tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

高中数学竞赛辅导讲义第十五章 复数


第十五章
一、基础知识

复数

1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实 数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数, 称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用 C 来表示。 2.复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi(a,b∈R) ,a 称实部记作 Re(z

),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两 部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那么 z 与坐标平面 唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成 的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面 称为复平面,x 轴称为实轴,y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的 几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又对应唯一一个向 量。 因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式, 称为向量形式; 另外设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ= θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsinθ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种 形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。若 0≤θ <2π ,则θ 称为 z 的辐角主值,记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|,由勾股定理知|z|= a 2 ? b 2 .如果用 eiθ 表示 cosθ +isin θ ,则 z=reiθ ,称为复数的指数形式。 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。 模与共轭的性质有:1)1 ? z2 ? z1 ? z2 ;2)1 ? z2 ? z1 ? z2 ;3) ? z ?| z |2 ; ( z ( z ( z

(4)? ?

? z1 ? z1 z |z | ?? ; (5) z1 ? z2 |?| z1 | ? | z2 | ; (6) 1 |? 1 ; ||z1|-|z2|| (7) | | ? z2 | z2 | ? z2 ? z2

≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|; (8)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2; (9)若 |z|=1,则 z ? 。 4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则 与实数范围内一致,运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实 数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形和三角形法则; (3) 按三角形式,若 z1=r1(cosθ 1+isinθ 1), z2=r2(cosθ 2+isinθ 2),则 z1? z2=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)];若 z 2 ? 0, ?
z1 r1 [cos(θ 1-θ ? z 2 r2 z1 r1 i (?1 ??2 ) ? e . z 2 r2
1 z

2

)+isin(θ 1-θ 2)],用指数形式记为 z1z2=r1r2ei(θ 1+θ 2),

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )]n=rn(cosnθ +isinnθ ). 6.开方:若 w n ? r(cosθ +isinθ ),则 w ? n r (cos k=0,1,2,?,n-1。 7.单位根:若 wn=1,则称 w 为 1 的一个 n 次单位根,简称单位根, 记 Z1= cos
2? 2? ? i sin , 则全部单位根可表示为 1, Z1 , Z12 ,?, Z1n?1 .单位根 n n

? ? 2k?
n

? i sin

? ? 2k?
n

),

的基本性质有(这里记 Z k ? Z1k ,k=1,2,?,n-1)(1)对任意整数 k, : 若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1,有 Znq+r=Zr; (2)对任意整数 m,当 n≥2 时,有 1 ? Z1m ? Z 2m ? ? ? Z nm?1 = ?
?0, 当n | m, 特别 1+Z1+Z2+?+Zn-1=0; (3) ? n, 当 n | m,

xn-1+xn-2+?+x+1=(x-Z1)(x-Z2)?(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z12 )?(x- Z1n?1 ). 8.复数相等的充要条件: 两个复数实部和虚部分别对应相等; (1) (2)

两个复数的模和辐角主值分别相等。 9. 复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是: z =0 z+ (且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11. 实系数方程虚根成对定理: 实系数一元 n 次方程的虚根成对出现, 即若 z=a+bi(b≠0)是方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。 12.若 a,b,c∈R,a≠0,则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0,当Δ =b2-4ac<0 时方程的根为 x1, 2 ? 二、方法与例题 1.模的应用。 例1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1)2n+(z-1)2n=0 只有纯虚根。 若 z 是 方 程 的 根 , 则 (z+1)2n=-(z-1)2n , 所 以
? b ? ? ?i . 2a

[证明]

|(z+1)2n|=|-(z-1)2n|,即|z+1|2=|z-1|2,即(z+1)( z +1)=(z-1)( z -1), 化简得 z+ z =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数。 例 2 设 f(z)=z2+az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。 [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)

=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。 所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0. 2.复数相等。 例3 设λ ∈R,若二次方程(1-i)x2+(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,

求λ 满足的充要条件。 [解]
? x 2 ? ?x ? 1 ? 0 若方程有实根, 则方程组 ? 2 有实根, 由方程组得(λ ? ?x ? x ? ? ? 0 ?

