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资阳高2013级一诊文科数学试题和参考答案


资阳市高中 2013 级第一次诊断性考试

数 学(文史类)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。答题前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案

写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={x|-2≤x≤2},N={x| x-1>0},则M∩N= (A) {x|1<x≤2} (B) {x|-2≤x<1} (C) {x| 1≤x≤2} (D) {x| x≥-2}

1 2.命题“若x=300° ,则cosx= ”的逆否命题是 2 1 (A) 若cosx= ,则x=300° 2 1 (C) 若cosx≠ ,则x≠300° 2

(B) 若x=300° ,则cosx≠ (D) 若x≠300° ,则cosx≠

1 2 1 2

3.函数 f ( x) ? log 2 (4 ? x 2) 定义域为 (A) [?2, 2] (C) (??, 2) ? (2, ??) 4.已知 i 是虚数单位,复数 (A) i-2
5 ?i= 2?i

(B) (?2, 2) (D) (??, 2] ? [2, ??)

(B) 2+i

(C) -2

(D) 2

5.正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2a3-a1,则该数列的公比为 (A) 2 (B)
1 2

资阳高三数学(文科)试卷 第 1 页(共 4 页)

(C) 4

(D)

1 4

资阳高三数学(文科)试卷 第 2 页(共 4 页)

1 6.已知 ? ? (0,π) ,且 sin ? + cos ? = ,则 tan ? 的值为 5

(A) ? (C)

4 3

(B) ? (D)
4 3

3 4

3 4 7.执行右面的程序框图,则输出的 S ?

(A) 1023 (B) 512 (C) 511 (D) 255 8.已知 x0 是函数 f ( x) ? e x ?
1 的一个零点(其中 e 为自然对数 x

的底数) ,若 x1 ? (0, x0 ) , x2 ? ( x0 , ??) ,则 (A) f ( x1 )<0,f ( x2 )<0 (C) f ( x1 )>0,f ( x2 )<0 9.已知a>0,b>0,且 (A) 5 ? 2 2 (B) f ( x1 )<0,f ( x2 )>0 (D) f ( x1 )>0,f ( x2 )>0

1 2 ? ? 1 ,则a+2b的最小值为 a b
(B) 8 2 (C) 5 (D) 9

3 ? ?sin x ? ,x ? 0, 1 f ( x ) ? 2 10.若函数 (其中 a ? R )的值域为 [ , ??) ,则a的取值范围是 ? 2 ? x 2 ? a,x ? 0 ?

1 (D) [ , ??) 2 ??? ? 3? ??? ? ? ??? ? 11.P是△ ABC内一点,△ ACP,△ BCP的面积分别记为S1,S2,已知 CP ? CA ? CB ,其 4 4 S1 ? 1) ,则 中 ? ? (0, S2 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 3 5 2 4 f ( x) ? x ? 1 ,下面的 12.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,其导函数为 f ?( x) ,且满足 f ?( x)

3 ? ?) (A) [ , 2

1 3 (B) [ , ] 2 2

1 5 (C) [ , ] 2 2

不等关系正确的是 (A) f ( x2 ) ? f ( x ? 1) (C) f(x)>x (B) ( x ? 1) f ( x) ? xf ( x ? 1) (D) f(x)<0
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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,本大题共 20 分。 13.已知向量 a=(2,–1),b=(m,3),若 a∥b,则 m 的值是_________.
? x ? 0, ? 14.不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积为_________. ?y ? x ? 2 ? 0 ?

15.已知数列{an}满足 a1=19,an?1 ? an ? 2 (n ? N*),则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值 时,n 的值为_________. 16.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,B=2A,则 a 的取值范围 是___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
?2 ? 2 x ? 8, ? 已知命题p:实数x满足不等式组 ? 2 命题 q:实数x满足不等式 ? ? x ? 6 x ? 8 ? 0,
( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 (其中 a ? R ).

