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【南方凤凰台】2016届高考数学(文,江苏专用)二轮复习第一部分 微专题训练


第8练

圆锥曲线

【方法引领】
第 8练
【方法引领】

圆锥曲线

【回归训练】
【回归训练】 一、 填空题

x2 y 2 1. 双曲线C: 8 - 4 =1的离心率为

,渐近线的方程为

.

>
x2 y2 2. 若椭圆 25 + 16 =1上一点P到左焦点F1的距离等于2,则点P到两焦点F1,F2的距离
之积等于 .

x2 y 2 2 2 3. 已知双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离
心率为 .

4. 无论m为何值,直线l:(m-2)x+3y+2m=0恒过定点

.

x2 5. 已知椭圆 2 +y2=1与直线x-y+m=0相切,则实数m=

.

x2 ???? ???? ? PF PF 2 6. 如图,M为椭圆 3 +y =1上任意一点,P为线段OM的中点,则 1 ? 2 的最小值
为 .

(第6题)

y2 2 7. 如图,设F1,F2分别是椭圆E:x2+ b =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交
椭圆E于A,B两点.若AF1=3F1B,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为 .

(第7题)

x2 y 2 2 2 8. 如图,已知F1,F2分别是椭圆C: a + b =1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C
上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率 为 .

(第8题)

二、 解答题

y2 9. (1) 经过点M(2,1)作直线l交双曲线x2- 2 =1于A,B两点,且M为AB的中点,求
直线l的方程.

y2 (2) 已知双曲线x2- 2 =1,过点P(1,1)能否作直线l,与双曲线交于A,B两点,且P
是线段AB的中点?

10. 在平面直角坐标系xOy中,点P到两圆C1:x2+y2-2 3 y+2=0,C2:x2+y2+2 3 y3=0圆心的距离之和等于4,设点P的轨迹为C. (1) 求轨迹C的方程;
??? ? ??? ? ??? ? OA OB AB (2) 设直线y=kx+1与C交于A,B两点,问:当k为何值时, ⊥ ,且| |的值

是多少?

? 3? ? ? ?1, 2 ? ? ? 在椭圆C上. 11. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 设P是椭圆C长轴上的一个动点,过点P作方向向量d=(2,1)的直线l交椭圆C于 A,B两点,求证:PA2+PB2为定值.

【回归训练答案】
第 8练
6 2 2 y=± 2 x

圆锥曲线

1.

2. 16 【解析】由题意可知,10=2a=PF1+PF2=2+PF2,所以PF2=8, 所以PF1?PF2=2?8=16.

3.

5

x2 y 2 2 2 【解析】 因为双曲线 a - b =1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,

b 2),所以2= a ,所以e=

5.

4? ? - ? ? -2, 3? 4. ?

【解析】直线方程化为(x+2)m-2x+3y=0,直线过定点,与m无关,因

? x ? -2, ? ? x ? 2 ? 0, 4? ? 4 ? -2 , y ? , ? ? ? ? 3?. 3 所以直线l恒过定点 ? 此 ?-2 x ? 3 y ? 0, 解得 ?

5. ±

3

? x2 ? ? y 2 ? 1, x2 ?2 3 ? x -y ? m ? 0, 【解析】由 ? 消去y,得 2 x2+2mx+m2-1=0.因为椭圆 2 +y2=1
2

3 与直线x-y+m=0相切,所以Δ =4m -4? 2 ?(m2-1)=-2m2+6=0,解得m=±

3.

7 6. - 4

【解析】

???? PF1

?

???? ? PF2

??? ? OF ??? ? OF ??? ? ??? ? OF OF OF OF 2 =( P O + 1 )?( P O + 2 )=| P O | + P O ?( 1 + 2 )+ 1 ? 2 =|

????

???? ?

???? ???? ?

????

???? ?

??? ? ???? ? 1 ? PF 2 最小,其最小值为- 4 . P O |2-2= 4 | OM |2-2.当M为短轴端点时, PF

1

????

???? ?

7

3 7. x + 2 y2=1
2

2 【解析】设F1(-c,0),F2(c,0),其中c= 1-b ,则可设A(c,b2),

B(x0,y0),又因为AF1=3F1B,所以可得

???? AF1

=3

???? F1B

? -2c ? 3 x0 ? 3c, ? 2 -b ? 3 y0, ,所以 ? 即

5 ? x0 ? - c, ? ? 3 ? 25(1-b2 ) 1 3y2 2 ? y ? - 1 b 2, 0 ? 3 代入椭圆方程可得 ? 9 + 9 b2=1,解得b2= 3 ,故椭圆方程为x2+ 2 =1.