+1)x+λ +1=0.若λ =-1, 则方程 x2-x+1=0 中Δ <0 无实根, 所以λ ≠-1。 所以 x=-1, λ =2.所以当λ ≠2 时,方程无实根。所以方程有两个虚 根的充要条件为λ ≠2。 3.三角形式的应用。 例 4 设 n≤2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ )n=sinnθ

+icosnθ ,那么这样的 n 有多少个? [解]
[cos(

由题设得
? ? ) ? i sin(

?
2

?
2

? ? )] n ? cos n(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? ) ? cos(

?
2

? n? ) ? i sin(

?
2

? n? )

,所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000,所以 1≤k≤500,所以这样的 n 有 500 个。 4.二项式定理的应用。 例5
0 2 4 100 1 3 5 99 计算: (1)C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ; (2)C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

[解]

(1+i)100=[(1+i)2]50=(2i)50=-250, 由 二 项 式 定 理 (1+i)100= =
0 2 4 100 (C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

0 1 2 99 100 C100 ? C100 i ? C100 i 2 ? ? ? C100 i 99 ? C100 i100 1 3 5 99 C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

)+(

)i , 比 较 实 部 和 虚 部 , 得
50

0 2 4 100 1 3 5 99 C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 =-2 , C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 =0。

5.复数乘法的几何意义。 例 6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰直角Δ ABM、等腰直角Δ ACN。求证:MN 的中 点为定点。 [证明] 设|BC|=2a,以 BC 中点 O 为原点,BC 为 x 轴,建立直角坐 标系,确定复平面,则 B,C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的复 数 为 z1,z2,z3, CA ? z1 ? a, BA ? z1 ? a , 由 复 数 乘 法 的 几 何 意 义 得 :
CN ? z3 ? a ? ?i( z1 ? a) , ① BM ? z2 ? a ? ?i( z1 ? a) , ② 由 ① + ② 得

z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai. 设 MN 的 中 点 为 P , 对 应 的 复 数 z=
z 2 ? z3 ? ai ,为定值,所以 MN 的中点 P 为定点。 2

例7

设 A, C, 为平面上任意四点, B, D 求证: AB?AD+BC?AD≥AC?BD。 用 A,B,C,D 表示它们对应的复数,则 , 因 为

[证明]

(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)

|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立当且仅当
Arg ( B?A B?C D? A B?C ) ? Arg ( ) ,即 Arg ( ) ? Arg ( ) =π ,即 A,B,C,D D? A C?D B? A D?C

共圆时成立。不等式得证。 6.复数与轨迹。 例 8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且 |BC|=2,求Δ ABC 的外心轨迹。 [解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R),B,C 点对应的复数分 别是 b,b+2.因为外心 M 是三边垂直平分线的交点,而 AB 的垂直平分 线方程为|z-b|=|z-3i|,BC 的垂直平分线的方程为|z-b|=|z-b-2|, 所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得
4 x 2 ? 6( y ? ). 3

所以Δ ABC 的外心轨迹是轨物线。 7.复数与三角。 例 9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:cos2 α +cos2β +cos2γ =0。 [证明] 令 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z3=cosγ +isinγ , 则

z1+z2+z3=0。所以 z1 ? z 2 ? z3 ? z1 ? z 2 ? z3 ? 0. 又因为|zi|=1,i=1,2,3. 所以 zi? z i =1,即 z i ?
1 . zi

2 2 由 z1+z2+z3=0 得 x12 ? x2 ? x3 ? 2z1 z2 ? 2z2 z3 ? 2z3 z1 ? 0.



又 z1 z 2 ? z3 z 2 ? z3 z1 ? z1 z 2 z 3 ? ?

?1 1 1 ? ? ? z1 z 2 z 3

? ? ? z1 z 2 z 3 ( z1 ? z 2 ? z 3 ) ? 0. ? ?

2 2 所以 z12 ? z2 ? z3 ? 0.

所以 cos2α +cos2β +cos2γ +i(sin2α +sin2β +sin2γ )=0. 所以 cos2α +cos2β +cos2γ =0。 例 10 求和:S=cos200+2cos400+?+18cos18×200. [解] 令 w=cos200+isin200, 则 w18=1 , 令 P=sin200+2sin400+ ?

+18sin18 × 200, 则 S+iP=w+2w2+ ? +18w18. ① 由 ① × w 得 w(S+iP)=w2+2w3+?+17w18+18w19 ,②由①-②得(1-w)(S+iP)=w+w2+? +w18-18w19=
?1 9 ? 18w 3 ? w(1 ? w18 ) ? 所以 S ? ? . ? ?9? ? ? 18w19 , 所以 S+iP= ? 2 2 i? , 2 1? w 1? w ? ?

