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高中数学概念总结(高考必看之经典)


高中数学概念总结 一、 函数
n n

1.若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为: 2 ,非空真子集的个数是: 2 ? 2 .

2.二次函的对称轴是 x ? ?

? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是 ? ? ? 2a , 4a 2a ?

? x1 ? x2 ?

? b ? ? x x ?c a ? . 韦达定理 ? ?12 a ?

二、

三角函数

1, 在角 ? 的终边上任取一个异于原点的点 P ( x, y ) ,点 P 到原点的距离记为 r , 则 sin ? =

y r

cos ? =

x r
2

tan ? =
2

y x tan ? ?

2、同角三角函数的关系: sin ? ? cos ? ? 1

sin ? cos ?

3、 诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限

(其中A ? 0,? ? 0) 4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的最大值: A ? B ,最小值: B ? A ,
周期: T ?

2?

?



5.三角函数的单调区间:

? ?? ? 3? ? ? ? y ? sin x 增区间 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 减区间 ?2k? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) ; 2 2? 2 2? ? ?
y ? cos x 增区间 ?2k? ? ?, 2k? ? (k ? Z ) ,减区间 ?2k?, 2k? ? ? ? (k ? Z ) ,

? ?? ? y ? tgx 增区间 ? k? ? ,k? ? ? (k ? Z ) , 2 2? ?
6、 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tg (? ? ? ) ?

tg? ? tg? 1 ? tg? ? tg?

7、sin2 ? = 2 sin ? ? cos ? ; tg2 ? =

2tg? ; 1 ? tg 2?

第 1 页

cos2 ? = cos ? ? sin ? = 2 cos ? ? 1 = 1 ? 2 sin ?
2 2 2 2

9、升幂公式是: 1 ? cos ? ? 2 cos

2

?

2 1 ? cos 2 ? 2 10、降幂公式是: sin ? ? 2
11、特殊角的三角函数值:

, 1 ? cos ? ? 2 sin ,
2 cos ??

2

?
2



1 ? c o s2? 。 2

?
sin ?

0 0

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2
1

? 3
3 2
1 2

? 2
1

?
0

3? 2
?1

cos ?

1

3 2 3 3

0

?1

0

tg ?

0

3
3 3

不存在

0

不存在

ctg ?

不存在

3

1

0

不存在

0

12、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径) :

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C
13、余弦定理: b = a ? c ? 2ac cos B , cosB=
2

2

2

a2 ? c2 ? b2 2ac

14、三角形的面积用 S 表示, ① S ?

1 1 a ? ha ? ? ;② S ? bc sin A ? ? ; 2 2

15、在△ABC 中, A ? B ? sin A ? sin B ,… 16.在△ABC 中: sin(A + B) = sinC 三、不等式 1.基本不等式: a ? b ? 2 ab (a, b ? R? ) ; a ? b ? 2ab ;
2 2

cos(A + B) ? -cosC tg(A + B) ? -tgC

第 2 页

a?b 2 a 2 ? b2 ab ? ( ) ; ab ? 2 2

a?b 2.两个正数 a、 b ,则有 ? ab ? ? 1 1 2 ? a b 2
4、 数列

a2 ? b2 2

1.等差数列: an ? a1 ? (n ? 1)d , an ? am ? (n ? m)d ;

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2
n?1

= na1 ?

1 n(n ? 1)d 2

2、等比数列 an ? a1q

, an ? amq

n ?m

? na1 (q ? 1) ? n ; S n ? ? a1 (1 ? q ) (q ? 1) ? ? 1? q

4、若 m、n、p、q∈N,且 m ? n ? p ? q ,那么: 当数列等差数列时,有 am ? an ? a p ? aq ;当数列是等比数列时,有 am ? an ? a p ? aq 。

四、解析几何 1.数轴上两点间距离公式: AB ? xB ? x A 2.两点间距离公式: P 1P 2 ?

? x ? x y ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 中点坐标公式 ? 1 2 , 1 ? 2 ? ? 2

△ABC 的重心 G 的坐标是 ?

