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2015一轮复习课时精品提升作业之椭圆(一)Word版含答案


课时提升作业(五十三)
一、填空题 1.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且它的长轴长等于圆 C:x2+y2-2x-15=0 的半径,则椭圆的标准方程是______. 2.已知曲线 C 上的动点 M(x,y),向量 a=(x+2,y)和 b=(x-2,y)满足 |a|+|b|=6,则曲线 C 的离心率是______. 3.已知圆(x+2)2+y2=36 的圆心为

M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是______. 4.设 F1,F2 分别是椭圆
x 2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 25 16
1 2

F1P 的中点,OM=3,则 P 点到椭圆左焦点距离为______. 5.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴 上,离心率为
2 . 过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 2

16,那么 C 的方程为______. 6.如图所示,已知圆 C:(x+1)2+y2=8,定点 A(1,0),M 为圆上一动点, 点 P 在 AM 上,点 N 在 CM 上,且满足 AM ? 2AP, NP AM ? 0 ,点 N 的轨迹 为曲线 E,则曲线 E 的方程为______.

7.已知 F1,F2 分别是椭圆

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,以原点 O 为 a 2 b2

-1-

圆心,OF1 为半径的圆与椭圆在 y 轴左侧交于 A,B 两点,若△F2AB 是等 边三角形,则椭圆的离心率等于______. 8.(2013· 南京模拟)过椭圆
x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线 a 2 b2

交椭圆于点 P, F2 为右焦点, 若∠F1PF2=60°, 则椭圆的离心率为______.
x 2 y2 9.(2013·连云港模拟)椭圆 ? ? 1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上, 9 2

若 PF1=4,则 PF2=______,∠F1PF2 的大小为______. 10.已知椭圆
x 2 y2 ? = 1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,若 16 9

P,F1,F2 是一个直角三角形的三个顶点,则△PF1F2 的面积为______. 二、解答题 11.设椭圆
x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右两个焦点分别为 F1,F2,短轴的 a 2 b2

上端点为 B,短轴上的两个三等分点为 P,Q,且 F1PF2Q 为正方形. (1)求椭圆的离心率. (2)若过点 B 作此正方形的外接圆的切线在 x 轴上的一个截距为 ? 求此椭圆方程. 12.已知椭圆 C 的中心 O 在原点,长轴在 x 轴上,焦距为 6,短轴长为 8, (1)求椭圆 C 的方程. (2)过点(-5,0)作倾斜角为 的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求△ABO 的面积.
? 4

3 2 , 4

-2-

13.(能力挑战题)已知椭圆

x 2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的左顶点为 A, 左、 右焦点 a 2 b2

分别为 F1,F2,且圆 C:x2+y2+ 3 x-3y-6=0 过 A,F2 两点. (1)求椭圆的标准方程. (2)设直线 PF2 的倾斜角为α ,直线 PF1 的倾斜角为β ,当β -α = 证明:点 P 在一定圆上. (3)设椭圆的上顶点为 Q,在满足条件(2)的情形下证明:PQ=PF1+PF2.
2? 时, 3

答案解析
1.【解析】圆 C 的方程可化为(x-1)2+y2=16. 知其半径 r=4, ∴长轴长 2a=4,∴a=2. 又 e= ? , ∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3, ∴椭圆的标准方程为 答案:
x 2 y2 ? =1 4 3 x 2 y2 ? =1. 4 3
c a 1 2

2.【解析】因为|a|+|b|=6 表示动点 M(x,y)到两点(-2,0)和(2,0)距离 的和为 6,所以曲线 C 是椭圆,且长轴长 2a=6,即 a=3,又 c=2,∴e= . 答案:
2 3 2 3

3.【思路点拨】本题关键是据条件列出关系式,紧扣椭圆的定义求解.
-3-

【解析】点 P 在线段 AN 的垂直平分线上,故 PA=PN, 又 AM 是圆的半径,∴PM+PN=PM+PA=AM=6>MN,由椭圆的定义知,P 的轨 迹是椭圆. 答案:椭圆 4.【解析】因为 OM=3,数形结合得 PF2=6, 又 PF1+PF2=10, ∴PF1=4. 答案:4 5.【解析】根据椭圆焦点在 x 轴上,可设椭圆方程为 0). ∵e=
c 2 2 ,∴ ? .根据△ABF2 的周长为 16 得 4a=16,因此 a=4,b=2 2 , a 2 2
x 2 y2 ? ? 1. 16 8

x 2 y2 ? =1(a>b> a 2 b2

所以椭圆方程为 答案:
x 2 y2 ? ?1 16 8

6.【解析】∵ AM ? 2AP, NP AM ? 0, ∴NP 为 AM 的垂直平分线,∴NA=NM. 又∵CN+NM=2 2 ,∴CN+AN=2 2 >2. ∴动点 N 的轨迹是以点 C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆,且椭圆长 轴长为 2a=2 2 ,焦距 2c=2. ∴a= 2 ,c=1,b2=1.∴曲线 E 的方程为
x2 ? y2 =1. 2