8.复数与多项式。 例 11 已知 f(z)=c0zn+c1zn-1+?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|≤1,并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. [证明] 记 c0zn+c1zn-1+?+cn-1z=g(z),令 ? =Arg(cn)-Arg(z0),则方程

g(Z)-c0eiθ =0 为 n 次方程,其必有 n 个根,设为 z1,z2,?,zn,从而 g(z)-c0eiθ =(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0,令 z=0 得-c0eiθ =(-1)nz1z2 ? znc0,取模得|z1z2?zn|=1。所以 z1,z2,?,zn 中必有一个 zi 使得|zi| ≤1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0eiθ =cn, 所以|f(zi)|=|c0eiθ +cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用。 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的距 离的平方和为定值。

[证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立 复平面,顶点 A1 对应复数设为 ? ? e n ,则顶点 A2A3?An 对应复数分别 为ε
2

2?

i

,ε

3

,?,ε
n

n

. 设 点 p 对 应 复 数 z, 则 |z|=1, 且
n n

=2n- ?| pAk | 2 ? ?| z ? ? k | 2 ? ? ( z ? ? k )(z ? ? k ) ? ? (2 ? ? k z ? ? k z)
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n

=2n- z ? ? k ? z ? ? ? 2n ? z ? ? k ? z ? ? k ? 2n. 命题得证。
k k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

n

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB, Δ PCD 都是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形。 [证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们 对 应 的 复 数 , 由 题 设 及 复 数 乘 法 的 几 何 意 义 知 D=iC,B=iA ; 取
C ? iB , 则 C-Q=i(B-Q) , 则 Δ BCQ 为 等 腰 直 角 三 角 形 ; 又 由 1? i D A C-Q=i(B-Q)得 ? Q ? i( ? Q) ,即 A-Q=i(D-Q),所以Δ ADQ 也为等腰 i i Q?

直角三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。 例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0 ,定义 As=As-3,s≥4,构造点列

p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕中心 Ak+1 顺时针旋转 1200 时 pk 所到达的位置, k=0,1,2,?,若 p1986=p0.证明:Δ A1A2A3 为等边三角形。 [证明] 令 u= e ,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取
i

? 3

给定平面为复平面,则 p1=(1+u)A1-up0,

p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, ①×u2+②×(-u)得 p3=(1+u)(A3-uA2+u2A1)+p0=w+p0,w 为与 p0 无关的常 数 。 同 理 得 p6=w+p3=2w+p0, ? ,p1986=662w+p0=p0 , 所 以 w=0 , 从 而 A3-uA2+u2A1=0.由 u2=u-1 得 A3-A1=(A2-A1)u,这说明Δ A1A2A3 为正三角 形。 三、基础训练题 1. 满足(2x2+5x+2)+(y2-y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。 2.若 z∈C 且 z2=8+6i,且 z3-16z100 =__________。 z

3.复数 z 满足|z|=5,且(3+4i)?z 是纯虚数,则 z ? __________。 4.已知 z ? ?
2 1 ? 3i

,则 1+z+z2+?+z1992=__________。

5.设复数 z 使得

z ?1 ? 的一个辐角的绝对值为 , z 辐角主值的取值 则 z?2 6

范围是__________。 6.设 z,w, λ ∈C,|λ |≠1,则关于 z 的方程 z -Λ z=w 的解为 z=__________。 7.设 0<x<1,则 2arctan
1? x 1? x2 ? arcsin ? __________。 1? x 1? x2

8.若α ,β 是方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)的两个虚根且

?2 ? R ,则 ?

? ? __________。 ?

