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2016年安徽城市管理职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽城市管理职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.函数 y=

1 3x ? 2
2 } 3

的定义域为





A.{x|x≠

B.(

2 ,+∞) 3

C.(-∞,

2 ) 3

D.[

2 ,+∞] 3

2.复数 z1=1+i,z2=x+2i(x∈R),若 z1z2∈R,则 x= ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2

3.已知样本 10,8,6,10,13,8,10,12,11,7,8,9,11,9,12,9,10,11,12,12,那么频率 是 0.3 的范围 是 A.5.5~7.5 B.7.5~9.5 C.9.5~11.5 D.11.5~13.5 ( D.y=-2x3 ) ( )

4.下列函数中,在定义域内既为奇函数又为减函数的是 A.y=sin2x B.y= log 1 x
2

C.y=2x

5.函数 y=cos2(2x+ A. ?

? ? )-sin2(2x+ )的最小正周期是 3 3
B.2 ? C.4 ? D.





? 2

6.随着 x 的增大:①y=logax(a>1)的值增长的越来越慢 ②y=ax(a>1)的值增长速度越 来越快,会表现为指数爆炸 ③y=kx+b(k>0)的值匀速增长 ④y=2x 增长速度会超 过并远远大于 y=x2 的增长速度,以上结论,正确的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ) ( )

7.由点 P(2,4)向直线 ax+y+b=0 引垂线,垂足为 Q(4,3),则 a,b 的值依次为 A.-2,5 B.2,-11 C.

1 ,-5 2

D.-

1 ,-11 2

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8.先后抛掷三枚均匀的一角、伍角、壹元的硬币,则出现两枚正面,一枚反面的概率 是( )

A.

3 8

B.

5 8

C.

3 6

D.

1 3

9.以下结论不正确 的是 ... ( )

A.根据 2×2 列联表中的数据计算得出 k2≥6.635,而 P(k2≥6.635)≈0.01,则有 99% 的把握 认为两个分类变量有关系 B.在线性回归分析中,相关系数为 r,|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越小, 相关程度越小 C.在回归分析中,相关指数 R2 越大,说明残差平方和越小,回归效果越好
? =0.5x-85 中,变量 x=200 时,变量 y 的值一定是 15 D.在回归直线 y

10.若 a,b,c 是 Rt△的三边(c 为斜边)长,则圆 x2+y2=2 被直线 ax+by+c=0 截得的弦 长为( A.1 ) B.2 C. 3 D.2 3

2 , 11.设 l1、l 2 是两条不重合的直线, ? 、 ? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题: 4 ①若 l1 ? ? , l 2 ? ? , l1 ∥ ? , l 2 ∥ ? ,则 ? ∥ ? ② l1 ⊥ ? , l 2 ⊥ ? ,则 l1 ∥ l , 2 6 ③若 l1 ⊥ ? , l1 ⊥ l 2 ,则 l 2 ∥ ? ④若 ? ⊥ ? , l1 ? ? ,则 l1 ⊥ ? ,其中正确的命 题个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 )

1 4

12.下表给出一个“直角三角形数阵”,记第 i 行, 第 j 列的数为 aij,则 a83= ( )

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A. B. C.

1 8 1 4

1 2

S=0 i=1 WHILE S=S+2*i i=i+1 WEND i<=3

D.1 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13.正方体 AC1 中,AC1 与 A1D 所成角等于____________. 14.向量 a =(-2,3), b =(1,m),若 a 、 b 夹角为钝角, 则实数 m 的范围是_________. 15.右边程序运行结果输出 S 的值是_________. 16.已知实数 x,y 满足 x2+y2≤1,x+y≤0,则 z=x+2y 的最大值是___________. 三、解答题(共 5 个小题,满分 64 分,写出必要的过程及文字说明) 17.(本小题满分 12 分) 已知 m =(cos ? ,sin ? ), n =(cos ? ,sin ? ),0< ? ?

PRINT

S

END

?
2

,?

?
2

? ?A? 0 ,| m ? n |=
B

2 5 ,求 sin( ? - ? ). 5
E D F C

18.(本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDE 中,EA=ED=EC=2,且 EA、ED、EC 两两垂直,AB∥

CE,AB=1,F 为 CD 中点

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(1)求证:BF∥平面 ADE (2)判断 EF 与面 BCD 能否垂直,证明你的结论.