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 ? , ?。 3 3 ? ?
y 2 ? y1 。 x2 ? x1

3、求直线斜率的定义式为 k= tg? ,两点式为 k=

4、直线方程的几种形式: 点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , 两点式: 斜截式: y ? kx ? b , 一般式: Ax ? By ? C ? 0 截距式:

x y ? ? 1, a b

y ? y1 x ? x1 , ? y 2 ? y1 x2 ? x1

第 3 页

5.直线 l1 与 l 2 的夹角 θ 满足: tg? ?

k 2 ? k1 1 ? k1k 2 Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2 C1 ? C2 A2 ? B 2

6.点 P( x0 , y0 ) 到直线 l:Ax ? By ? C ? 0 的距离: d ?

7.两条平行直线 l1:Ax ? By ? C1 ? 0,l 2:Ax ? By ? C2 ? 0 距离是 d ? 8.圆的标准方程是: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 9.以线段 AB 为直径的圆的方程是 ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0

10.抛物线标准方程的四种形式是: y 2 ? 2 px,y 2 ? ?2 px, x 2 ? 2 py,x 2 ? ?2 py。 11.抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点坐标是: ?

p ?p ? , 0 ? ,准线方程是: x ? ? 。 2 ?2 ?

12.椭圆标准方程的两种形式是:

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? b ? 0) 。 和 a2 b2 a2 b2

c x2 y2 a2 0) ,准线方程: x ? ? 13.椭圆 2 ? 2 ? 1 的焦点坐标: (?c, ,离心率: e ? , a c a b
通径的长:

2b 2 2 2 2 ,焦半径公式: PF 2 ? a ? ex0 ,其中 c ? a ? b 1 ? a ? ex0 和 PF a x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? 0,b ? 0) 。 和 a2 b2 a2 b2

14、双曲线标准方程的两种形式是:

c x2 y2 a2 0) ,准线方程是 x ? ? 15、双曲线 2 ? 2 ? 1 的焦点坐标是 (?c, ,离心率是 e ? , a c a b
通径的长是

2b 2 x2 y2 ,渐近线方程是 2 ? 2 ? 0 , a a b
,其中 c ? a ? b 。
2 2 2

焦半径公式: PF 1 ? ex0 ? a 和 PF 1 ? ex0 ? a 16、与双曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ? ? ( ? ? 0) 。 共渐近线的双曲线系方程是 a2 b2 a2 b2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ? 1 共焦点的双曲线系方程是 a2 ? k b2 ? k a2 b2

与双曲线

第 4 页

17、弦长公式为: AB ? 三、 1、 2、 极坐标、参数方程

2 (1 ? k 2 ) ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?

经过点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线参数方程的一般形式是: ?

? x ? x0 ? at (t是参数) 。 ? y ? y0 ? bt

若 直 线 l 经 过 点 P0 ( x0 , y0 ),倾斜角为 ? , 则 直 线 参 数 方 程 的 标 准 形 式 是 :

? x ? x0 ? t cos? (t是参数) 。其中点 P 对应的参数 t 的几何意义是:有向线段 P0 P 的数量。 ? y ? y ? t sin ? 0 ?
若点 P1、P2、P 是直线 l 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 t1、t 2 和t, 则: P1 P2 ? t1 ? t 2 ; 当点 P 分有向线段 P ? 时, t ? 1P 2 成定比

t1 ? ?t 2 t ? t2 ;当点 P 是线段 P1P2 的中点时, t ? 1 。 1? ? 2

3、圆心在点 C (a,b) ,半径为 r 的圆的参数方程是: ? 3、

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ?

(?是参数) 。

若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 P 的极坐标为 ( ? ,? ), 直角坐标为

( x, y ) ,则 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? ?
4、

x 2 ? y 2 ,tg? ?

y 。 x

经过极点,倾斜角为 ? 的直线的极坐标方程是: ? ? ? 或? ? ? ? ? ,

经过点 ( a, 0) ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: ? cos? ? a , 经过点 ( a, ) 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: ? sin ? ? a ,

?