9.若 a,b,c∈C,则 a2+b2>c2 是 a2+b2-c2>0 成立的__________条件。 10. 已知关于 x 的实系数方程 x2-2x+2=0 和 x2+2mx+1=0 的四个不同的 根在复平面上对应的点共圆,则 m 取值的集合是__________。 11.二次方程 ax2+x+1=0 的两根的模都小于 2,求实数 a 的取值范围。 12.复平面上定点 Z0,动点 Z1 对应的复数分别为 z0,z1,其中 z0≠0, 且满足方程|z1-z0|=|z1|, ①另一个动点 Z 对应的复数 z 满足 z1?z=-1, ②求点 Z 的轨迹,并指出它在复平面上的形状和位置。 13.N 个复数 z1,z2,?,zn 成等比数列,其中|z1|≠1,公比为 q,|q|=1 且 q≠±1,复数 w1,w2,?,wn 满足条件:k=zk+ w
1 +h, 其中 k=1,2,?,n,h zk

为已知实数,求证:复平面内表示 w1,w2,?,wn 的点 p1,p2,?,pn 都在 一个焦距为 4 的椭圆上。 四、高考水平训练题 1.复数 z 和 cosθ +isinθ 对应的点关于直线|iz+1|=|z+i|对称,则 z=__________。 2.设复数 z 满足 z+|z|=2+i,那么 z=__________。 3.有一个人在草原上漫步,开始时从 O 出发,向东行走,每走 1 千 米后,便向左转 角度,他走过 n 千米后,首次回到原出发点,则 n=__________。
? 6

4.若 z ?

(4 ? 3i) 2 (?1 ? 3i)10 ,则|z|=__________。 (1 ? i)12

5. 若 ak ≥ 0,k=1,2, ? ,n , 并 规 定 an+1=a1 , 使 不 等 式

?
k ?1

n

2 2 ak ? ak ak ?1 ? ak ?1 ? ? ? ak 恒成立的实数λ 的最大值为__________。 k ?1

n

x2 y2 6.已知点 P 为椭圆 ? ? 1 上任意一点,以 OP 为边逆时针作正方 9 5

形 OPQR,则动点 R 的轨迹方程为__________。 7.已知 P 为直线 x-y+1=0 上的动点,以 OP 为边作正Δ OPQ(O,P,Q 按顺时针方向排列)。则点 Q 的轨迹方程为__________。
z2 ?R” 8. 已知 z∈C,则命题 “z 是纯虚数” 是命题 “ 的__________ 1? z2

条件。 9.若 n∈N,且 n≥3,则方程 zn+1+zn-1=0 的模为 1 的虚根的个数为 __________。 10
a0 ?





(x2006+x2008+3)2007=a0+a1x+a2x2+

?

+anxn





a a a a1 a 2 a ? ? a3 ? 4 ? 5 +?+a3k- 3k ?1 ? 3k ? 2 ? ? ? a n ? __________。 2 2 2 2 2 2

11.设复数 z1,z2 满足 z1? z2 ? Az1 ? Az2 ? 0 ,其中 A≠0,A∈C。证明: (1)|z1+A|?|z2+A|=|A|2; (2)
z1 ? A z1 ? A ? . z2 ? A z2 ? A

12.若 z∈C,且|z|=1,u=z4-z3-3z2i-z+1.求|u|的最大值和最小值,并 求取得最大值、最小值时的复数 z.

?| z1 |?| z 2 |?| z 3 |? 1, ? 13.给定实数 a,b,c,已知复数 z1,z2,z3 满足 ? z1 ? z 2 ? z 3 ? 1, 求 ?z ? 2 z 3 z1

|az1+bz2+cz3|的值。 三、联赛一试水平训练题 1 . 已 知 复 数 z 满 足 | 2 z ? |? 1. 则 z 的 辐 角 主 值 的 取 值 范 围 是 __________。 2.设复数 z=cosθ +isinθ (0≤θ ≤π ),复数 z,(1+i)z,2 z 在复平 面上对应的三个点分别是 P,Q,R,当 P,Q,R 不共线时,以 PQ,PR 为两边的平行四边形第四个顶点为 S,则 S 到原点距离的最大值为 __________。 3.设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次
1995 为 z1,z2, ? ,z20, 则 复 数 z1 , z1995 ,?, z1995 所 对 应 的 不 同 点 的 个 数 是 2 20

1 z

__________。 4.已知复数 z 满足|z|=1,则|z+iz+1|的最小值为__________。 5.设 w ? ? ?
1 2 3 i ,z1=w-z,z2=w+z,z1,z2 对应复平面上的点 A,B,点 2

O 为原点,∠AOB=900,|AO|=|BO|,则Δ OAB 面积是__________。 6 . 设 w ? c o s ? i s i n , 则 (x-w)(x-w3)(x-w7)(x-w9) 的 展 开 式 为
5 5

?

?