19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:x2+

y2 ? 1 ,直线 l :y=mx+1 4

(1)求证:当 m∈R 时, l 与 C 恒有两个不同交点; (2)设 l 交 C 于 A、B 两点,求 AB 中点 M 的轨迹. 2 , 4 , 6

20.(本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2,数列{bn}为等比数列,a1=b1 且 b2(a2-a1)=b1 (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)设 cn=

an ,求数列{cn}的前 n 项和公式 Tn. bn

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21.(本小题满分 14 分) 已知 f(x)=x3+bx 在[-1,1]上是增函数 (1)求实数 b 的范围; (2)若不等式 b2-tb+1≥f(x)对任意 x∈[-1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围.

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四、选考题(10 分,请从所给的二道题中任选一道作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把 所选对应题目的题号涂黑) A.△ABC 内接于⊙O,AB=AC,直线 MN 切⊙O 于 C, 弦 BD∥MN,AC、BD 交于点 E (1)求证:△ABE≌△ACD (2)AB=6,BC=4,求 AE B.求点 P(2,

? 11 ? )到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离. 6 6

A
1 2

D

E
5 4 6 3

N C

B

M

参考答案

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 D 2 , 4 , 6 6 D 7 A 8 A 9 D 10 B 11 B 12 C

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)

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13.90° 14. m< 三、解答题 17.(12 分) (cos ? ? cos ? ) 2 ? (sin ? ? sin ? ) 2 ? sin ? sin ? +cos ? cos ? = cos( ? - ? )=

2 3 且 m≠- 3 2

15. 12

16.

2 2

4 5

(3 分) (6 分) (8 分)

3 5

3 5

? ? 0 ?? ? ? ? 2 ? 0 ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 0 ? ? 2
2 ∴sin( ? - ? )=- 1 ? cos (? ? ? ) ?

(10 分)

4 5

(12 分)

18.(12 分) (1)略 (2)不垂直 (6 分) (12 分)

方法一:求出 EF= 2 ,BE= 5 ,取 EC 中点 G,BG=2,GF=1,BF= 5 ∴△BEF 是等腰三角形 ∴EF 与 BF 不垂直 ∴EF 与平面 BDC 不垂直. 方法二:向量法,如图建立坐标系 E(0,0,0),F(1,1,0),B(0,1,2),C(0,2,0) x D E F C y A z B

EF =(1,1,0), BC =(0,1,2)

EF ? BC ? 1(或EF ? BF ? 1或EF ? BD ? 1)
∴EF 与 BC 不垂直

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∴EF 与平面 BDC 不垂直. 19.(12 分) (1)方法一:直线亘这定点 P(0,1) 而 P(0,1)在椭圆 C 内 ∴ l 与 C 恒有两个不同交点 (2 分) (3 分) (4 分) (2 分)

?y ? m x? 1 ? 方法二:由 ? 2 y 2 ? ( 4 ? m 2 ) 2 x 2 ? 2m x ? 3 ? 0 ?1 ?x ? 4 ?
△=(2m)2+4×3×(4+m2)>0 ∴ l 与 C 恒有两个不同交点 (2)方法一:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)则

(3 分) (4 分)

? 2 y12 x ? ?1 ? ( y ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? 1 4 ? ( x1 ? x 2 )(x1 ? x 2 ) ? 1 ?0 ? 2 4 ?x 2 ? y 2 ? 1 2 ? 4 ?
? x1+x2+

(6 分)

( y1 ? y 2 ) k =0(∵x1≠x2) 4
(8 分) (9 分) (10 分)

x1+x2=2x,y1+y2=2y,k=m ∴x+

y m=0 4

又 y=mx+1 消去 m 得 4x2+(y-

1 2 1 )= 2 4

(12 分)

∴M 点轨迹方程为 4x2+y2-y=0(y≠0)

?y ? mx?1 ? 方法二:由 ? 2 y 2 ? (4+m2)x2+2mx-3=0 ?1 ?x ? 4 ?