-4-

答案:

x2 ? y2 =1 2 x 2 y2 c 3 c) 在椭圆 2 ? 2 =1 a b 2 2

7.【解析】因为△F2AB 是等边三角形,所以 A (? , 上,
c 2 3c 2 所以 2 ? 2 =1,因为 c2=a2-b2, 4a 4b

所以,4a4-8a2c2+c4=0,即 e4-8e2+4=0, 所以,e2=4〒2 3 ,e= 3 -1 或 e= 3 +1(舍). 答案: 3 -1 【误区警示】本题易出现答案为 3 -1 或 3 +1 的错误,其错误原因是 没有注意到或不知道椭圆离心率的范围. 8.【解析】由题意知点 P 的坐标为(-c, ∵∠F1PF2=60°,∴
2ac ? 3, b2

b2 b2 )或(-c,- ). a a

即 2ac ? 3b 2 ? 3 ? a 2 ? c 2 ? , ∴ 3e2 ? 2e ? 3 ? 0,? e ? 答案:
3 3 3 或e ? ? 3 (舍). 3

9.【解析】∵PF1+PF2=2a=6,∴PF2=6-PF1=2.
2 PF12 ? PF22 ? FF 1 2 在△F1PF2 中,cos∠F1PF2= 2PF1 PF2

=

16 ? 4 ? 28 1 ?? , 2? 4? 2 2

∴∠F1PF2=120°. 答案:2 120°
-5-

10.【解析】由余弦定理判断∠P<90°,只能∠PF1F2 或∠PF2F1 为直角. 由 a=4,b=3 得 c= 7 , ∴|yP|= . ∴ S△PF F ? ? 2 7 ? ?
1 2

9 4

1 2

9 4

9 7 . 4

答案:

9 7 4

【方法技巧】焦点三角形的应用 椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形,解决焦点三 角形问题常利用椭圆定义和正弦、余弦定理求解,设椭圆上的一点 P(x0,y0)到两焦点 F1,F2 的距离分别为 r1,r2,焦点△F1PF2 的面积为 S,则 在椭圆
x 2 y2 ? = 1 (a>b>0)中,当 r1=r2 即 P 为短轴端点时,S 最大. a 2 b2
b 3

11.【解析】(1)由题意可设 P 点在 x 轴上方,则 P(0, ),设 F1(-c,0), 因为 F1PF2Q 为正方形,所以 c= ,即 b=3c,∴b2=9c2,即 a2=10c2, 所以椭圆的离心率 e=
10 . 10
b 3

(2)因为 B(0,3c),由几何关系可求得一条切线的斜率为 2 2 ,所以切 线方程为 y ? 2 2x ? 3c ,因为在 x 轴上的截距为 ? 圆方程为
x 2 y2 ? ? 1. 10 9

3 2 所以 c=1, 所求椭 , 4

x 2 y2 12.【解析】(1)设椭圆方程为: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0), a b

由题意得:c=3,b=4,a=5.

-6-

所以椭圆 C 方程为

x 2 y2 ? ? 1. 25 16

? ? y ? x ? 5, ? (2)不妨设 A(-5,0),直线 AB 方程为:y=x+5,由 ? ? x ? ?5, ? x 2 y2 ? ? ? 1, ? ? 25 16
45 ? x?? , ? 45 160 41 得? 即 B (? , ) , ? 41 41 ? y ? 160 . ? ? 41

所以 S△OAB ? OA y B ? ? 5 ?

1 2

1 2

160 400 ? . 41 41

13.【解析】(1)圆 x2+y2+ 3 x-3y-6=0 与 x 轴交点坐标为 A(-2 3 ,0),F2( 3 ,0),故 a=2 3 ,c= 3 ,所以 b=3, 所以椭圆的标准方程是:
x 2 y2 ? ? 1. 12 9

(2)由题意知α≠90°,β≠90°, 因为 F1(- 3 ,0),F2( 3 ,0), 设点 P(x,y),则 k PF ? tan? ?
1

y , x? 3

k PF2 ? tan? ?

y , x? 3
2? ,所以 tan(β-α)=- 3 . 3

因为β-α=

因为 tan(β-α)= 所以

tan? ? tan? ?2 3y ? 2 , 1 ? tan?tan? x ? y2 ? 3

?2 3y 2 2 ? ? 3. 化简得 x +y -2y=3. 2 x ? y ?3
2

所以点 P 在定圆 x2+y2-2y=3 上. (3)因为 PQ2=x2+(y-3)2=x2+y2-6y+9,
-7-

因为 x2+y2=3+2y,所以 PQ2=12-4y. 又 PF12 ? ? x ? 3 ? ? y2 ? 2y ? 6 ? 2 3x,
2

PF22 ? x ? 3 ? y2 ? 2y ? 6 ? 2 3x,

?

?

2

所以 2PF1·PF2= 2 4 ? y ? 3? ? 12x 2
2

?4

? y ? 3?

2

? 3x 2 ,

因为 3x2=9-3y2+6y,所以 2PF1·PF2= 4 4y 2 , 因为β= ? ? 所以 y<0, 所以 2PF1·PF2=-8y, 从而(PF1+PF2)2=PF12+2PF1·PF2+PF22=4y+12-8y=12-4y=PQ2. 所以 PQ=PF1+PF2.
2? 2 ? 2 2 ? , 又点 P 在定圆 x +y -2y=3 上, 3 3

-8-


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