an=3(1﹣



) ,求数列{bn}的前 n 和.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)观察数列的递推公式,利用递推公式即可求出数列通项. (Ⅱ)求出数列{bn}的通项,利用公式法和错位相减法 求出数列{bn}的前 n 和. 解答: 解: (Ⅰ)∵ ,即 ,

∴ ∴

=

+ .

=



(Ⅱ)∵ ∴bn= =2n﹣

, ,

∴Sn=b1+b2+…bn=(2+4+…+2n)

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= 令 两式相减得: =1 +…+ ,则

, ,

=



=2(1 ∴ ∴

)﹣





点评: 本题主要考察了求解数列的通项以及求和方法,属于中档题. 20. (12 分)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,△ PAB 是正三角形,四边形 ABCD 是矩形,且平 面 PAB⊥平面 ABCD,PA=2,PC=4. (Ⅰ)若点 E 是 PC 的中点,求证:PA∥平面 BDE; (Ⅱ)若点 F 在线段 PA 上,且 FA=λPA,当三棱锥 B﹣AFD 的体积为 时,求实数 λ 的值.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ) 连接 AC, 设 AC∩BD=Q, 又点 E 是 PC 的中点, 则在△ PAC 中, 中位线 EQ∥PA, 又 EQ?平面 BDE,PA?平面 BDE.所以 PA∥平面 BDE (Ⅱ)由平面 PAB⊥平面 ABCD,则 PO⊥平面 ABCD;作 FM∥PO 于 AB 上一点 M,则 FM⊥平面 ABCD,进一步利用 最

后利用平行线分线段成比例求出 λ 的值. 解答: 证明: (Ⅰ)如图连接 AC,设 AC∩BD=Q,又点 E 是 PC 的中点,则在△ PAC 中, 中位线 EQ∥PA, 又 EQ?平面 BDE,PA?平面 BDE. 所以 PA∥平面 BDE
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(Ⅱ)解:依据题意可得:PA=AB=PB=2,取 AB 中点 O, 所以 PO⊥AB,且 又平面 PAB⊥平面 ABCD, 则 PO⊥平面 ABCD; 作 FM∥PO 于 AB 上一点 M, 则 FM⊥平面 ABCD, 因为四边形 ABCD 是矩形, 所以 BC⊥平面 PAB, 则△ PBC 为直角三角形, 所以 ,

则直角三角形△ ABP 的面积为

由 FM∥PO 得:

点评: 本题考查的知识要点:线面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理,线面垂直的判 定,等体积的转化关系,锥体的体积公式,平行线分线段成比例定理.

21. (12 分)已知 a 为实数,x=1 是函数

的一个极值点.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间(2m﹣1,m+1)上单调递减,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设函数 ,对于任意 x≠0 和 x1,x2∈,有不等式|λg(x)|﹣5ln5≥|f(x1)

﹣f(x2)|恒成立,求实数 λ 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题: 常规题型. 分析: (I)利用 1 处的导数值为 0 就可求的 a 的值; (Ⅱ)利用导数小于 0 求出函数的递减区间,然后让区间(2m﹣1,m+1)是求出减区间子 区间就可求出参数 m 的取值范围,还要注意:2m﹣1<m+1; (Ⅲ)先利用导数求出函数的极大值和极小值,极大值和极小值之差就是|f(x1)﹣f(x2) |的最大值,然后让|λg(x)|﹣5ln5 大于等于这个最大值,再用基本不等式求出|λg(x)| 的最小值,便可求出实数 λ 的取值范围.

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解答: 解: (I)f′(1)=0?1﹣6+a=0?a=5 (Ⅱ)首先 x>0,由(I)得 令 f′(x)<0,得:1<x<5 即 f(x)的单调递减区间是(1,5) ∵f(x)在区间(2m﹣1,m﹣1)上单调递减

∴(2m﹣1,m﹣1)?(1,5)?

?1≤m<2

(Ⅲ)由(I) ,

,列表如下:

则 ∴ ∴|λg(x)|﹣5ln5≥|f(x1)﹣f(x2)|恒成立?∴|λg(x)|≥12 恒成立 ∵ 当且仅当 x=±1 取等号

|λg(x)|min=|2λ|≥12?|λ|≥6?λ≤﹣6 或 λ≥6 点评: 本题主要考查了利用导数求单调区间及极值的方法, 还涉及到恒成立问题转化为求 最值问题的一般数学思想, 在第 2 问很容易忽略区间的左端点要小于右端点这一条件, 所以 本题也属于易错题.

22. (14 分)如图,椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,B
2

两点.|AF|的最大值是 M,|BF|的最小值是 m,满足 M?m= a . (1)求该椭圆的离心率; (2)设线段 AB 的中点为 G,AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点,O 是坐 标原点.记△ GFD 的面积为 S1,△ OED 的面积为 S2,求 的取值范围.

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1) 设F (﹣c,0) (c>0) ,利用椭圆性质得 M=a+c,m=a﹣c, 通过 M?m= a . 推 出 a=2c,即可求该椭圆的离心率; (2)求出椭圆的方程为 .判断直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直线 AB
2

的方程为 y=k(x+c) ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立

,利用韦达定理求

出 G 的坐标, 通过 DG⊥AB, 化简 D 的横坐标, 通过 Rt△ FGD 与 Rt△ EOD 相似, 即可求 的取值范围. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (1)设 F(﹣c,0) (c>0) ,则根据椭圆性质得 M=a+c,m=a﹣c, 而
2 2

,所以有



即 a =4c ,a=2c, 因此椭圆的离心率为 (2)由(1)可知 a=2c, . (4 分) ,

椭圆的方程为



根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+c) , 并设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2 2 2 2 2 2

则由

消去 y 并整理得(4k +3)x +8ck x+4k c ﹣12c =0

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从而有

, (6 分)



因为 DG⊥AB,所以





由 Rt△ FGD 与 Rt△ EOD 相似,

所以

. (12 分)

点评: 本小题考查椭圆的离心率的有关运算, 直线和椭圆的综合应用, 考查学生的逻辑思 维能力和运算求解能力.

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