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【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练 第7章 第2节 一元二次不等式及其解法Word版含解析


第七章

第二节

1.已知全集 U=R,集合 M={x|x2-2x-3≤0},则?UM=( A.{x|-1≤x≤3} C.{x|x<-3 或 x>1} B.{x|-3≤x≤1} D.{x|x<-1 或 x>3}

)

解析:选 D 因为 M={x|-1≤x≤3},全集 U=R,所以?UM={x|x

<-1 或 x>3}. 1 2.(2013· 江西高考)下列选项中,使不等式 x< <x2 成立的 x 的取值范围是( x A.(-∞,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,+∞) )

解析:选 A 当 x>0 时,原不等式可化为 x2<1<x3,解得 x∈?;当 x<0 时,原不等
2 ? ?x >1, ? 式可化为 3 解得 x<-1,故选 A. ? ?x <1, 2 ? ?x ,x≤0, 3.已知函数 f(x)=? 若 f(x)≥1,则 x 的取值范围是( ?2x-1,x>0, ?

)

A.(-∞,-1] C.(-∞,0]∪[1,+∞)

B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

解析:选 D 当 x≤0 时,由 x2≥1,得 x≤-1; 当 x>0 时,由 2x-1≥1,得 x≥1, 综上可知 x 的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞). x-a 4.(2014· 临川模拟)关于 x 的不等式 >0 的解集为 P,不等式 log2(x2-1)≤1 的解集 x+1 为 Q.若 Q?P,则 a 的取值范围为( A.-1<a<0 C.a>1 ) B.-1≤a≤1 D.a≥1

解析:选 B 当 a≥-1 时,P=(-∞,-1)∪(a,+∞), 当 a<-1 时,P=(-∞,a)∪(-1,+∞).
?x2-1≤2 ? ?- 3≤x≤ 3 由? 2 得? , ?x -1>0 ? ?x<-1或x>1

∴Q=[- 3,-1)∪(1, 3]. ∵Q?P,∴P=(-∞,-1)∪(a,+∞). ∴-1≤a≤1.故选 B.

5.(2014· 杭州调研)若不等式|8x+9|<7 和不等式 ax2+bx>2 的解集相同,则实数 a、b 的值分别为( ) B.a=-4,b=-9 D.a=-1,b=2

A.a=-8,b=-10 C.a=-1,b=9

1? 1 ? 解析:选 B 据题意可得|8x+9|<7 的解集是 x-2<x<- ,故由?x-2<x<-4?是一 4 ? ? 1 元二次不等式 ax2+bx>2 的解集,可知 x=-2,x=- 是方程 ax2+bx-2=0 的两个根, 4 1 1 2 1 b 9 - ?=- = ,解得 a=-4,-2+?- ?=- =- ,解得 b 由根与系数的关系可得-2×? 4 4 ? ? ? ? a 2 a 4 =-9.故选 B. x 6.(2014· 江西师大附中测试)在 R 上定义运算 :x y= ,若关于 x 的不等式 x 2-y +1-a)>0 的解集是{x|-2≤x≤2,x∈R}的子集,则实数 a 的取值范围是( A.-2≤a≤2 C.-3≤a<-1 或-1<a≤1 解析:选 D x B.-1≤a≤2 D.-3≤a≤1 ) x

x x x x+1-a)>0 即为 >0 整理得 >0 即 <0, 2-?x+1-a? a+1-x x-?a+1? x+1-a)>0 的解集,当 A 为?时,则 a+1=0,解得 a=-1;当

设 A 为关于 x 的不等式 x

a+1>0 即 a>-1 时,A=(0,a+1)?[-2,2],则 a+1≤2 得 a≤1,所以-1<a≤1;当 a +1<0 即 a<-1 时,A=(a+1,0)?[-2,2],则 a+1≥-2,得 a≥-3,所以-3≤a<-1. 综上可知-3≤a≤1,故选 D. 7.不等式 3x2-2x-1<0 成立的一个必要不充分条件是( 1 ? A.? ?-3,1? 1 ? C.? ?-3,0? )

1? B.? ?-∞,-3?∪(1,+∞) D.(-1,1)

1 ? 1 2 解析: 选 D 由 3x2-2x-1<0 解得- <x<1,而? ?-3,1? (-1,1),所以(-1,1)是 3x 3 -2x-1<0 成立的一个必要不充分条件. 8.(2013· 重庆高考)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1= 15 ,则 a= ( 5 A. 2 15 C. 4 ) 7 B. 2 15 D. 2

解析:选 A 方法一:∵不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2), ∴x1,x2 是方程 x2-2ax-8a2=0 的两根.

? ?x1+x2=2a, 由韦达定理知? 2 ?x1x2=-8a , ?

∴x2-x1= ?x1+x2?2-4x1x2= ?2a?2-4?-8a2?=15, 5 又 a>0,∴a= .故选 A. 2 方法二:由 x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0, ∵a>0,∴不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(-2a,4a), 又不等式 x2-2ax-8a2<0 的解集为(x1,x2), ∴x1=-2a,x2=4a. ∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15, 5 解得 a= .故选 A. 2
?x,x≥0, ? 9.已知 f(x)=? 则不等式 x+xf(x)≤2 的解集是__________. ?-x,x<0, ?