2

经过点 ( ? 0,? 0 ) 且倾斜角为 ? 的直线的极坐标方程是: ? sin(? ? ? ) ? 5、 圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ? ? r ;

? 0 sin(? 0 ? ? ) 。

0),半径为a 的圆的极坐标方程是 ? ? 2a cos? ; 圆心在点 (a,
圆心在点 ( a, ),半径为 a 的圆的极坐标方程是 ? ? 2a sin ? ;

?

2

2 圆心在点 ( ? 0,? 0 ) ,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ? 2 ? ? 0 ? 2??0 cos( ? ?? 0 ) ? r 2 。

6、 四、

若点 M ( ?1,? 1 ) 、N ( ? 2,? 2 ) ,则 MN ? 立体几何

2 ?12 ? ? 2 ? 2 ?1 ? 2 cos(? 1 ? ? 2 ) 。

第 5 页

1、求二面角的射影公式是 cos ? ?

S? ,其中各个符号的含义是: S 是二面角的一个面内图形 F 的面积, S ? 是 S

图形 F 在二面角的另一个面内的射影, ? 是二面角的大小。 2、若直线 l 在平面 ? 内的射影是直线 l ? ,直线 m 是平面 ? 内经过 l 的斜足的一条直线, l 与 l ? 所成的角为 ? 1 ,

l ? 与 m 所成的角为 ? 2 , l 与 m 所成的角为θ,则这三个角之间的关系是 cos? ? cos?1 ? cos? 2 。
3、体积公式: 柱体: V ? S ? h ,圆柱体: V ? ? r 2 ? h 。 斜棱柱体积: V ? S ? ? l (其中, S ? 是直截面面积, l 是侧棱长) ; 锥体: V ?

1 1 S ? h ,圆锥体: V ? ? r 2 ? h 。 3 3 1 ? h( S ? S ? S ? ? S ?) , 3 4 ? r3 。 3
圆台体: V ?

台体: V ?

1 ?h ( R 2 ? R ? r ? r 2 ) 3

球体: V ?

3、

侧面积:

直棱柱侧面积: S ? c ? h ,斜棱柱侧面积: S ? c ? ? l ; 正棱锥侧面积: S ?

1 1 c ? h ? ,正棱台侧面积: S ? (c ? c ?)h ? ; 2 2 1 c ? l ? ?rl , 2

圆柱侧面积: S ? c ? h ? 2?rh ,圆锥侧面积: S ?

圆台侧面积: S ?

1 (c ? c ?)l ? ? ( R ? r )l ,球的表面积: S ? 4? r 2 。 2

5、几个基本公式: 弧长公式: l ? ? ? r ( ? 是圆心角的弧度数, ? >0) ; 扇形面积公式:

S?

1 l ?r ; 2

第 6 页

圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ? ?

r ? 2? ; l R?r ? 2? 。 l

圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: ? ?

经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 l ,轴截面顶角是θ) :

? ?1 2 ? 2 ? l sin ? (0 ? ? ? 2 ) S ?? 1 ? ? ?l2 ( ?? ??) 2 ?2
十一、比例的几个性质

a c ? ? ad ? bc b d a c b d 2、反比定理: ? ? ? b d a c a c a b 3、更比定理: ? ? ? b d c d a c a?b c?d ? 4、 合比定理; ? ? b d b d a c a ?b c?d ? 5、 分比定理: ? ? b d b d a c a?b c?d ? 6、 合分比定理: ? ? b d a?b c?d a c a?b c?d ? 7、 分合比定理: ? ? b d a?b c?d
1、比例基本性质: 8、 等比定理: 若

a a ? a2 ? a3 ? ? ? an a1 a1 a2 a3 ? ? ? ? ? n ,b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 0 , ? 。 则 1 b1 b2 b3 bn b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn b1

十二、复合二次根式的化简

A? B ?

A ? A2 ? B ? 2

A ? A2 ? B 2

2 当 A ? 0,B ? 0,A ? B 是一个完全平方数时,对形如

A ? B 的根式使用上述公式化简比较方便。

18、

第 7 页


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