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x1 ? x 2 m ? ?? ?x ? 2 4 ? m2 ? ?y ? mx?1 ?
消去 m 得 4x2+y2-y=0(y≠0) ∴M 点轨迹方程为 4x2+y2-y=0(y≠0) 20.(14 分) (理)(1)P1= (12 分) (10 分)

2 2 1 7 2 3 2 1 20 2 ,P2= ? ? ? ,P3= ( ) ? 2( ) ? ? 3 3 3 3 9 3 3 3 27 2 1 1 1 1 Pn ?1 ? Pn ? Pn ?1 ? ? Pn ?1 ? Pn ? ? ( Pn ?1 ? Pn ) 3 3 3 3 3

(2)Pn+2-Pn+1=



Pn? 2 ? Pn?1 1 ?? Pn?1 ? Pn 3
1 3
(10 分)

∴{Pn+2-Pn+1}是公比为- 的等比数列 (3) Pn+2-Pn+1=(P2-P1)·(- )n-1=(-

1 3

1 n+1 ) 3
1 3

P2-P1=(- )2,P3-P2=(- )3,……,Pn-Pn-1=(- )n 相加:Pn-P1=(- )2+(- )3+…+(- )n=

1 3

1 3

1 3

1 3

1 3

1 1 [1-(- )n-1] 3 12

∴Pn=

3 1 1 n ? (? ) 4 4 3

(14 分)

(文)(1)an= ?

(n ? 1) ?2 (n ? 1) ?a1 ?? ? 4n ? 2 ?4n ? 2(n ? 1) ?S n ? S n ?1 (n ? 1)

(4 分)

b1=a1=2,b2=

b2 1 1 ? ,q= 4 a 2 ? a1 2

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bn=b1qn-1=2·( (2)Cn=

1 n-1 ) 4

(7 分)

a n 2n ? 1 ? ? (2n ? 1) ? 4 n ?1 1 n ?1 bn ( ) 4

(8 分)

Tn=1+3·41+5·42+……+(2n-1)·4n-1 4Tn=4+3·42+5·43+……+(2n-1)·4n -3Tn=1+2·41+2·42+……+2·4n-1 -(2n-1)·4n =- [(6n-5)4n+5] ∴Tn= [(6n-5)4n+5] 21.(14 分) (理)(1)f′(x)=4+2ax-2x2,由题意 f′(x)≥0 在[-1,1]上恒成立 (2 分) ∴?

1 3

1 9

? f ' (?1) ? 0 ? ?1 ? a ? 1∴A=[-1,1] ? f ' (1) ? 0
1 3

(5 分)

(2)方程 f(x)=2x+ x3 可化为 x(x2-ax-2)=0 ∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2 是 x2-ax-2=0 两根 △=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2 ∴|x1-x2|= a 2 ? 8 ∵-1≤a≤1 ∴|x1-x2|最大值是 1 ? 8 ? 3 ∴m2+tm+1≥3 在 t∈[-1,1]上恒成立 令 g(t)=mt+t2-2 (10 分) (7 分)

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∴?
2 ? g (?1) ? 0 ? ?m ? m ? 2 ? 0 ?m ? 2或m ? ?1 ?? 2 ?? ? m ? m ? 2 ? 0 ? g (1) ? 0 ?m ? 1或m ? ?2 ?

m≥2 或 m≤-2 故存在 m 值,其取值范围为(-∞,-2)∪[2,+∞] (文)(1)f′(x)=3x2+b 由已知 f′(x)在[-1,1]上恒成立 ∴b≥-3x2 在[-1,1] 上恒成立 ∵-3x2 在[-1,1]上最大值为 0 (2)f(x)在[-1,1]上最大值为 f(1)=1+b ∴b2-tb+1≥1+b 即 b2-(t+1)b≥0 恒成立,由 b≥0 得 ∴b-(t+1)≥0,t+1≤b 恒成立 ∴t≤-1 四、选考题:(10 分) A.(1) ?5 ? ?6
?1 ? ?3 ? ?4 ? ?2? ? △ABE≌△ACD ?? ? AB ? AC ?

(14 分)

(3 分)

(7 分) (9 分) (10 分)

(14 分)

(5 分)

(2)

?4 ? ?1 ? △ABC∽△BEC ?? ?ACB ? ?BCE?



AC BC BC 2 8 ? ? EC ? ? BC EC AC 3

(8 分) (10 分)

∴AE=

10 3

B.P(2,

11 ) 6

P( 3,?1 ) x- 3 y+2=0

(3 分) (7 分)

? sin(? ?

?
6

) ?1

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D=

3? 3?2 ? 3 ?1 2

(10 分) (4 分) (6 分) (10 分) (6 分) (8 分)

C.设 a=cos ? ,b=sin ? ,c=cos ? ,d=sin ? |ac+bd|=|cos ? cos ? +sin ? sin ? | =|cos( ? - ? )|≤1 方法二:只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即证:2abcd≤a2d2+b2c2 即证:(ad-bc)2≥0 上式显然成立 ∴原不等式成立.

(10 分)


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