8.

5 3

1 【解析】连接OQ,F1P,则由OF1=OF2,QF2=PQ,得OQ∥F1P,OQ= 2 F1P,从
2 2 2

b 2 而PF1=2b,且∠F1PF2=90°.又PF2=2a-2b,从而(2c) =(2b) +(2a-2b) ,解得 a = 3 ,

?b? 4 5 1-? ? 1a 9= 3 . 故e= ? ? =
9. (1) 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

2

则2 2

x12 y12
-

=2, ②



2 2 x2 y2

=2,

y1-y2 2(x1 ? x2 ) ①②两式相减,得2(x -x )(x +x )-(y -y )(y +y )=0,即 x1-x2 = y1 ? y2 .
1 2 1 2 1 2 1 2

y1-y2 因为kAB= x1-x2 ,且x1+x2=4,y1+y2=2,所以kAB=4,
故所求直线l的方程为4x-y-7=0. (2) 假设这样的直线l存在,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则x1+x2=2,y1+y2=2.



x

2 1 -

y12 2 =1, ①

2 y2 2 x2 - 2 =1, ②

1 ①②两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)- 2 (y1-y2)(y1+y2)=0,

所以2(x1-x2)-(y1-y2)=0,所以2(x1-x2)=y1-y2,

y1-y2 所以AB的斜率kAB= x1-x2 =2.
又直线l过A,B,P三点,所以l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,

y2 将y=2x-1代入x2- 2 =1,得方程2x2-4x+3=0,此方程无实数解,所以满足题设的直
线l不存在,P不是线段AB的中点.

10. (1) 由已知得两圆的圆心坐标分别为C1(0,

3 ),C2(0,- 3 ), 3 ),(0, 3 )为焦点、长

设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,半轴为2的椭圆,

2 2 它的短半轴b= 2 -( 3) =1,

y2 故曲线C的方程为x2+ 4 =1.
? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? ? y ? kx ? 1, ?

(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去y,得(k2+4)x2+2kx-3=0, Δ =4k2+12(k2+4)=16(k2+3)>0,

2k 3 ??? ? ??? ? 2 所以x1+x2=- k ? 4 ,x1x2=- k ? 4 .因为 O A ⊥ O B ,所以x1x2+y1y2=0.
2

又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1,

3k 2k -4k ? 1 3 2 2 2 2 所以x1x2+y1y2=- k ? 4 - k ? 4 - k ? 4 +1= k ? 4 =0,
2 2 2

1 所以k=± 2 . 1 4 12 当k=± 2 时,x1+x2=? 17 ,x1x2=- 17 .

因为| AB |=

??? ?

(x2 -x1 ) 2 ? (y2 -y1 ) 2

=

(1 ? k 2 )(x2 -x1 ) 2



3 42 12 4 ?13 2 2 又(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2= 17 +4? 17 = 17 ,

??? ? 所以| AB |= 17

4 65
.

11. (1) 因为椭圆C的焦点在x轴上且长轴长为4,

x2 y 2 2 故可设椭圆C的方程为 4 + b =1(a>b>0).
? 3? ? ? ?1, 2 ? ? ? 在椭圆C上, 因为点

1 3 2 所以 4 + 4b =1,

解得b2=1,

x2 所以椭圆C的方程为 4 +y2=1.
x-m (2) 设P(m,0)(-2≤m≤2),由已知,直线l的方程为y= 2 ,

1 ? y ? (x-m), ? ? 2 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ?4 由? ?2x2-2mx+m2-4=0.

(*)

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根,

m2 -4 所以x2+x2=m,x1x2= 2 ,
所以PA2+PB2 =(x1-m)2+
2

y12

+(x2-m)2+

2 y2

1 1 2 2 =(x1-m) + 4 (x1-m) +(x2-m) + 4 (x2-m)2
5 = 4 [(x1-m)2+(x2-m)2]

5 5 2 2 x x 2 = 4 [ 1 + 2 -2m(x1+x2)+2m ]= 4 [(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2] 5 = 4 [m2-2m2-(m2-4)+2m2]

=5(定值), 所以PA2+PB2为定值.


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