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2015一轮复习课时精品提升作业之向量的应用Word版含答案


课时提升作业(二十八)
一、填空题 1.已知三个力 f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一 点,为使物体保持平衡,再加上一个力 f4,则 f4=______. 2.(2013·苏州模拟)已知|a|=2|b|≠0,且关于 x 的函数 f(x)= x 3 ? |a|x2+a·bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角的范围为 _

_____. 3.(2013· 南京模拟)已知向量 a=(x2,x+1), b=(1-x,t),若函数 f(x)=a· b 在区间[-1,1]上是单调增函数,则实数 t 的取值范围是______. 4.设 P 是曲线 y ? 上一点,点 P 关于直线 y=x 的对称点为 Q,点 O 为 坐标原点,则 OP OQ =______. 5.在△ABC 中,若 BC ? AB BC ? CB CA ? BC BA, 则△ABC 的形状是 ______. 6.圆 C:x2+y2=1,直线 l:y=kx+2,直线 l 与圆 C 交于 A,B,若
OA ? OB < OA ? OB (其中 O 为坐标原点),则 k 的取值范围是______.
2

1 3

1 2

1 x

7.设 E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6,则 AE AF =______.

8.已知偶函数 f(x)满足:f(x)=f(x+2),且当 x∈[0,1]时,f(x)=sin x,其图象与直线 y= 在 y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 P1,P2,…,则 PP 1 3 P 2P 4 等于______.
-1-

1 2

9.已知向量 a=(2cos θ ,2sin θ ),θ ∈( ,π ),b=(0,-1),则向量 a 与 b 的夹角为______. 10.设向量 a,b 满足:|a|=3,|b|=4,a· b=0, 以|a|,|b|,|a+b|为边长构 成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为______个. 11.(能力挑战题)已知开口向上的二次函数 f(x)的图象的对称轴为 x=2,设向量 a=(|x+2|+|2x-1|,1),b=(1,2).则不等式 f(a·b)<f(5) 的解集为______. 12.在长江南岸渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速 度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为______. 二、解答题 13.(2013·徐州模拟)已知△ABC 中, AC =10, AD =5, AD ?
5 DB, CD AB =0. 11

? 2

(1)求 AB ? AC .
? <x<0,求 sin x. (2)设∠BAC=θ ,且已知 cos(θ +x)= , 4 5 ? 2

14.(能力挑战题)已知向量 a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0), (1)若 x= , 求向量 a,c 的夹角. (2)当 x∈[ ,
? 9? ]时,求函数 f(x)=2a·b+1 的最大值. 2 8 ? 6

-2-

答案解析
1.【思路点拨】物体平衡,则所受合力为 0. 【解析】由物理知识知: f1+f2+f3+f4=0, 故 f4=-(f1+f2+ f3)=(1,2). 答案:(1,2) 2.【解析】f(x)= x 3 ? | a | x 2 +a·bx 在 R 上有极值,即 f′ (x)=x2+|a|x+a·b=0 有两个不同的实数解, 故Δ=|a|2-4a·b>0?cos〈a,b〉< , 又〈a,b〉∈[0,π], 所以〈a,b〉∈( ,π]. 答案:( ,π] 3.【解析】 f(x)=a·b=(x2,x+1)·(1-x,t) =-x3+ x2+tx+t, ?f′(x)=-3x2+2x+t. ≧f(x)=a·b 在区间[-1,1]上是单调增函数, ?f′(x)=-3x2+2x+t≥0 在[-1,1]上恒成立, ?t≥3x2-2x 在[-1,1]上恒成立. 而当 x∈[-1,1]时,- ≤3x2-2x≤5. ?t≥5,即所求实数 t 的取值范围是[5,+≦). 答案: [5,+≦)
1 3

1 3

1 2

1 2

? 3

? 3

-3-

4.【解析】设 P (x1 , ), 则 Q ( , x1 ),
OP OQ ? (x1 , ? x1 1 1 ) ( , x1 ) x1 x1

1 x1

1 x1

1 1 ? x1 ? 2. x1 x1

答案:2 5.【解析】 AB BC ? CB CA ? BC BA
? BC AB ? BA ? CB CA ? CB CA, ? BC ? CB CA ? BC BC ? CA ? BC BA ? 0, ?B ? ? , 2
2

?

?

?

?

?△ABC 为直角三角形. 答案:直角三角形 6.【思路点拨】利用 OA ? OB < OA ? OB ? ? OA ? OB? <? OA ? OB? 进行转
2 2

化. 【解析】由 OA ? OB < OA ? OB 两边平方化简得 OA OB <0,?∠AOB 是 钝角, 所以 O(0,0)到 kx-y+2=0 的距离小于
? 2 k2 ?1 < 2 ,? k<? 7或k> 7. 2
2 , 2

答案: k> 7或k<? 7 【方法技巧】向量与解析几何综合题的解答技巧 平面向量与解析几何相结合主要从以下两个方面进行考查:一是考查 向量,需要把用向量语言描述的题目条件转化成几何条件,涉及向量
-4-

的线性运算,共线、垂直的条件应用等;二是利用向量解决几何问题, 涉及判断直线的位置关系,求角的大小及线段长度等. 7.【解析】 AE AF ? ? AB ? BE ? ? AC ? CF?
1 1 ? (AB ? BC) (AC ? BC) 3 3 2 1 1 ? AB AC ? BC ? BC AC ? AB 9 3 2 2 2 ? BC ? ? ? 62 ? 32 ? ? 10. 9 9

?

