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2017年高考文科数学一轮 专题三 不等式与线性规划 专题限时集训


基础演练· 夺知识 1.若 a>0,b>c>0,则下列不等式中不正确的是( A.-a+b>-a+c B.ab-ac>0 1 1 3 3 C. > D. b> c b c 2.已知 a,b∈R,且 a>b,则( a A.a2>b2 B. >1 b 1 1 C.lg(a-b)>0 D.( )a<( )b 2 2<

br />
)

)

3.设集合 M={x|x2+2x-15<0},N={x|x2+6x-7≥0},则 M∩N=( A.(-5,1] B.[1,3) C.[-7,3) D.(-5,3)

)

?x≥2, 4.设 x,y 满足约束条件?3x-y≥1,则下列不等式恒成立的是( ?y≥x+1,
A.x≥3 B.y≥4 C.x+2y-8≥0 D.2x-y+1≥0 3 1 5.已知 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则 + 的最小值是________. x y 提升训练· 强能力

)

3 6.若不等式 2kx2+kx- <0 对一切实数 x 都成立,则 k 的取值范围为( 8 A.(-3,0) B.[-3,0) C.[-3,0] D.(-3,0] x+y≤3, ? ? 7.若实数 x,y 满足线性约束条件?1 则 z=2x+y 的最大值为( x≤y≤2x, ? ?2 A.0 B.4 C.5 D.7

)

)

?2x-y≥5, ? 8.若某学校计划招聘 x 名男教师,y 名女教师,且 x,y 需满足?x-y≤2, 则该校最 ? ?x<6,
多招聘教师( ) A.7 名 B.8 名

C.10 名 D.13 名 1 1 9.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=2,2a+b=8,则 + 的最大值为( x y A.2 B.3 C.4 D.log23

)

?3x-y-6≤0, 10.设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值 ?x≥0,y≥0,
3 2 为 12,则 + 的最小值为( a b 25 A. 6 8 B. 3 )

11 C. D.4 3

?x≥0, y+1 11.若实数 x,y 满足不等式组?3x+4y-12≤0,若使得目标函数 z= 取得最小值 x+ 1 ?y≥a(x-1),
的最优解有无穷多个,则实数 a 的值为( 1 A. 3 1 B. 2 )

C.2 D.3

?2x-y≥0, 12. 若实数 x, y 满足?y≥x, 且 z=2x+y 的最小值为 3, 则实数 b 的值为________. ?y≥-x+b,
a b 13.已知 lg a+lg b=0,则满足不等式 2 + 2 ≤λ 的实数 λ 的最小值是________. a +1 b +1

?x≥1, ? 14.设不等式组?x-2y+3≥0,所表示的平面区域是 Ω1,平面区域 Ω2 与 Ω1 关于直线 ? ?y≥x
3x-4y-9=0 对称.若 A 为 Ω1 中的任意一点,B 为 Ω2 中的任意一点,则|AB|的最小值为 ________. 15.某工厂用 A,B 两种配件分别生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件、耗时 1 小时,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件、耗时 2 小时,该厂每天最多可从 配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件, 每天生产甲、 乙两种产品总耗时不超过 8 小时. 若 生产一件甲产品获利 2 万元, 生产一件乙产品获利 3 万元, 那么该工厂每天可获取的最大利 润为________万元.

专题限时集训(三) ■ 基础演练 1.C [解析] A 中,b>c 两边同时加-a,不等号方向不变,正确; B 中,b>c 两边同时乘 a,因为 a>0,所以不等号方向不变,正确; 1 1 C 中,取 b=2,c=1,则 < ,错误;D 正确. b c 2.D [解析] 当 0>a>b 时,A,B 不成立;当 0<a-b<1 时,C 不成立.故选 D. 3. B [解析] 因为 M={x|x2+2x-15<0}={x|-5<x<3}, N={x|x2+6x-7≥0}={x|x≥1 或 x≤-7},所以 M∩N={x|1≤x<3}. 4.C [解析] 作出可行域,如图中阴影部分所示,由图可以看出 x≥2,y≥3,故排除 A,B.作出直线 x+2y-8=0 和 2x-y+1=0,易知直线 x+2y-8=0 经过点 B(2,3),且可 行域在该直线的右上方,满足 x+2y-8≥0;直线 2x-y+1=0 经过 C(2,5),且经过该可 行域,不满足 2x-y+1≥0 恒成立.故选 C.