(Ⅰ) 解命题 p中的不等式组; (Ⅱ) 若p是q的充分条件,求a的取值范围. 18(本小题满分 12 分)
sin x ? cos x)) ,函数f(x)= a ?b. 已知向量 a ? ( 2 sin x, 2(cos x ?sin x)) , b ? (2cos x,

(Ⅰ) 求 y ? f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 在给定直角坐标系中,画出函数 f ( x) 在区间
[0,π] 上的图象.

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19.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且 Sn ? 2an ? n . (Ⅰ) 求证:数列{an+1}为等比数列; (Ⅱ) 令bn= n ? an log2 (an ? 1) ,求数列{bn}的前n项和Tn.

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20.(本小题满分 12 分) 某厂生产当地一种特产,并以适当的批发价卖给销售商甲,甲再以自己确定的零售价出 售.已知该特产的销量(万件)与甲所确定的零售价成一次函数关系:当零售价为 80 元/件 时,销量为 7 万件;当零售价为 50 元/件时,销量为 10 万件.后来,厂家充分听取了甲的 意见,决定对批发价改革,将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分,其中 固定批发价为 30 元/件,弹性批发价与该特产的销量成反比.当销量为 10 万件,弹性批发 价为 1 元/件.假设不计其它成本,据此回答下列问题. (Ⅰ) 当甲将每件产品的零售价确定为 100 元/件时,他获得的总利润为多少万元? (Ⅱ) 当甲将每件产品的零售价确定为多少时,每件产品的利润最大? 21.(本小题满分 12 分)
1 ax? -ax (其中 a ? R ),令h(x)=f(x)-g(x). 2 (Ⅰ) 当a>0时,求函数y=h(x)的单调区间;

已知函数f(x)=lnx-x,g(x)=

? a) 上恒成立,求a的最小整数值. (Ⅱ) 当a<0时,若f(x)<g(x)在 x ? (0,

请考生在 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, △ ABC 的外接圆为⊙O, 延长 CB 至 Q, 再延长 QA 至 P, 使得 QC 2 ? QA2 ? BC ? QC . (Ⅰ) 求证:QA 为⊙O 的切线; (Ⅱ) 若 AC 恰好为∠BAP 的平分线,AB=10,AC=15,求 QA 的 长度. 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ? x ? ?4 ? 2 (其中 t 为参数) 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? .现以坐标 ? 2 ? y ? ?2 ? t ? ? 2

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? . (Ⅰ) 写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ) 已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | .
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(Ⅰ) 当 a ? ?2 时,解不等式 f ( x) ≥16? | 2 x ? 1| ;
2] ,求证: f ( x) ? f ( x ? 2) ≥ 2a . (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ≤1 的解集为 [0,

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资阳市高中 2013 级第一次诊断性考试 数学参考答案及评分意见(文史类)
一、选择题 1.A 2.C 3.B 4.D 二、填空题 5.A 6.A 7.C 8.B 9.D 10.C 11.B 12.D

13.–6;14.3;15.10;16. ( 三、解答题

2 3 , 2) . 3

17. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 (Ⅰ)由 2 ? 2 x ? 8 ,解得1<x<3,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 由 x2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,解得2<x<4, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以该不等式组的解集为{x|2<x<3}, · (Ⅱ)因为p是q的充分条件, 所以2<x<3使关于x的不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 恒成立, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 即{ x |2<x<3} ? {x | ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0} ,(*) · (1)当1≥12-a,即a≥11时,不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 的解为 12 ? a ? x ? 1 ,不满足(*), (2)当1<12-a,即a<11时,不等式 ( x ? 1)( x ? a ? 12) ? 0 的解为 1 ? x ? 12 ? a , 于是有 3 ? 12 ? a ,解得a≤9, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12分 故a的范围是(-∞,9].· 18.由题知f(x)=a ?b= 2 2 sin x cos x ? 2(cos x ? sin x)? (cos x ? sin x) = 2 sin 2 x ? 2(cos2 x ? sin 2 x) = 2 (sin 2 x ? cos 2 x) π · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 =2sin(2x- ).· 4 π π π π 3π (Ⅰ) 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? ? x ? kπ ? ,其中 k ? Z , 2 4 2 8 8 π 3π · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 所以单调递增区间为 [kπ ? , kπ ? ] 其中 k ? Z . · 8 8 π (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)= 2sin(2x- ). 4 列表得 7π π 3π 5π x 0 π 8 8 8 8 7π π π π 3π 2x ? ? 0 π 4 4 2 2 4
f ( x)