?

答案:10 8.【解析】依题意 P1,P2,P3,P4 四点共线, P1P3与P2P4 同向,且 P1 与 P3,P2 与 P4 的横坐标都相差一个周期,所以
P1P3 ? 2, P2 P4 ? 2, P1P3 P2 P4 ? P1P3 P2 P4 ? 4.

答案:4 【误区警示】解答本题时容易忽视 P1P3与P2P4 共线而导致无法解题. 9.【思路点拨】求出向量 a 与 b 的夹角与θ的关系,利用三角函数知 识求解. 【解析】设 a 与 b 的夹角为α,则 cos α= =cos(
ab ?2sin? ? =-sin θ |a| |b| 2

3? ? -θ),又θ∈( ,π), 2 2 3? ? 3? 所以 -θ∈( ,π),因此α= -θ. 2 2 2 3? 答案: -θ 2

10.【解析】 可得 | a ? b |? a2 ? b2 ? 2a b =5,设该三角形内切圆的半径为 r,则(4-r)+(3-r)=5,解得 r=1.

-5-

?对于半径为 1 的圆有一个位置正好是三角形的内切圆,此时只有 3 个公共点,圆的位置稍作移动,则能实现 4 个交点,但不能得到 5 个 或 5 个以上的交点. 答案:4 11.【思路点拨】由条件求得 a·b,利用单调性将问题转化为解不等式 的问题. 【解析】由题意知 f(x)在[2,+≦)上是增函数, ≧a·b=|x+2|+|2x-1|+2>2, ?f(a·b)<f(5)?a·b<5?|x+2|+|2x-1|<3 (*) ①当 x≤-2 时,不等式(*)可化为-(x+2)-(2x-1)<3, ?x> ? , 此时 x 无解; ②当-2<x< 时,不等式(*)可化为 x+2-(2x-1)<3,?x>0, 此时 0<x< ; ③当 x≥ 时,不等式(*)可化为 x+2+2x-1<3,?x< , 此时 ≤x< . 综上可知不等式 f(a·b)<f(5)的解集为(0, 答案:(0,
2 ) 3 2 ). 3 1 2 2 3 2 3 1 2 1 2

4 3

1 2

12. 【解析】如图所示,渡船速度为 OB ,水流速度为 OA ,

-6-

船实际垂直过江的速度为 OD ,依题意知 OA ?
OD ? OB ? OA, ? OD OA ? OB OA ? OA , OD ? OA, ? OD OA=0, 25 25 cos(?BOD+90?)+( ) 2=0, 2 2 1 ? cos(?BOD+90?)=- , 2 1 ? sin?BOD= , 2 ? 25 ?
2

25 , OB =25. 2

?∠BOD=30°,?航向为北偏西 30°. 答案:北偏西 30° 13.【解析】(1)由已知 AD ? 即 DB ?
11 AD, 5

5 DB , 11

≧ AD ? 5,? DB ? 11, ≧ CD AB =0,?CD⊥AB, 在 Rt△BCD 中,BC2=BD2+CD2, 又 CD2=AC2-AD2, ?BC2=BD2+AC2-AD2=196,
? AB ? AC ? CB ? 14.

(2)在△ABC 中,cos∠BAC= , ?θ= ,
? 3

1 2

-7-

即 cos(θ+x)=cos( +x)= , sin( +x)=〒 , 而- <x<0,所以- < +x< , 则- =sin(- )<sin( +x)<sin = ?sin( +x)= , ?sin x=sin[( +x)? 6
? 3 ? 3? 4 3 ]= . 3 10 1 2 ? 6 ? 3 ? 3

? 2

? 3

? 3

4 5

3 5

? 6

? 3

? 3

3 , 2

? 3

3 5

14.【解析】(1)当 x= 时, cos〈a,c〉=
?

ac a c

?cos x cos 2 x ? sin 2 x ?
? 6

? ?1?

2

? 02

=-cos x=-cos =cos ≧0≤〈a,c〉≤π, ?〈a,c〉=
5? . 6

5? . 6

(2)f(x)=2a·b+1 =2(-cos2x+sin xcos x)+1 =2sin xcos x-(2cos2x-1) =sin 2x-cos 2x= 2 sin(2x- ),
? 9? ], 2 8 ? 3? ?2x- ∈[ ,2π]. 4 4 ? 4

≧x∈[ ,

故 sin(2x- )∈[-1,

? 4

2 ], 2

-8-

?当 2x- =

? 4

3? ? ,即 x= 时,f(x)max=1. 4 2

【变式备选】在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若
AB AC ? CA CB =

k(k∈R). (1)判断△ABC 的形状. (2)若 k=2,求 b 的值. 【解析】(1)≧ AB AC =cbcos A, CA CB =bacos C, ?bccos A=abcos C, 根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin Acos C, 即 sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0, ?A=C,即 a=c, 则△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 a=c,由余弦定理,得
b2 ? c2 ? a 2 b2 AB AC ? bccos A ? bc ? . 2bc 2 2 b AB AC ? k ? 2, 即 ? 2, 解得 b ? 2 . 2

-9-


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