5.12 [解析] 因为 lg 2x+lg 8y=lg 2x +3y)=6+ 9y x + ≥6+2 x y

+3y

3 1 3 1 =lg 2,所以 x+3y=1,所以 + =( + )(x x y x y

9y x 1 1 · =12(x>0,y>0),当且仅当 x= ,y= 时,等号成立. x y 2 6

■ 提升训练 k<0, ? ? 6.D [解析] 显然 k=0 时满足题意;当 k≠0 时,则? 2 解得- 3 ?k -4×2k×(-8)<0, ? 3<k<0.综上可知,k 的取值范围为(-3,0]. x+y≤3, ? ? 7.C [解析] 作出不等式组?1 所表示的可行域(如图中阴影部分所示), ? ?2x≤y≤2x 当直线 y=-2x+z 经过可行域内的点 A(2,1)时, z 取最大值,此时 z=2×2+1=5.

8.C [解析] 不等式组表示的平面区域如图所示,图中阴影部分中的整点(坐标为整数 的点)就代表所有可能的招聘结果,经验证可知满足条件的整点有(3,1),(4,2),(4,3),

(5,3),(5,4),(5,5),于是可知(x+y)max=5+5=10,即最多招聘 10 名教师.

9.B [解析] 由 ax=by=2 得 x=loga2,y=logb2, 1 1 1 1 ∴ + = + =log2a+log2b=log2ab. x y loga2 logb2 又 a>1,b>1, ∴8=2a+b≥2 2ab,即 ab≤8,当且仅当 a=2,b=4 时取等号, 1 1 1 1 ∴ + =log2ab≤log28=3.故( + )max=3. x y x y 10.D [解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,

当直线 z=ax+by(a>0,b>0)过点 A(4,6)时, z 取得最大值 12,即 4a+6b=12?2a+3b=6, 3 2 3 2 2a+3b 1 9b 4a 1 9b 4a 1 ∴ + =( + )× = (12+ + )=2+ ( + )≥2+ a b a b 6 6 a b 6 a b 3 3 3 2 a= ,b=1 时取等号,故 + 的最小值为 4. 2 a b 11.B [解析] 因为直线 y=a(x-1)恒过点(1,0),且由选项可知 a>0,所以可以作出约 y+1 束条件所表示的大致区域,如图中阴影部分所示.目标函数 z= 的几何意义为可行域内 x+1 的点与点(-1,-1)所确定的直线的斜率,依题意,可行域内存在无穷多个点使得目标函数 取得最小值.由图可知,当直线 y=a(x-1)经过点(-1,-1)时满足题意,此时 zmin= 1 =a. 2 0+1 = 1+1 9b 4a · =4,当且仅当 a b

9 12. 4

?2x-y≥0, ? [解析] 由题知 b>0,?y≥x, 对应的可行域如图所示(大致区域). ? ?y≥-x+b

?x=3, b 2b 由? 解得? ∴B( , ).由图知,当直线 z=2x+y 过点 B 时,z= 3 3 2b ?2x-y=0, y = , ? 3
?y=-x+b,
b 2b 9 2x+y 有最小值,∴有 2× + =3,解得 b= . 3 3 4 1 13.1 [解析] ∵lg a+lg b=0,∴ab=1,∴b= ,a>0, a 1 a a b a 2a 2 ∴ 2 + 2 = 2 + = = . 1 a2+1 1 a +1 b +1 a +1 1+ 2 a+ a a 1 2 ∵a+ ≥2,当且仅当 a=1 时取等号,∴ ≤1, a 1 a+ a ∴λ ≥1. 故实数 λ 的最小值为 1.

b

?x≥1, ? 14. 4 [解析] 作出不等式组?x-2y+3≥0,表示的平面区域 Ω1 及直线 3x-4y-9=0, ? ?y≥x
如图所示. 易知|AB|的最小值等于平面区域 Ω1 内的点到直线 3x-4y-9=0 的距离的最小值 的两倍 , 由图可知平面区域 Ω1 内的点 C(1 , 1) 到直线 3x - 4y - 9 = 0 的距离最小 , 为 |3-4-9| =2,所以|AB|min=4. 32+(-4)2

15. 14

? ?4x≤16, [解析] 由题意, 设生产 x 件甲产品, y 件乙产品, 利润为 z, 则有?4y≤12, x≥0, ? ?y≥0,

x+2y≤8,

作出不等式组表示的平面区域,图中的阴影部分中的整点(坐标为整数的点)就代表该工厂可 能的生产安排. 目标函数为 z=2x+3y,易知当直线 z=2x+3y 经过可行域内的点(4,2)时,z 取得最大 值,此时 z=14,故该厂的日利润最大为 14 万元.


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