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云南省玉溪第二中学2012-2013学年高二数学下学期期末考试(交流卷)试题


高二下学期期中考试数学(理)试题
一、选择题(每小本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求.) 1.已知集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | x 2 ? 5 x ? 4 ? 0} ,则 M A. {x | 0 ? x ? 1} 2.若函数 f ( x) ? ? A.lg101 B. {x |1

? x ? 3} C. {x | 0 ? x ? 4}

N ?(



D. {x | x ? 0 或 x ? 4}

? x2 ? 1( x ? 1) ?lg x( x ? 1)
B.2

,则 f ( f (10)) =( C.1

) D.0

3.已知 f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 设 a ? f ( ), b ? f ( ),

6 5

3 2

5 c ? f ( ), 则 2 (A) a ? b ? c (C) c ? b ? a

( (B) b ? a ? c (D) c ? a ? b



4.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可将函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象(



? 个长度单位 12 ? C.向右平移 个长度单位 6
A.向左平移

B.向左平移

? 个长度单位 6 ? D.向右平移 个长度单位 12

5. 已知向量 OA ? (0,2),OB ? (2,0), BC ? ( 2 cos? , 2 sin ? ),则OA 与OC 夹角的取值范 围是( A. [0, )

?
4

]

B. [

? 2?
3 ,

? 3? ? 5? ] C. [ , ] D. [ , ] 3 4 4 6 6

6 . 等 比 数 列

?an ?

的 各 项 均 为 正 数 , 且

a2 a18 ?

1 , 则 3

log3 a1 ? log3 a3 ? log3 a5 ???? ? log3 a19 ?
A. 5

B.

?5

C.

5 3

D.

10 3


?y ? x ? 7.已知变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 8 ,则目标函数 z ? 6 x ? 2 y 的最小值为( ?2 x ? y ? 3 ?
A.32 B.4 C.8 D.2 8.设 m 、 n 是不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是不同的平面,以下四个命题为真命题的是 ① 若 ? / / ? ,? / /? , 则 ? / /? ②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? ④若 m / / n, n ? ? ,则 m / /?

1

A.①③ B.①②③ 9.由右图所示的流程图可得结果为 开始

C.②③④

D.①④

s ? 0,i ? 1
s ? s?i

i ?i?3 i ? 19 ?
是 结束 输出 否

A、19 B、 64 C、51 D、70 10.已知两条直线 y= a x-2 和 y=( a +2)x+1 互相垂直,则 a 等于 ( A.2 B.1 C.0 D.-1 11.已知椭圆:

)

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2) ,左右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 的直线 l 交椭圆于 4 b2
) D. 3

A,B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,则 b 的值是(
A.1 B. 2 C.

3 2

12.如图,某人向圆内投镖,如果他每次都投入圆内,那么他投中正方形区域的概率为

A.

2

?

B.

1

?

C.

2 3

D.

1 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13.已知数列

?an ? ?n ? N ? ? 中, a1 ? 1 , a n?1 ?

an ,则 a n = 2a n ? 1

2

14.已知直线 x -2ay-3=0 为圆 x +y -2x+2y-3=0 的一条对称轴,则实数 a= 15.已知 f ( x) 为一次函数,且

2

2



1 f ( x) ? x ? 3? f (t )dt ,则 f ( x) =______. 0

16.如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示,其中俯视图为边长为 2 3 的正三角形, 且圆与三角形内切,则侧视图的面积为_____.

三、解答题(本大题共 6 小题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步) 17 . ( 10 分)已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三个内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若

cos B cos C ? sin B sin C ?
(1)求 A ;

1 . 2

(2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面 积. 18. (12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1⊥面 ABC,D、E 分别 是棱 A1B1、AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ?
1 AB . 4

(Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1; (Ⅱ)求二面角 E-BC1-D 的余弦值.

