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2011年霍邱县高中数学竞赛试题1


2011 年霍邱县高中数学竞赛试题
(第Ⅰ卷)
温馨提示:请各位考生将第Ⅰ卷的答案填在第Ⅱ卷的答题卡上,只交第Ⅱ卷 一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.若对于任意的正实数 x 和 y 定义运算: x @ y ?

xy ,那么对于@法运算下列说法 x? y

正确的是 A.@法运算具有交换律,但不具有结

合律 B.@法运算具有结合律,但不具有交换律 C.@法运算既不具有交换律也不具有结合律 D.@法运算既具有交换律也具有结合律 2.设 x 2 ? xy ? y 2 ? 1( x, y ? R) ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 A.2 B.

2 3

C. 1

D.最小值不存在

3.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的 标志为“连续 10 天,每天新增疑似的病例不超过 7 人” 。根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新 增疑似病例数据,一定符合该标志的是 A.甲地:总体均值为 3,中位数为 4 B.乙地:总体均值为 1,总体方差大于 0 C.丙地:中位数为 2,众数为 3 D.丁地:总体均值为 2,总体方差为 3 4.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ,若 f (2 ? a 2 ) ? f (a) ,则实数 a 的取值范围是 2 ?4 x ? x , x ? 0
B. ? 1 , 2 ) (
100

A. (??,?1) ? (2,??)

C. ? 2 , 1 ) (

D. (??,?2) ? (1,??)

5.在平面直角坐标系 xoy 中,由不等式 y 图形的面积等于 A. 50?

?

1 1 ? x100 ? 100 , x 2 ? y 2 ? 100,所确定的 100 y x
C. 30? D. 20?

B. 40?

6.某人要作一个三角形,要求它的三条高的长度分别是 A.不能作出满足要求的三角形 C.能作出一个直角三角形

1 1 1 、 、 ,则此人 13 11 5

B.能作出一个钝角三角形 D.能作出一个锐角三角形

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 1 页 共 6 页

二.填空题(本题满分 48 分,每小题 8 分) 7.有两个相同的直棱柱,高为

2 ,底面三角形的三边长分别为 3a 、 4 a 、 5a (a ? 0) a

用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,已知在所有的可能情形中,全面积最小的是一个四棱柱,则 a 的取值范围是 . 8.在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点, P 、Q 、 M 、 N 分别是线段 OA 、OB 、

OC 、 OD 的中点,在 A 、 P 、 M 、 C 中任取一点记为 E ,在 B 、 Q 、 N 、 D 中任取一点记
为 F ,设 G 为满足向量 OG ? OE ? OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行 四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为
A
? P ? N


B

O ?
M?

?

Q
C

D 9.已知函数 f (x) 由下表定义

x
f (x)

1 3

2 4

3 5

4 2

5 1

如果 a1 ? 2 ,a 2 ? 5 ,an?2 ? f (an ) ,n ? N ,则a2010 ? a2011 ?
*

10.设函数 f ( x) ?

ax ( a ? 0 且 a ? 1 ) [m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 , 1? ax

1 1 [ f ( x) ? ] ? [ f (? x) ? ] 的值域为 2 2
11. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,点 P 在直线 l :x ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 16 4

上运动,当 ?F1 PF2 取最大值时, 12.对于任意的 x ? ( 为

| PF1 | 的值为 | PF2 |

? ?

, ) ,不等式 p sin 4 x ? cos6 x ? 2 sin 4 x 恒成立,则实数 p 的取值范围 4 2

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 2 页 共 6 页

2011 年霍邱县高中数学竞赛试题
(第Ⅱ卷)
第Ⅰ卷答题卡: 一.选择题
题 答 号 案 1 2 3 4 5 6

准考证号:

二.填空题 7. 题 9. 11. 勿 8. 10. 12.

答 三.解答题(本大题共 4 小题,共 66 分)要求必须写出必要的演算或证明的过程) 请 内 姓名: 学校: 密 封 线
x x x b 13. (本题满分 15 分) 已知 a 、 、c 均为正实数, x ? 0 , 若 试比较 a ? b ? c 与 (a ? b ? c) x

的大小。

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 3 页 共 6 页

14. (本题满分 15 分)已知三棱锥 S-ABC 中,SC⊥平面 ABC,AB=BC=CA= 4 2 ,SC=2, D,E 分别为 AB,BC 的中点,若点 P 在线段 SE 上移动,求△PCD 面积的最小值。

?

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 4 页 共 6 页

15. (本题满分 18 分) 定义: 已知函数 f (x) 和 g (x) , 若存在常数 k 和 b , 使得函数 f (x) 和 g (x) 对其定义域内的任意实数 x 分别满足 f ( x) ? kx ? b 和 g ( x) ? kx ? b , 则称直线 l :y ? kx ? b 为 函数 f (x) 和 g (x) 的隔离直线。 问题(1) :根据“隔离直线”的定义,对于其定义域内的任意实数 x ,

f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b 同时恒成立,从函数图象的角度看,曲线 f (x) 和 g (x) 上的点完全分布在直线 y ? kx ? b 的两侧,请结合图象直接写出函数 f ( x) ?
直线方程: . 问题(2) :设函数 f ( x ) ?

1 ( x ? 0) 与函数 g ( x) ? 2 ? x 2 的隔离 x

1 2 x ( x ? 0) , g ( x) ? e ln x .试探究 f (x) 与 g (x) 是否存在“隔离直 2

线”?若存在,求出“隔离直线”的方程;若不存在,请说明理由。

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 5 页 共 6 页

16. (本题满分 18 分)在 2,3 两个数之间,第一次写上 间和 5,3 之间分别写上 第 0 次操作:2 第 1 次操作:2 第 2 次操作:2 第 3 次操作:

2?3 ? 5 ,第二次在 2,5 之 1

2?5 7 5?3 ? 和 ? 4 ,如下图所示: 2 2 2
5 3 3 4 3

7 2
??

5

第 k 次操作是在上一次操作的基础上,在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的 经过第 k 操作后所有数的和记为 S k ,第 k ? 1 次操作后所有数的和记为 S k ?1 (1)写出第 3 次操作后所得到的 9 个数,并求出它们的和. , S3 ? (2)求出 S k ?1 与 S k 之间的关系式;

1 。 k

高 中 数 学 竞 赛 试 卷 第 6 页 共 6 页





线



(3)求 S 6 和 S k










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