解析:(-∞,1] (1)当 x≥0 时,原不等式可化为 x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1,所以 0≤x≤1. 1?2 7 (2)当 x<0 时,原不等式可化为 x2-x+2≥0,得? ?x-2? +4≥0 恒成立,所以 x<0. 综合(1)(2)知 x≤1,所以不等式的解集为(-∞,1]. 10.已知不等式 ax2+bx+c<0 的解集为{x|-2<x<1},则不等式 cx2+bx+a>c(2x- 1)+b 的解集为________. 1 ? 解析: ? ?2,2? 由题意可知 a > 0 ,且- 2,1 是方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根,则

?-a=-1, ?c ?a=-2,

b

?b=a, ? 解得? ? ?c=-2a,

所以不等式 ax2+bx+a>c(2x-1)+b 可化为-2ax2+ax+a>-2a(2x-1)+a,整理得 1 ? 1 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.故不等式的解集为? ?2,2?. 2 11.某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元,预测六月份销售额为 500 万元, 七月份销售额比六月份递增 x%,八月份销售额比七月份递增 x%,九、十月份销售总额与 七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少达 7 000 万元,则 x 的最小值是 ________. 解析:20 七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2. 所以一至十月份的销售总额为 3 860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7 000,

解得 1+x%≤-2.2(舍)或 1+x%≥1.2, ∴xmin=20. 12.(2014· 武汉外国语学校月考)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞), 若关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. a2 解析:9 由值域为[0,+∞),当 x2+ax+b=0 时有 Δ=a2-4b=0,即 b= ,∴f(x) 4 a a a2 a a x+ ?2,∴f(x)=?x+ ?2<c 解得- c<x+ < c,- c- <x =x2+ax+b=x2+ax+ =? ? 2? 4 ? 2? 2 2 a a a c- ?-?- c- ?=2 c=6,解得 c < c- .∵不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),∴? 2 2? ? ? ? 2 =9. 13.(2014· 广东六校联考)设集合 A={x|x2<4},B=x1< (1)求集合 A∩B; (2)若不等式 2x2+ax+b<0 的解集为 B,求 a,b 的值. 解:A={x|x2<4}={x|-2<x<2},
? ? 4 ? ? ?x-1 ? ? ? ? B=?x?1<x+3 ?=?x? <0?={x|-3<x<1}. x + 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4 . x+3

(1)A∩B={x|-2<x<1}. (2)因为 2x2+ax+b<0 的解集为 B={x|-3<x<1}, 所以-3 和 1 为 2x2+ax+b=0 的两根,

?-2=-3+1, 所以? b ?2=-3×1,

a

解得 a=4,b=-6.

1.若不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围是( 23 ? A.? ?- 5 ,+∞? C.(1,+∞) 23 ? B.? ?- 5 ,1? 23? D.? ?-∞,- 5 ?

)

解析:选 A 令 f(x)=x2+ax-2,由 f(0)=-2<0 知不等式在区间[1,5]上有解的充要条 23 件是 f(5)>0,解得 a>- .选 A 5 2. (2014· 山西山大附中月考)已知 a∈Z, 关于 x 的一元二次不等式 x2-6x+a≤0 的解集 中有且仅有 3 个整数,则所有符合条件的 a 的值之和是( A.13 C.21 B.18 D.26 )

解析:选 C 设 f(x)=x2-6x+a,其图象是开口向上,对称轴是 x=3 的抛物线,如图
? ?f?2?≤0 所示.若关于 x 的一元二次不等式 x2-6x+a≤0 的解集中有且仅有 3 个整数,则? , ?f?1?>0 ? ?22-6×2+a≤0 ? 即? 2 ,解得 5<a≤8,又 a∈Z,∴a=6,7,8.则所有符合条件的 a 的值之和是 ? ?1 -6×1+a>0

6+7+8=21.故选 C.

3.已知函数 f(x)=x2+4x+4,若存在实数 t,当 x∈[1,t]时,不等式 f(x+a)≤4x 恒成 立,则实数 t 的最大值是( A.4 C.8 ) B.7 D.9

解析:选 D 由题意得(x+a)2+4(x+a)+4≤4x 即 x2+2ax+a2+4a+4≤0 当 x∈[1,t] 时恒成立,令 g(x)=x2+2ax+a2+4a+4,则 g(1)≤0,g(t)≤0.由 g(1)≤0 得 a2+6a+5≤0, 解得-5≤a≤-1.由 g(t)≤0 得 t2+2at+(a+2)2 ≤0,
?h?-5?≤0, ?t2-10t+9≤0, ? ? 令 h(a)=t2+2at+(a+2)2,则? 即? 2 ,解得 1≤t≤9,所以 ? ? ?h?-1?≤0, ?t -2t+1≤0.

t 的最大值为 9.故选 D. 4.(2014· 广州测试)已知不等式 ax2-3x+6>4 的解集为{x|x<1 或 x>b}. (1)求 a,b; (2)解不等式 ax2-(ac+b)x+bc<0(c∈R). 解:(1)由题意知 x1=1,x2=b 是方程 ax2-3x+2=0 的两根,

?1+b=a, 由根与系数的关系知? 2 ?1×b=a
即(x-2)(x-c)<0. ①当 c>2 时,解得 2<x<c; ②当 c<2 时,解得 c<x<2;

3

?a=1, ? 解得? ? ?b=2.

(2)由 ax2-(ac+b)x+bc<0,得 x2-(2+c)x+2c<0,

③当 c=2 时,不等式为(x-2)2<0 无解. 综上,当 c>2 时,不等式的解集为{x|2<x<c}; 当 c=2 时,不等式的解集为?; 当 c<2 时,不等式的解集为{x|c<x<2}.


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