19. (12 分)某学校为调查高二年级学生的身高情况,按随机抽样的方法 抽取 200 名学生,得到男生身高情况的频率分布直方图(图(1) )和女生身高情况的频率分 布直方图(图(2) ) .已知图(1)中身高在 170~175cm 的男生人数有 48 人.

(Ⅰ) 在抽取的学生中, 身高不超过 165cm 的男、 女生各有多少人?并估计男生的平均身高。

3

(Ⅱ) 在上述 200 名学生中, 从身高在 170~175cm 之间的学生按男、 女性别分层抽样的方法, 抽出 7 人,从这 7 人中选派 4 人当旗手,求 4 人中至少有一名女生的概率. 20. (12 分) 公差 d ? 0 ,S n 是 ?an ? 的前 n 项和, 已知 a2 a3 ? 15, S 4 ? 16. ?an ? 是等差数列, (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)令 bn =

1 ,求数 ?bn ? 列的前 n 项之和 Tn . a n a n ?1

21 . ( 12 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为

? 1? F (? 3,0) ,右顶点为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . ? 2?
(1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的轨迹方程; 22. (12 分)设函数 f ( x) ? x ln x ( x ? 0) 。 (1)求函数 f ( x) 的最小值;
2 (2)设 F ( x) ? ax ? f ?( x) (a ? R) ,讨论函数 F ( x) 的单调性;

( 3 )斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ?( x) 交于 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 两点,求证:

x1 ?

1 ? x2 k

4

高二数学(理科)参考答案

3.D 【 解 析 】 已 知 f ( x ) 是 周 期 为 2 的 奇 函 数 , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? lg x. 设

6 4 4 3 1 1 5 1 a ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , b ? f ( ) ? f (? ) ? ? f ( ) , c ? f ( ) ? f ( ) <0 , ∴ 5 5 5 2 2 2 2 2
c ? a ? b ,选 D
4.D 【解析】试题分析: y ? sin(2 x ? 要将函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) ? sin[2( x ?

?
12

)] ,根据函数图象的左加右减原则,需

?
6

) 的图象向右平移

? 个长度单位. 12

考点:本小题主要考查三角函数图象的平移. 点评: 三角函数图象的平移遵循 “左加右减” 的原则, 注意左右平移的单位是针对 x 而言的. 5.C

考点:本题主要考查了圆的定义、数形结合求两个向量的夹角范围. 点评:解决该试题的关键是利用 CB 是常数,判断出 A 的轨迹为圆,作出 A 的轨迹;数形结 合求出两个向量的夹角范围. 6.B

a a ? a10 ? ,所以 【解析】试题分析:等比数列中 2 18 3
2

1

log3 a1 ? log3 a3 ?

? log3 a19 ? log3 ? a1a3

?1? a19 ? ? log3 a1010 ? log3 ? ? ? ?5 ? 3?
5

5

考点:等比数列性质及对数运算 点 评 : 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 m ? n ? p ? q 则 aman ? a p aq , 在 对 数 运 算 中

loga b ? loga c ? loga ?bc ?

8.A 【解析】试题分析:由“平行关系的传递性”知① 若 ? / / ? ,? / /? , 则 ? / /? 正确; ②若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? ,不正确,借助于身边的模型可知,m 与β 的关系可能是斜 交、m//β ; ③ 若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ? 正确。由面面垂直的判定定理及直线的平移,可知。关系 A。 考点:立体几何的平行关系、垂直关系。 点评:简单题,熟悉立体几何线线关系、线面关系及面面关系判定定理和性质定理是解题的 关键。 9.D 【解析】试题分析:根据题意,由于 s=1,i=4;依次可知 s=5,i=7;s=12,i=10;s=22,i=13,s=35,i=16,s=51,i=19,s=70,i=22,故此时满足条件, 那么终 止循环,输出 s 的值为 70,故答案为 D. 考点:程序框图 点评:主要是考查了程序框图的运用,通过循环结构来完成求解,属于基础题。 10.D 【解析】试题分析:利用斜率都存在的两直线垂直,斜率之积等于 -1,解方程求出实数 a 的值. 解: ∵直线 y=ax-2 和 y= (a+2) x+1 互相垂直, ∴他们的斜率之积等于-1, 即 a× (a+2) =-1,∴a=-1,故答案为 D 考点:两直线垂直 点评:本题考查斜率都存在的两直线垂直,斜率之积等于-1. 11.D 【解析】 因为根据椭圆的方程与性质可知,