__________。 7.已知( 3 ? i )m=(1+i)n(m,n∈N+),则 mn 的最小值是__________。

8. 复平面上, 非零复数 z1,z2 在以 i 为圆心, 为半径的圆上,z1 ?z2 1 的实部为零,z1 的辐角主值为 ,则 z2=__________。 9.当 n∈N,且 1≤n≤100 时, [( 个。 10. 已知复数 z1,z2 满足 则 Arg
z 2 z1 ? , Ag 且 rz z1 z2
?

? 6

3 ?i 7 ) ? 1]n 的值中有实数__________ 2

?
3

1

,Argz 2 ?

?
6

,Argz 3 ? ? ,

7 8

z1 ? z 2 的值是__________。 z3

11.集合 A={z|z18=1},B={w|w48=1},C={zw|z∈A,w∈B},问:集合 C 中有多少个不同的元素? 12.证明:如果复数 A 的模为 1,那么方程 ( 不相等的实根(n∈N+). 13.对于适合|z|≤1 的每一个复数 z,要使 0<|α z+β |<2 总能成立, 试问:复数α ,β 应满足什么条件? 六、联赛二试水平训练题 1.设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足
? a 2 a3 a 4 a5 ? ? ? ? ? a1 a 2 a3 a 4 ? ?a ? a ? a ? a ? a ? 1 (a ? a ? a ? a ? a ) ? S , 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ? 1 4 ?
1 ? ix n ) ? A 的所有根都是 1 ? ix

其中 S 为实数且|S|≤2, 求证: 复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应 的点位于同一圆周上。

2.求证: sin ? sin
n

?

2? (n ? 1)? n ? ? ? sin ? n ?1 (n ? 2) 。 n n 2

3.已知 p(z)=zn+c1zn-1+c2zn-2+?+cn 是复变量 z 的实系数多项式,且 |p(i)|<1,求证:存在实数 a,b,使得 p(a+bi)=0 且(a2+b2+1)2<4b2+1. 4. 运用复数证明: 任给 8 个非零实数 a1,a2,?,a8, 证明六个数 a1a3+a2a4, a1a5+a2a6, a1a7+a2a8, a3a5+a4a6, a3a7+a4a8,a5a7+a6a8 中至少有一个是非负 数。 5.已知复数 z 满足 11z10+10iz9+10iz-11=0,求证:|z|=1. 6.设 z1,z2,z3 为复数,求证: |z1|+|z2|+|z3|+|z1+z2+z3|≥|z1+z2|+|z2+z3|+|z3+z1|。


推荐相关:

高中数学竞赛教材讲义 第十五章 复数讲义

高中数学竞赛教材讲义 第十五章 复数讲义_学科竞赛_高中教育_教育专区。第十五章 复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数...


15第十五章 复数【讲义】

高中数学竞赛辅导讲义第十... 暂无评价 14页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度...第十五章 复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,...


高中数学竞赛讲义15:复数

高中数学竞赛讲义(十五) ──复数一、基础知识 1.复数的定义:设 i 为方程 x2=-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除等运算。 R)的...


高中数学竞赛讲义——复数

高中数学竞赛讲义——复数_学科竞赛_高中教育_教育专区。适用于高中数学竞赛学习,复数专题知识。高中数学竞赛讲义 复数 一、基础知识 1.复数的运算法则: 三角形式,...


高中数学竞赛_复数【讲义】

高中数学竞赛_复数讲义】_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷第十五章 复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚...


高中数学知识点总结 第十五章复数

高中数学第十五章 复数 考试内容: 考试内容: 复数的概念. 复数的加法和减法. 复数的乘法和除法. 数系的扩充. 考试要求: 考试要求: (1)了解复数的有关概念及...


高中数学第十五章知识点总结(精华版) 复数

高中数学第十五章知识点总结(精华版) 复数_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学第十五章知识点总结(精华版) 复数_数学_高中...


高中数学完整讲义——复数

高中数学完整讲义——复数_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学讲义 复数 典例分析题型一:复数的概念【例1】若复数 ? a2 ? 3a ? 2? ? ? a ? 1? i 是...


高中数学复数讲义.教师版

高中数学复数讲义.教师版_数学_高中教育_教育专区。复数 知识内容一、复数的概念...高中数学复习讲义 第四章... 14页 2下载券喜欢此文档的还喜欢 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com