? 2

0

2

0

-2

? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
资阳高三数学(文科)试卷 第 9 页(共 4 页)

通过描点、连线得

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12分 19. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 (I)由 Sn ? 2an ? n ,可得S1=2a1-1,即a1=1, · 又 Sn +1 ? 2an +1 ? (n ? 1) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 相减得 an?1 ? 2an +1 ? 2an ? 1, 即 an +1 ? 2an ? 1, · an ?1 ? 1 2an ? 2 ? ?2, 所以 an ? 1 an ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 故{an+1}是以a1+1=2为首项,以2为公比的等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得到an+1= 2n ,所以 an ? 2n ? 1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 于是bn= n ? an log2 (an ? 1) =n+n( 2 n ? 1 )=n×2n , · Tn= 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n , 2Tn= 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 , 相减整理得-Tn= 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 , 所以Tn= (n ? 1) ? 2
n ?1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12分 ?2. ·

20.设销量 y 与零售价 x 的一次函数关系为 y=kx+b;弹性批发价 ? 与销量 y 的反比例函数 a 关系为 ? ? , y
?7 ? 80k ? b, ? k ? ?0.1, 由? 解得 ? 于是 y=15-0.1x, ?10 ? 50k ? b, ?b ? 15,

10 a 得 a=10,于是 ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 y 10 10 (Ⅰ) 当零售价为 100 元/件时, 销量为 15-0.1× 100=5 (万件) , 此时的批发价为 30+ =32 5 (元/件) ,他获得的总利润为 5× (100-32)=340(万元) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

由1 ?

(Ⅱ)设每一件的利润为 d, 则 d ? x ? (30 ? ? ) ? x ? (30 ?
? ( x ? 150) ?

10 10 )? x? ? 30 15 ? 0.1x 0.1x ? 15

100 ? 120 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ( x ? 150)

资阳高三数学(文科)试卷 第 10 页(共 4 页)

?15 ? 0.1x ? 0, 而由 ? 可得 0<x<150, ? x ? 0,

于是 d ? ( x ? 150) ?

100 100 ? 120 ? ?2 ( x ? 150) ? ? 120 ? 100 , ( x ? 150) ( x ? 150)

100 ,即 x=140 时取―=‖. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 ( x ? 150) 1 21.由题h(x)=lnx- ax? +(a-1)x,且x>0, 2 1 ?ax2 ? (a ? 1) x ? 1 (?ax ? 1)( x ? 1) ? 则 h?( x) ? ? ax ? (a ? 1) ? , x x x

当且仅当 ( x ? 150) ?

(Ⅰ)当a>0时, (?ax ? 1) <0,由 h?( x) ? 0 得0<x<1, h?( x) ? 0 得x>1, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 所以单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).· (Ⅱ) 由题知f(x)<g(x)在x∈(0, -a)上恒成立, 即h(x)= f(x)-g(x)<0在x∈(0, -a)上恒成立.
1 由 h?( x) ? 0 得 x1 ? ? ,x2=1, a

1 (1)当 1 ? ? 即a=-1时, h?( x) ? 0 在x∈(0,1)上恒成立,则h(x)在(0,1)上为增函数,h(x) a
3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 <h(1)= ? <0,所以f(x)<g(x)恒成立. · 2

1 (2)当 1 ? ? ,即-1<a<0时, a

x
h?( x)

(0,1) +
?

1 0 极大值

1 (1, ? ) a

?

1 a

1 ( ? , +?) a


?

+ 极小值
?

h(x)

因为-a<1,在区间(0,-a)上,h(x)<h(-a)<h(1)=
1 (3)当 1 ? ? ,即a<-1时, a

1 a-1<0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2

x
h?( x)

1 (0, ? ) a

?

1 a

1 ( ? ,1) a

1

(1, +?) +


?

0 极大值


?

h(x)

极小值

?