x2 y 2 ? ? 1(0 ? b ? 2) , 左右焦点分别为 F1,F2 , 4 b2

6

l A,B 两点,若 | BF2 | ? | AF2 | 的最大值为 5,结合定义和联立方程 过F 1 的直线 交椭圆于
组可知 b 的值是 3 ,选 D 12.A 【解析】试题分析:设圆的半径为 r,则正方形的周长为 2r ,所以投中正方形区域的概率

2r s 2 P= 正 = = 。 2 s圆 ?r ?
考点:几何概型。 点评:本题考查的知识点是几何概型,几何概型的概率计算公式中的“几何度量”,可以为 线段长度、面积、体积、角度等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位 置无关。 13.

? ?

2

1 【解析】略 2n ? 1

14.1 【解析】由题意可知此直线过圆心(1,-1),所以 1 ? 2a ? 3 ? 0,? a ? 1 .

16.【答案】 6 ? ? 【解析】 17. (Ⅰ)

2? (Ⅱ) 3 3 1 2 ? cos( B ? C ) ? 1 2
2

【解析】试题分析: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ? 分 又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3
6分

2? ? A ? B ? C ? ? ,? A ? 3

7

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
2 2 得 (2 3 ) ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc ? cos

2? 3

8分

即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4

1 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

10 分

考点:本题考查了三角恒等变换及正余弦定理的运用 点评:正、余弦定理是解斜三解形强有力的工具,在求解三角形的时候,问题涉及三角形的 若干几何量,解题时要注意边与角的互化.一般地,已知三角形三个独立条件(不含已知三 个角的情况) ,应用两定理,可以解三角形 18. (Ⅰ) 取 AB 的中点 M, ? AF ?
1 又 AB ? F 为 AM 的中点, 4

∴ EF // A1 M E 为 AA1 的中点,

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,? A1D // BM ,且 A1 D ? BM 则四边 形 A1DBM 为平行四边形,? A1M // BD ? EF // BD ,又
? EF // 平面 BC1 D (Ⅱ)

BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D

10 5
1 AB , 4

【解析】试题分析:取 AB 的中点 M,? AF ?

? F 为 AM 的中点,又 E 为 AA1 的中点,∴ EF // A1 M ,

在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1D // BM ,且 A1 D ? BM ,

则四边形 A1DBM 为平行四边形,? A1M // BD ,
? EF // BD ,又

BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ,

? EF // 平面 BC1 D .

6分

8





? ?n ? BE ? 0, ? ? ?n ? BC1 ? 0,



? ??2 x2 ? z2 ? 0, ? ? ?? x2 ? 3 y2 ? 2 z2 ? 0,



n ? (1, ? 3, 2)



cos ? m, n ??

m?n 4 10 ? ? , | m || n | 5 5? 8

10 . 。 。 。 。 。6 分 5 考点:线面平行的判定及二面角求解

故二面角 E-BC1-D 的余弦值为

点评: 利用空间向量法证明线面平行只需证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不 在面内即可,求二面角时首先找到两面的法向量,求出法向量的夹角,观察图形得到二面角 (等于夹角或与夹角互补) 19. (Ⅰ)120、80,173.75(cm) (Ⅱ) p ?

20 4 ? 35 7

【解析】试题分析:解: (1)由图(1)知:身高在 170~175cm 的男生的频率为 0.08 ? 5 ? 0.4 , 设男生总人数为 m,则 m ? 0.4 ? 48 , ∴ m ? 120 (人), ∴女生总人数为 200-120=80(人) , ∴身高不超过 165cm 的男生有 120 ? 0.01 ? 5 ? 6 (人) , 身高不超过 165cm 的女生有 80 ? (0.02 ? 0.06 ? 0.06) ? 5 ? 56 (人) ,??.4 分 男生的平均身高为: 162 .5 ? 0.01 ? 5 + 167 .5 ? 0.04 ? 5 + 172 .5 ? 0.08 ? 5 + 177 .5 ? 0.04 ? 5 + 182 .5 ? 0.02 ? 5 + 187 .5 ? 0.01 ? 5 =173.75(cm)??.6 分 (2) 身高在 170~175cm 之间的学生按男生为120 ? 0.08 ? 5 ? 48 (人) , 身高在 170~175cm 之间的学生按女生为 80 ? 0.02 ? 5 ? 8 (人) , ∵ 48 : 8 ? 6 : 1 , ∴抽出 7 人中,有 6 个男生,1 个女生,
4 ∴这 7 人中选派 4 人当旗手的方法数共有 C7 。 。 。 。 。8 分 ? 35(种), 3 4 人中至少有一名女生的方法数为 C6 , 。 。 。 。 。 。11 分 ? 20 (种)

9

∴4 人中至少有一名女生的概率为 p ?

20 4 ? 。 。 。 。12 分 35 7

考点:排列分布直方图;概率 点评:此类题目跟实际联系大,是常考知识点,因而我们需要学会看图。 20. (1) an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1;(2) Tn ? b1 ? b2 ?

? bn =

n 。 2n ? 1

【解析】试题分析: (1)设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,由题意可得

?(a1 ? d )(a1 ? 2d ) ? 15 ? ? 4?3 4a1 ? d ? 16 ? 2 ?
解得 a1 ? 1, d ? 2 。 。 。 。 。4 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 6分

∴ an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 (2) bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Tn ? b1 ? b2 ? =

? bn 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ) 2 2 2 3 2n ? 1 2n ? 1 n = 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 12 分 2n ? 1
考点:等差数列的通项公式、求和公式,裂项相消法。 点评:典型题,涉及求数列的通项公式问题,一般地通过布列方程组,求相关元素。 “分组 求和法” “裂项相消法” “错位相减法”是高考常考知识内容。本题难度不大。

1 1 x2 ? y 2 ? 1 (2) ( x ? ) 2 ? 4( y ? ) 2 ? 1 21. (1) 2 4 4
【解析】试题分析:解: (1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1,

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1。 。 。 。 。 。4 分 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0),
x0 ? 1 ? ?x ? ? 2 由 ? y ?y ? 0 ?1 ? 2 ?

? x0 ? 2 x ? 1 ? 得? 1 。 。 。 。 。 。 。10 分 y0 ? 2 y ? 。 ? 2 ?

10

由点 P 在椭圆上,得

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2
1 2
2

∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 12
2

1 4



考点:椭圆方程,轨迹方程 点评:主要是考查了椭圆方程以及轨迹方程的求解,属于基础题。 22. (1) 当 a<0 时,F(x)在 . (2)当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 上单调递增,在 上单调递减. (3)

构造函数利用函数的单调性证明不等式 【解析】试题分析: (1)f'(x)=lnx+1(x>0) ,令 f'(x)=0,得 ∵当 f'(x)>0, ∴当 时,
2



时,f'(x)<0;当

时,



。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 .

(2)F(x)=ax +lnx+1(x>0) , ①当 a≥0 时,恒有 F'(x)>0,F(x)在(0,+∞)上是增函数; ②当 a<0 时, 令 F'(x)>0,得 2ax +1>0,解得 令 F'(x)<0,得 2ax +1<0,解得
2 2

; .

综上,当 a≥0 时,F(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 a < 0 时, F ( x )在 减. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 (3) . 上单调 递增,在 上单调递

要证

, 即证

, 等价于证

, 令



则只要证

,由 t>1 知 lnt>0,

故等价于证 lnt<t﹣1<tlnt(t>1) ( *) .

11

12


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