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因为-a>1,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (a-1)= ln( ? ) ? ( ? )? 而h( ? )=ln( ? )- a× -1+ = ln( ? )+ -1<0, 2a a a 2 a a a a a 2a

于是只需考虑h(-a)<0即可, 即h(-a)= ln(-a)-
1 1 a(-a)? +(a-1)(-a)= ln(-a)- a? -a? +a<0, 2 2

下面用特殊整数检验, 若a=-2,则h(2)=ln2+4-6=ln2-2<0; 若a=-3,则h(3)=ln3+
27 3 -12= ln3+ >0; 2 2

1 而当a≤-3时,ln(-a)>0,现说明当a≤-3时,- a? -a? +a>0. 2 1 3 令u(x)=- x? -x? +x,则 u ?( x) =- x?-2x+1,它在(-∞,-3]为增函数且 u?(?3) <0, 2 2 所以u(x)在(-∞,-3]为减函数,而u(-3)>0, 1 则当a≤-3时,- a? -a? +a>0恒成立. 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12分 所以,使f(x)<g(x)在x∈(0,-a)上恒成立的最小整数为-2. · 22.选修 4-1:几何证明选讲 (Ⅰ)因为 QC 2 ? QA2 ? BC ? QC , 所以 QC (QC ? BC) ? QA2 即 QC? QB ? QA2 , QC QA ? 于是 , QA QB 所以△ QCA∽△QAB, 所以∠QAB=QCA, 根据弦切角定理的逆定理可得 QA 为⊙O 的切线,证毕. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 (Ⅱ)因为 QA 为⊙O 的切线, 所以∠PAC=∠ABC, 而 AC 恰好为∠BAP 的平分线, 所以∠BAC=∠ABC, 于是 AC=BC=15, 所以 QC 2 ? QA2 ? 15QC ,① 又由△ QCA∽△QAB 得
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QC AC 15 ? ? ,② QA AB 10

联合①②消掉 QC,得 QA=18. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 23.选修 4—4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)由题,消去直线 l 参数方程中的参数 t 得普通方程为 y ? x ? 2 . 又由 ? ? 2cos? 得 ? 2 ? 2? cos? ,
? x=? cos ? , 由? 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? y=? sin ?

(Ⅱ)曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 可化为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 , 设与直线 l 平行的直线为 y ? x ? b , 当直线 l 与曲线 C 相切时,有
1? b 2 ? 1 ,即 b ? ?1 ? 2 ,

于是当 b ? ?1 ? 2 时,P 到直线 l 的距离达到最大,最大值为两平行线的距离即

2 ? (?1 ? 2) 2

?

3 2 ?1 . 2
3 2 3 2 ?1) ,再加上半径 1,即为 P 到直线 l 距离的最大值 2 2

(或先求圆心到直线的距离为

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 24.选修 4—5:不等式选讲 (1)当 a ? ?2 时,不等式为 x ? 2 ? 2 x ? 1 ? 16 , 当 x≤-2 时,原不等式可化为-x-2-2x+1≥16,解之得 x≤ ?
17 ; 3

1 当-2<x≤ 时,原不等式可化为 x+2-2x+1≥16,解之得 x≤-13,不满足,舍去; 2 1 当 x> 时,原不等式可化为 x+2+2x-1≥16,解之得 x≥5; 2 17 不等式的解集为 {x | x ? ? 或x ? 5} . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 3 (2) f ( x) ? 1 即 x ? a ? 1 ,解得 a ? 1 ? x ? a ? 1 ,而 f ( x) ? 1 解集是 ? 0, 2? ,
? a ? 1 ? 0, 所以 ? 解得 a ? 1 , ? a ? 1 ? 2,

从而 f ? x ? ? x ? 1 , 于是只需证明 f ? x ? ? f ( x ? 2) ? 2 , 即证 x ? 1 ? x+1 ? 2 , 因为 x ? 1 ? x+1 = 1 ? x ? x+1 ? 1 ? x ? x+1 =2 , 所以 x ? 1 ? x+1 ? 2 ,证毕. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

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